浙江省2005年高职考数学试卷 推荐

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（学生版）1、（2005年）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程；(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2、（2006年）已知函数23)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。

求证：当n *N ∈时，（Ⅰ）121223+++=+n n n n x x x x ；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x3、（2007年）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++= 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32n f n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4、（2008年）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121∙++∈=-+N n a a a n n n ．记n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当∙∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

第1页（共3页）2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：11．(2005北京文、理)设全集U=R，集合M={x|x>1}，P={x|x2>1}，则下列关系中正确的是A．M=PB．PMC．MP（D）MPR

【答案】C【详解】{|1Pxx或1}x{|1}Mxx

易得MP【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.

2．(2005福建文)已知集合xxxP,1|1|||R|，QPNxxQ则},|{等于（）A．PB．QC．{1，2}D．{0，1，2}解：∵P=[0,2],{|},QxxNPQ={0,1,2},选(D)

3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2xxxNxxM，则M∩N（B）

A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}解:∵由2||x，得22x，由032xx，得30xx或，∴M∩N}0{，故选B．

4．(2005湖北文、理)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{PQbPaba若

}6,2,1{Q，则P+Q中元素的个数是（）

A．9B．8C．7D．6解：集合P中和集合Q中各选一个元素可组成的组合数为11339CC

其对应的和有一个重复：

0+6=1+5,故P+Q中的元素有8个,选(B)

5．(2005湖南文)设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（CUA）∩B=（）A．{0}B．{－2，－1}C．{1，2}D．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。

【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：2,1)(,2,1BCuACuA则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.

6.(2005江苏)设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()ABC（A）{1,2,3}（B）{1,2,4}（C）{2,3,4}（D）{1,2,3,4}答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。[解析]：因为A}2,1{B，所以（A}4,3,2,1{)CB，故选D.第2页（共3页）

