高等数学下册试题及答案解析
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =
)
0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分⎰⎰
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值
为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),
()()(βαψϕ≤≤⎩
⎨
⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=
++⎰⎰
∑
ds y x )122
（ 。
6、微分方程x y
x
y dx dy tan
+=的通解为 。 7、方程04)
4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑
∞
=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在)
,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在)
,(00y x 处连续；
（B ）
)
,(y x f x '，
)
,(y x f y '在
)
,(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y
y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当
0)()(2
2→∆+∆y x 时，是无穷小；
（D ）0)()(),(),(lim 2
200000
0=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x 。
2、设
),
()(x y
xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分
⎰⎰⎰Ω
=zdV
I 等于（ ）
（A ）4
⎰⎰⎰20
20
1
3cos sin π
π
ϕϕϕθdr
r d d ；
（B ）
⎰
⎰⎰20
1
2sin π
πϕϕθdr
r d d ；
（C ）
⎰⎰⎰ππ
ϕϕϕθ20
2
1
3cos sin dr
r d d ； （D ）
⎰
⎰⎰ππϕϕϕθ200
1
3cos sin dr
r d d 。
4、球面2
2
2
2
4a z y x =++与柱面ax y x 22
2
=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）⎰⎰
-20
cos 20
2244π
θθa dr
r a d ； （B ）⎰⎰
-20
cos 202244π
θθa dr r a r d ； （C ）
⎰⎰
-20
cos 20
2248π
θθa dr
r a r d ；
（D ）
⎰⎰
--22
cos 20
224π
πθθa dr
r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续
偏导数，则
⎰=+L
Qdy Pdx )
(
（A ）
⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy x Q y P )(
； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y Q x P )(
； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程
022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程
0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 22
1=
+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin 。
8、设0
lim =∞
→n n nu , 则∑∞
=1
n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y u x u ∂∂∂∂,
。
2、（8分）设⎰+-=t x t x dz
z f t x u )(),(，求
t u
x u ∂∂∂∂,。