2005年浙江省温州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. lim x →+∞(12)x=( ) A 0 B 12 C 1 D 不存在2. 已知直线l 的方程是Ax +By +C =0，与直线l 垂直的一条直线的方程是（ ）A Ax −By +C =0B Ax +By −C =0 C Bx −Ay +C =0D Bx +Ay +C =0 3. 已知角θ的终边过点(4, −3)，则cosθ＝（ ） A 45B −45C 35D −354. 函数y =(x −1)2(x ≤1)的反函数是（ ）A y =1+√x(x ≥0)B y =1−√x(x ≥0)C y =1+√x(x ≤1)D y =1−√x(x ≤1)5. 用i 表示虚数单位，则1+i +i 2+...+i 2005=( ) A 0 B 1 C i D 1+i6. 函数y =|lg(x −1)|的图象是( )A B C D7. 已知{a n }是等比数列，a 2−a 1=1，a 5−a 4=8，则{a n }的公比是（ ） A 1 B 2 C −2 D 2或−28. 当x ，y 满足{|x −1|≤1y ≥0y ≤x +1时，则t =x +y 的最大值是（ ）A 1B 2C 3D 59. 已知abcd >0，命题p:ca >db ，命题q:bd >ac ．则命题p 是命题q 的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件10. 已知P(2, 0)，对于抛物线y 2=mx 上任何一点Q ，|PQ|≥2，则m 的取值范围是（ ） A (0, 4] B (−∞, 0)∪(0, 4] C [4, +∞) D (−∞, 0)∪[4, +∞)11. 已知A ，B ，C 不共线，OA →+2OB →+3OC →=0→，则∠AOB 、∠BOC 、∠COA 中（ ） A 至少有一个是锐角 B 至少有两个是钝角 C 至多有一个是钝角 D 三个都是钝角12. 已知P 是正四面体S −ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.13. 设集合A={5, 2a}，B={a, b}，A∩B={8}，则A∪B=________．14. 已知△ABC中，∠B=π，AC=√3，BC=1，则∠A=________．315. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若m⊥α，n // α，则m⊥n．（2）若m⊥n，n // α，则m⊥α．（3）若m⊥α，α // β，则m⊥β．（4）若m⊥α，m⊥β，则α // β．其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）16. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项和它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列．这个常数叫做等积数列的公积．已知{a n}是等积数列，且a1=1，公积为2，则这个数列的前n项的和S n=________．三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知f(x)=2√3cos2x+sin2x（1）求f(x)的最小正周期．]时，求f(x)的最大值和最小值．（2）当x∈[0,π218. “好运道”商店举行抽奖促销活动，规定一位顾客可以从0、1、2、…、9这10个号码中抽出5个不同的号码，若有4个以上的号码与中奖号码相同（不计顺序），则有现金奖励，如方框中广告所示．某人买一件商品，若在该商店买，价格是730元，获一次抽奖机会；若在其它商店买，价格是700元．（1）、求参加抽奖，获5000元奖金的概率．（2）、请你利用概率的知识，分析该顾客是否应该在“好运道”商店购买该商品？19. 已知四棱锥P−ABCD．四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．(I)求证：PC⊥DB．(II)试问：当AP的长度为多少时，二面角D−PC−A的大小为60∘？20. 已知点A(5, 0)和⊙B ：(x +5)2+y 2=36，P 是⊙B 上的动点，直线BP 与线段AP 的垂直平分线交于点Q ．（1）证明点Q 的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程． （2）若(BQ →+BA →)⋅QA →=0，求点Q 的坐标．21. 已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和．对于任意的n ∈N ∗，都有4S n =(a n +1)2．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N ∗ 恒成立，求实数t 的最大值． 22. 已知函数f(x)=lnx−2x−4+x4（1）求f(x)的极．（2）求证f(x)的图象是中心对称图形．（3）设f(x)的定义域为D 是否存在[a, b]⊆D ．当x ∈[a, b]时，f(x)的取值范围是[a4，b4]？若存在，求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由．2005年浙江省温州市高考数学一模试卷答案1. A2. C3. A4. B5. D6. C7. B8. C9. A 10. D 11. B 12. B13. {3, 5, 8} 14. π615. （1）（3）（4）16. {3n2，n 是正偶数3n−12，n 是正奇数17. 解：∵ f(x)=2√3cos 2x +sin2x =√3cos2x +sin2x +√3=2cos(2x −π6)+√3(I)f(x)的周期是π．(8′)（2） 当x ∈[0,π2]时，−π6≤2x −π6≤5π6．所以当x =π12时，f(x)取到最大值2+√3 (10′)当x =π2时，f(x)取到最小值0．(12′)18. 解：（1）获5000元奖金的概率为：1C 105=1252．(4′)（2）获100元奖金的概率为：C 105˙=25252(8′)．所以参加抽奖所得奖金值的数学期望是5000252+100×25252<20+10=30，该顾客不应该在“好运道”商店购买该商品．（算出期望，指出期望接近30，但有获5000元的机会，应该在“好运道”商店购买该商品，也得满分）(12′) 19. 解：（方法1）以A 为原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，以四边形ABCD 的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P(0, 0, ℎ)．(I)PC →=(1,1,−ℎ)，DB →=(−1,1,0)，PC →⋅DB →=(1,1,−ℎ)⋅(−1,1,0)=0，所以PC ⊥DB ．(4′)(II)∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥DB ．又PC ⊥DB ，∴ DB ⊥面CPA ，所以面CPA 的一个法向量是DB →=(−1,1,0)．(6′) DP →=(−1,0,ℎ)，DC →=(0,1,0)． 设面CPD 的一个法向量为ℎ→=(x,y,1)，则有DP →⋅ℎ→=(−1,0,ℎ)⋅(x,y,1)=−x +ℎ=0，DC →⋅ℎ→=(0,1,0)⋅(x,y,1)=y =0．所以ℎ→=(ℎ,0,1)．(8′)cos⟨ℎ→，DB →>=√2(ℎ2+1)=√2(ℎ2+1)．(10′)由于二面角D −PC −A 的平面角与⟨ℎ→，DB →>相等或互补，∴√2(ℎ2+1)=cos60∘=12，∴ ℎ=1．即当AP 的长度为1时，二面角D −PC −A 的大小为60∘(12′)（方法2）(I)∵ PA ⊥面ABCD∴ PC 在面ABCD 内的射影是AC ．四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，由三垂线定理得PC ⊥BD ．(4′)(II)设AC 、BD 交于E ．在面CPA 内，作EF ⊥CP 于F ，连接DF ． ∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥DB ．又PC ⊥DB ，∴ DB ⊥面CPA ，EF 是DF 在面CPA 上的射影，由三垂线定理得DF ⊥CP ．∠DEF 就是二面角A −PD′−C 的平面角(8′)． 由△CFE ∼△CAP ，得EF =AP⋅CE CP=AP⋅√22√AP 2+2，∴ tan∠DFE =AP √AP 2+2=√33． 解得AP =1．即当AP 的长度为1时，二面角D −PC −A 的大小为60∘．(12′)20. 解：（1）∵ 点Q 在线段AP 的垂直平分线上， ∴ |QP|=|QA|，∴ ||BQ|−|PQ||=||BQ|−|AQ||=6．∴ 点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线．(4′) 其轨迹方程是x 29−y 216=1．(7′)（2）以A 、B 、Q 为三个顶点作平行四边形ABQC ， 则BQ →+BA →=BC →∵ (BQ →+BA →)⋅QA →=0， ∴ BC →⋅QC →=0，∴ 平行四边形ABQC 是菱形， ∴ |BA →|=|BQ →|．(8′)∴ 点Q 在圆(x +5)2+y 2=100上． 解方程组{(x +5)2+y 2=100x 29−y 216=1．(10′) 得Q(−395，±485)或Q(215，±8√65)．(12′)21. 解：（1）∵ 4S 1=4a 1=(a 1+1)2，∴ a 1=1．当n ≥2时，4a n =4S n −4S n−1=(a n +1)2−(a n−1+1)2，∴ 2(a n +a n−1)=a n 2−a n−12，又{a n }各项均为正数， ∴ a n −a n−1=2．数列{a n }是等差数列， ∴ a n =2n −1．( 2)S n =n 2，若2n≥tS n 对于任意的n ∈N ∗恒成立，则t ≤min{2nn 2}．令b n =2nn 2，．当n ≥3时，b n+1b n=2n 2(n+1)2=n 2+(n−1)n+n n 2+2n+1>1．又b 1=2，b 2=1，b 3=89， ∴ min{b n }=min{2nn2}=89．∴ t 的最大值是89．22. 解：（1）f /(x)=x(x−6)4(x−2)(x−4)．(2′)注意到x−2x−4>0，得x ∈(−∞, 2)∪(4, +∞)， 解x(x−6)4(x−2)(x−4)=0得x =6或x =0．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(0)=ln 12是f(x)的一个极大值，f(6)=ln2+32是f(x)的一个极大值..(4′) （2）点（0, f(0)），（6, f(6)）的中点是(3,34)，所以f(x)的图象的对称中心只可能是(3,34)．(6′)设P （x, f(x)）为f(x)的图象上一点，P 关于(3,34)的对称点是Q(6−x,32−f(x))．∵ f(6−x)=ln4−x 2−x+6−x 4=32−f(x)．∴ Q 也在f(x)的图象上，因而f(x)的图象是中心对称图形．(8′) （3）假设存在实数a 、b ．∵ [a, b]⊆D ，∴ b <2或a >4． 若0≤b <2，当x ∈[a, b]时，f(x)≤f(0)=ln 12<0，而b4≥0 ∴ f(x)≠b4．故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b 4]．(10′) 若4<a ≤6，当x ∈[a, b]时，f(x)≥f(6)=ln2+32>32，而a4≤32 ∴ f(x)≠a4．故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b 4]．(12′)若a <b <0或6<a <b ，由g(x)的单调递增区间是(−∞, 0)，(6, +∞)， 知a ，b 是f(x)=x4的两个解．而f(x)−x4=ln x−2x−4=0无解． 故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b4]．(14′) 综上所述，假设错误，满足条件的实数a 、b 不存在．。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1、(2005春招北京文、理)2-i 的共轭复数是（ D ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-2D ．i --22．(2005福建理)复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1解：111,122i i z z i-+-==∴=-选(B)3. (2005广东)若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ D ）A ．0B ．2C ．25 D ．5解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．4．(2005湖北理)=++-ii i 1)21)(1(（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2解：(1)(12)(2)(12)212i i i i i i -+-+==-+,选(C)5．(2005湖南理)复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i[评述[：本题考查复数，复数的意义及其运算。

【思路点拨】本题涉及利用复数的性质进行复数的简单计算.【正确解答】234110z i i i i i i =+++=--+=,选B.【解后反思】对于复数的简单计算,应紧扣复数的定义,在复数的较复杂运算中,要把复数运算和三角函数结合在一起,可以适当化简计算过程.6．(2005江西理)设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【思路点拨】本题考察复数的乘法运算,可直接计算得到答案.【正确解答】12(1)(2)(2)(2)z z i x i x x i =++=-++为实数，故20x +=，即2x =-.选A. 【解后反思】复数有两个部分：实部和虚部.而且复数的几种代数运算,其基本算法也是尽可能将其化成复数的代数形式.7. (2005全国Ⅰ理)复数=--i 21i 23（ ）（A ）i（B ）i -（C ）i 22-（D ）i 22+-【解析】∵i i21i i)21(i21i2i21i 23=--=-+=--，故选A ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．8. (2005全国Ⅱ理)设a 、b 、c 、d ∈R ，若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠0 （B ）bc －ad ≠0 （C ）bc －ad ＝0 （D ）bc+ad=0 【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则. 【正确解答】22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+，由dic bia ++为实数， 所以bc-ad=0.选C【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.9. (2005山东理)2211(1)(1)i ii i -++=+-（ ） （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1-[答案] D【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结果.【正确解答】2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--，选D 【解后反思】熟练掌握复数的代数形式的四则运算及i 的性质.本题可把1i -化为cos()sin()44i ππ⎤-+-⎥⎦，1sin )44i i ππ+=+，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结果.10. (2005天津理)若复数312a ii++（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6【思路点拨】本题考查复数概念及代数运算，只要分子分母同乘以分母的共轭复数并化为代数形式，再根据纯虚数的概念得解. 【正确解答】解法一：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=- 解法二：非零向量1z ，2z 满足12zz 是纯虚数的意思就是说，这两个非零向量互相垂直。

------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是____________________. 2．___________________________)4(1lim2=-+-∞→x x x x .3．（1）x 轴在空间中的直线方程是________________________.（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是._____________________4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy .（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________.姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,00,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰-11)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4．可微函数),(y x f z =在点),(00y x 处有0=∂∂=∂∂yz x z 是函数),(y x f z =在 点),(00y x 取得极值的（ ）.(超纲,去掉) )(A 充分条件， )(B 必要条件，)(C 充分必要条件， )( D 既非充分条件又非必要条件.5．设级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a是（ ）.)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）1．求函数xx x y )1(2+-=的导数.2. 求函数1223+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.3. 求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数nn dxfd .4．计算积分⎰-+-012231dx x x .5．计算积分⎰+dx e x 211.------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------6．计算积分⎰-+12)2(dx e x x x.7．设函数)sin()cos(y x xy z ++=，求偏导数x z ∂∂和yx z ∂∂∂2.(超纲,去掉).姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.9.求二阶微分方程x y dx dydx y d =+-222的通解.10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模. .四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）1．计算积分⎰++π212sin 212sinxdx m x n ，其中m n ,是整数.2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，（2）当ac b 832<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（教师版）1、（2005年）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，设点(),P x y 是1C 上任意一点，则()()()2222211||117A P x y x x x b =-+=-+-+令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=，即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上，222127x x b ∴=-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则()()()22222||n n n n nA P x x y x x x a x b =-+=-+++令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=，即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n nn n n x a x b ++=++ ，()()()112201nn n n n x x x a n ++∴-++=≥，即()()111220*n nn nn xx a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k xx a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列2、（2006年）已知函数23)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。

浙江省2005年高考数学（文科）一．选择题（共10题，每题5分，共50分）1．设集合A 、B ，则“A ∪B=∅”是“A ∩B=∅”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 2．已知20个样本：12 8 15 12 13 10 12 10 14 9 10 13 14 12 14 12 11 12 13 14 那么频率为0.1的范围是（A ）7.5~9.5 （B ）9.5~11.5 （C ）11.5~13.5 （D ）13.5~15.5 3．函数log 12(1－2x +x 2)的大致图像是下列各图中的，则此函数f (x )=（4．一个等差数列的项数为n ，若它的前3项与最后3项之和等于123，所有项之和为328，则n =(A) 14 (B)15 (C)16 (D)175．已知(x －y )n 展开式中第6项系数与第13项系数之和这0，若第k 项的系数最小，则k = （A ）8 (B)9 (C)10 (D)116．关于x 的不等式(x －a )(x －b )(x －c ) ≥0的解集{x |－1≤x <2,或x ≥3},则点（a ＋b ，c ）位于(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限7．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，则B 1C 1与平面A 1C 1D 所成的角为(A) π4 (B) π3(A) arccos 63 (D) arccos 338．设F 1, F 2是椭圆x 28＋y 24=1的焦点，P 是椭圆上的点，|PF 1|·|PF 2|=5，则cos ∠F 1PF 2=(A) －35 (B) －110 (C) 110 (D) 359．( 3 ＋cot110°)cos50°=(A) 1 (B) 12 (C) 2 (D) 3210．下列四个函数中，满足|f (x )|≤|x |的是(A) f (x )=tan x (B) f (x )=1－cos x (C) f (x )=x (sin x ＋cos x) (D) f (x )= cos xA C 1二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11．设a →=(2, cos α), b →=( sin α,14) ,若a →⊥b →，则tan α= _________．12．直线l 经过抛物线y 2=8x 的焦点的与抛物线交于点A 、B ，若|AB |=16，则AB 中点的横坐标为_____．13．已知OA 、OB 、OC 两两垂直，OA =OC =1，O 到平面ABC 的距离为33,则体积V 0-ABC =______．14．现有八盏灯排成2行，每行4盏，每盏灯显示红、绿颜色中的一种，则恰有两列上下颜色相同的排法共有__________种（用数字作答）． 三．解答题（共6小题，每小题14分，共84分） 15． 已知函数f (x )=(k －1)x 3＋x 2＋2(k －1)x 是偶函数(Ⅰ)求实数k 的值；(Ⅱ)解不等式f (x ) ＋2 x <3(|x ＋1|－1)． 16．已知函数f (x )=32 sin2 x ＋sin 2 x －12, x 为实数． (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)求函数f (x )在[0，34π]上的最大值和最小值．17．如图直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ， AC =BC =CC 1=1，点D ，E 分别是AC 1、A 1B 1的中点． (Ⅰ)求异面直线AE 与BD 所成的角； (Ⅱ)求二面角E —AD —B 的大小．18．在一次游戏中，甲乙两组向一个气球射击，每给两人，甲组每人的命中率为0.75，乙组每人的命中率为0.6，游戏规则是：第一次由甲组射击，若第一次不中，再由乙组进行第二次射击．(Ⅰ)求气球被甲组击中的概率； (Ⅱ)求气球没有被击中的概率．19．如图，ABCD 是菱形，且|AC |=4，|BD |=2， 椭圆与鞭形四边都有一个公共点，长轴在AC 上，且离心率为 12．设AB 、AD 与椭圆的公共点分别为PQ ，PQ 交x 轴于F 点．(Ⅰ)求椭圆和方程；过点A 作任一直线交椭圆与M 、N 两点，(Ⅱ)求证PQ 平分∠MFN ．20．已知数列{x n },n ∈N *,满足x n 2＋x n －1=0, x(Ⅰ)nn 1)1(-+≤x n <nn ＋1；(Ⅱ)数列{x n }是单调递增的．ABCA 1B 1C 1 DE数学试题（文科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2005年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 以下结论正确的是（ ）A 终边相同的角一定相等B 第一象限的角都是锐角C x 轴上的角均可表示为2kπ(k ∈Z)D y =sinx +cosx 是非奇非偶函数 2. (√x2√x)6的二项展开式中，常数项有（ ）A 0项B 1项C 3项D 5项3. 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ） A −13B −3C 13D 34. 若a ，b ，c 是直角三角形的三边（c 为斜边），则圆x 2+y 2=2被直线ax +by +c =0所截得的弦长等于（ ） A 1 B 2 C √3 D 2√35. “|2x −1|<3”是“(x+1)(x+3)(x−2)<0”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 有一条信息，若1人得知后用1小时将其传给2人，这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，理论上最少需要的时间约为（ ） A 10天 B 2天 C 1天 D 半天7. P ={α|α=(−1, 1)+m(1, 2), m ∈R}，Q ={β|β=(1, −2)+n(2, 3), n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于（ ）A {(1, −2)}B {(−13, −23)}C {(−2, 1)}D {(−23, −13)} 8. 设函数f(x)={√1−x 2,(|x|≤1)|x|,(|x|>1)，若方程f(x)＝a 有且只有一个实根，则实数a 满足（ ）A a <0B 0≤a <1C a ＝1D a >19. 将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层…．则第2005层正方体的个数是（ ） A 4011 B 4009 C 2011015 D 200901010. 从6个教室中至少安排两个教室供学生上自修课，则可能安排的情况共有（ ） A 15种 B 30种 C 56种 D 57种 11. 设F 1，F 2分别为曲线C 1：x 26+y 22=1的左、右焦点，P 是曲线C 2：x 23−y 2=1与C 1的一个交点，则cos∠F 1PF 2的值是( ) A 14 B 13 C 23 D −1312. 用32m 2 的材料制作一个长方体形的无盖盒子，如果底面的宽规定为2m ，那么这个盒子的最大容积可以是（ ）A 36m 3B 18m 3C 16m 3D 14m 3二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 若集合M={y|y=2x}，N={y|y=log0.5√x2+1}，则M∪N等于________．14. 已知sinα−cosα=12，则sin3α−cos3α的值是________．15. 已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆x2m +y2n=1的准线方程为________．16. 在下面4个平面图形中，是右面正四面体（侧棱和底面边长相等的正三棱锥）的展开图的序号有________．（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分74分）17. 一元二次方程mx2+(2m−3)x+(m−2)=0的两个实数根为tanα和tanβ．（1）求实数m的取值范围；（2）求tan(α+β)的取值范围及其最小值．18. △A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，△A n B n−1B n均为等腰直角三角形，已知它们的直角顶点A1，A2，A3，…，A n在曲线xy=1(x>0)上，B1，B2，B3，…，B n在x轴上（如图），（1）求斜边OB1，B1B2，B2B3的长；（2）求数列OB1，B1B2，B2B3，…，B n−1B n的通项公式．19. 如图，三棱锥P−ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90∘，PB= BC=CA=4√2，点E，点F分别是PC，AP的中点．（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求点P到平面BEF的距离；（3）求异面直线AE与BF所成的角的余弦．20. 袋里装有30个球，球面上分别记有1到30的一个号码，设号码为n的球重量为13n2−4n +443（克）．这些球以等可能性（不受重量，号码的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出1球，求其重量值大于号码数的概率．（2）如果同时任意取2球，试求他们重量的相同的概率．21. 已知点C(x, y)(x >0, y >0)在抛物线f(x)=4−x 2上（如图），过C 作CD // x 轴交抛物线于另一点D ，设抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，试求x 为何值时，梯形ABCD 的面积最大，并求出面积的最大值．22.设双曲线x 24−y 2=1的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP （O 为坐标原点）分别交于Q 和R 两点．（1）证明：无论P 点在什么位置，总有|OP →|2=|OQ →⋅OR →|； （2）设动点C 满足条件：AC →=12(AQ →+AR →)，求点C 的轨迹方程．2005年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. B3. A4. B5. A6. C7. B8. C9. C 10. D 11. B 12. C13. {y|y ∈R} 14. 1116 15. y =±2√2 16. ①②17. 解：（1）由方程有实根，得{△=(2m −3)2−4m(m −2)≥0m ≠0， 所以m 的取值范围为m ≤94且m ≠0；（2）由韦达定理tanα+tanβ=3−2m m，tanαtanβ=m−2m ，代入和角公式，得tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3−2m 2=32−m ≥32−94=−34，所以tan(α+β)的取值范围为[−34，32)∪(32,+∞)，最小值为−34． 18. 解：（1）OB 1=2，B 1B 2=2(√2−1)，B 2B 3=2(√3−√2)． （2）解法1:B n−1B n =a n ，猜想出a n =B n−1B n =2(√n −√n −1) 当n =1时，由上已证猜想成立．假设n =k 时，猜想成立，即有a k =2(√k −√k −1)， 设S k 是a n 的前k 项和，则有(S k +a k+12)⋅a k+12)⋅a k+12=1．∴ (S k−1+a k2)⋅a k 2=1． 两式相减，得a k+12+a k 2=2a k+1−2a k即a k+12+(√k −√k −1)=2a k+1−(√k +√k −1)．∴ a k+12+4√ka k+1−4=0，解得a k+1=2(√k +1−√k)，即n =k +1时，猜想也成立， 综合上述，所求的通项公式a n =B n−1B n =2(√n −√n −1)． 解法2：设OB 1=a 1，B 1B 2=a 2，，B n−1B n =a n ，{a n }的前n 项和为S n．侧B n (S n , 0)，∴ A n+1(S n +12a n+!,12a n+1)．代入曲线方程得：(S n +12a n+1)(12a n+1)=1，且(12a 1)2=1，∴ 2S n a n+1+(a n+1)2=4，a 1=2，2S n (S n+1−S n )+(S n+1−S n )2=4，S 1=2. 化简得(S n+1)2−(S n )2=4，∴ (S n )2=(S 1)2+4(n −1)=4n ，∴ S n =2√n 所求的通项公式为a n =B n−1B n =2(√n −√n −1)． 19. 解：（1）以BP 所在直线为z 轴，BC 所在直线y 轴，建立空间直角坐标系，由条件可设P(0, 0, 4√2)，B(0, 0, 0)，C(0, −4√2, 0)，A(4√2, −4√2, 0)； 则E(0, −2√2, 2√2)，F(2√2, −2√2, 2√2)，平面PBC 的法向量a →=(1, 0, 0)，而PE →=(0,−2√2，−2√2)， 因为a →⋅PE →=0，所以侧面PAC ⊥侧面PBC ；（2）证明：在等腰直角三角形PBC 中，BE ⊥PC ，又中位线EF // AC ，而由（1）AC ⊥平面PBC ，则EF ⊥平面PBC ， ∴ EF ⊥PC ，所以PC ⊥平面BEF ，那么线段PE =12PC =4即为点P 到平面BEF 的距离．（3）由（1）所建坐标系，得 AE →=(−4 √2, 2 √2, 2 √2)，BF →=(2 √2, −2 √2, 2 √2)， ∴ AE →⋅BF →=−16，又|AE →|⋅|BF →|=24 √2， cos <AE →，BF →>=−√23，∴ AE 与 BF 所成的角的余弦值是√23． 20. 解：（1）由13n 2−4n +443>n 得：n 2−15n +44>0，从而n >11或n <4，由题意得n =1，2，3或12，13，…，30共22个数值． 所以所求概率为P 1=2230=1115；（2）设第m 号和第n 号球的重量相等，其中m <n ， 则由13m 2−4m +443=13n 2−4n +443得：m +n =12，则(m, n)=(1, 11)，(2, 10)，(3, 9)，(4, 8)，(5, 7)，(6, 6)共5种情况． 故所求的概率为P 2=5C 302=187．21. 解：令4−x 2=0，得A(−2, 0)，B(2, 0)，设C(x, y)，又由对称性知D(−x, y)． 设梯形面积为g(x)，则梯形的面积g(x)=12(4+2x)⋅y =(2+x)(4−x 2)=−x 3−2x 2+4x +8，g′(x)=−3x 2−4x +4=−(3x −2)(x +2)，令g′(x)=0，因x >0，得x =23， 当0<x <23时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x >23时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴ 当x =23时，g(x)有最大值，最大值为g(23)=25627．22. 解：（1）设OP:y =kx 与AR:y =12(x −2)联立，解得OR →=(21−2k ，2k1−2k )， 同理可得QR →=(21+2k ,2k1+2k )，所以|OQ →⋅OR →|=4+4k 2|1−4k 2|， 设OP →=(m, n)，则由双曲线方程与OP 方程联立解得m 2=41−4k 2，n 2=4k 21−4k 2，所以|OP →|2=m 2+n 2=4+4k 21−4k 2=|OQ →⋅OR →|（点在双曲线上，1−4k 2>0）；（2）∵ AC →=12(AQ →+AR →)， ∴ 点C 为QR 的中点，设C(x, y)，则有{x =21−4k 2y =2k 1−4k 2，消去k ，可得所求轨迹方程为x 2−2x −4y 2=0(x ≠0)．。

2024年5月浙江省高职考模拟试数学试卷姓名：______ 准考证号：______本试题卷共三大题，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、单项选择题（本大题共20小题，1~10小题每小题2分，11~20小题每小题3分，共50分.）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合要求的，错涂、多涂或未涂均无分.）1. 已知集合， 0,1,3B ，则A B （ ）A. 1B. 0,1C. 1,0,1D. 1,0,1,22. 直线x 的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 903. 点 0,1A 关于点 10B ,的对称点C 的坐标为（ ） A. 2,1 B. 12 C. 11,22 D. 0,24. 若a b ，则下列不等式正确的是（ ） A. 11a b B. 22ac bc C. 22a b D. 22a b5. 已知直线l ：220x y 与两坐标轴交于A ，B 两点，则AB （ ）A. 1B.C. 2D. 56. 解集为 ,01, 的不等式（组）为（ ）A. 221x xB. 211xC. 01x xD. 1011x x7. 双曲线22184x y 的虚轴长为（ ）A. 2B.C. 4D.8. 如图所示，正六边形ABCDEF 的边长为1，O 为正六边形的中心，则OA CD （ ）A. FOB. 0C. 1D. 29. 下列函数在 e,π上是减函数的是（ ）A. 1y xB. 3x yC. ln y xD. π,0e,0x y x 10. 中国载人月球探测工程已经具备全面开展工程实施的条件，未来计划从4名男航天员和2名女航天员中选择3人送入环月轨道，则其中有且仅有一名女航天员被选中的选法有（ ）A. 2种B. 4种C. 6种D. 12种11. 已知二次函数的图像如图所示，根据图中提供的信息，使得 3f x 成立的x 的取值范围为（ ）A. 0,2B. 0,2C. 1,3D. 1,3 12. 若2 ，4sin 5，则 cos （ ） A. 35B. 35C. 45D. 45 13. 函数 lg 3x f x x x的定义域为（ ） A. 0,B. 0,3C. 0,33,D. 0,33, 14. “1n ”是“3C 3n ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 15. 下列说法正确的是（ ）A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B 过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行C. 如果两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D. 空间中与两条异面直线都垂直的直线只有一条16. 已知tan22 ，则2sin2cos22cos 1的值是（ ）A. 2B. 2C. 1D. 117. 两人玩“石头、剪刀、布”游戏，则两人同时出石头的概率是（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D.23 18. 在等比数列 n a 中，已知1a ，4045a 是方程210160x x 的两根，则2023a （ ）A. 8B. 8C. 4D. 4 19. 已知直线260kx y 与直线 2110x k y k 平行，则k 等于（ ）A. 1B. 2C. 1 或2D. 0或120. 已知点 4,5A ，抛物线28x y 的焦点为F ，P 为抛物线上与直线AF 不共线的一点，则PAF △周长的最小值为（ ）A. 18B. 13C. 12D. 7二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）21. 已知函数 2log ,02,0x x x f x x ，则12f f ______. 22. 若1x ，则41x x 取得最小值时x 值为______. 23. 一个边长为2米的正方体容器中放入了一个与各面都相切的实心球，现在往正方体容器里注水，最多能注水______立方米.（π取3）24. 102x x______. 25. 已知圆C ：2220x y y F 与x 轴相切，则圆C 标准方程为______.26. 已知(0,π)，且cos 2，则 _____________. 27. 已知数列 n a 满足10a，1n a ，则其前2023项的和2023S ______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答需写出文字说明及演算步骤.）28. 计算：25π3sin 20236420231log 25C 8 . 29. 已知直线l 经过两点 0,4A ， 2,6B .（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 被圆心为 5,3的圆C 所截得的弦长为4，求圆C 的标准方程.的的30. 已知函数 πππcos 22sin cos 344f x x x x.求： （1）函数 f x 的最小正周期T 和值域；（2）函数的单调递增区间.31. 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD 且PC PD ，二面角A CD P 为直二面角.（1）求四棱锥P ABCD 的体积；（2）求二面角P AB D 的正切值.32. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD ，8BC ，45B ，75C .（1）求CD 长；（2）求梯形ABCD 面积.33. 第十九届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，此次亚运会吉祥物的组合名为“江南忆”，它是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人.现指定某工厂专项生产该吉祥物，通过市场调查，生产x 万套收入W x 万元， 2120100,03244350,38x x W x x x x ，生产这种吉祥物的成本为 2020x 万元.根据市场调研，该吉祥物销路畅通，供不应求.（1）求利润 f x 的函数解析式；（2）当产量为多少万套时，该产品利润最大？最大利润是多少？34. 已知等差数列 n a 中，14a ，12324a a a ，求：（1）数列 n a 的前n 项和n S ；（2）若数列 n b 满足：11b a ，12n n nb b S ，求数列 n b 的通项公式. 35. 已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，四点 11,1P ， 20,1P，31,2P，41,2P中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过椭圆的左焦点且倾斜角为45 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点Q 是椭圆上一动点，求ABQ 的最大面积.的的参考答案BDACB BCCBD DACAA CCDAC21.12##0.522. 3 23. 4 .24. 45 25. 2211x y 26. 5π6 27. 028. 计算：25π3sin 20236420231log 25C 8 .原式23113224211log 45221121221542122. 29. 已知直线l 经过两点 0,4A ， 2,6B .（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 被圆心为 5,3的圆C 所截得的弦长为4，求圆C 的标准方程.(1)直线经过两点 0,4A ， 2,6B所以斜率64120k ， 所以直线l 的方程为：4y x ，化为一般式方程为：40x y .(2)直线l 被圆心为 5,3的圆C 所截得的弦长为4，所以圆心 5,3到直线l的距离d，所以半径r ， 所以圆C 的标准方程为： 225312x y .30. 已知函数 πππcos 22sin cos 344f x x x x.求：（1）函数 f x 的最小正周期T 和值域；（2）函数的单调递增区间.函数 πππcos 22sin cos 344f x x x xπππcos2cos sin2sin sin2334x x x1πcos2sin2sin 2222x x x1cos2sin2cos222x x x1sin2cos222x xπsin 26x故函数 f x 最小正周期2ππ2T ，值域为 1,1由（1）知 πsin 26f x x当πππ2π22π262k x k ，Z k 时，函数单调递增 解得ππππ63k x k ，Z k 时，函数单调递增 即函数的单调递增区间为πππ,πZ 63k k k.31. 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD 且PC PD ，二面角A CD P 为直二面角.（1）求四棱锥P ABCD 的体积；（2）求二面角P AB D 的正切值.【小问1详解】设CD 的中点为M ，连接PM的在等腰直角PCD 中，CD 的中点为M ，∴PM CD ，∵二面角A CD P 为直二面角，PM 面PCD ，∴PM 平面ABCD ，即线段PM 为四棱锥P ABCD 的高，在等腰直角PCD 中，2CD ，∴1PM ， ∴114221333P ABCD ABCD V S PM 正方形， 故四棱锥P ABCD 的体积为43. 【小问2详解】设AB 中点为N ，连接MN ，PN由于M ，N 为正方形ABCD 中点，显然AB MN ①，又∵PM 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴AB PM ②，∴PM MN M ,,PM MN 面,∴AB 面PMN ,又∵PN 面PMN ，∴AB PN ，∴PNM 为二面角P AB D 的平面角，Rt PMN △中，1PM ，2MN ， 故1tan 2PM PNM MN ， 即二面角P AB D 的正切值为12.32. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD ，8BC ，45B ，75C .（1）求CD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积.【小问1详解】如图，过点A 作//AE CD 交BC 于点E ，因为//AD BC ，所以AECD 为平行四边形，所以AE CD ，AD EC ，又2AD ，8BC ，45B ，75C则826BE BC AD ，75AEB C ，180457560BAE 由sin sin AE BE B BAE 得：6sin45sin60AE解得AE ，即CD 【小问2详解】因为75C ，6BE ，CD 2EC所以4sin sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30C， 所以ABE AECD ABCD S S S 梯形 1sin sin 2BE CD C EC CD C 16sin752sin75216224415 .33. 第十九届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，此次亚运会吉祥物的组合名为“江南忆”，它是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人.现指定某工厂专项生产该吉祥物，通过市场调查，生产x 万套收入W x 万元， 2120100,03244350,38x x W x x x x ，生产这种吉祥物的成本为 2020x 万元.根据市场调研，该吉祥物销路畅通，供不应求.（1）求利润 f x 的函数解析式；（2）当产量为多少万套时，该产品利润最大？最大利润是多少？【小问1详解】当03x 时，120100202010080f x x x x ,当38x 时，22443502020f x x x x2224330x x , 所以函数解析式为 210080,03224330,38x x f x x x x. 【小问2详解】①当03x 时， 10080f x x 单调递增当3x 时，函数有最大值为380（2）当38x 时，222243302(6)402f x x x x即当6x 时，函数有最大值为402∴402380∴当产量为6万套时，利润最大，最大为402万元.34. 已知等差数列 n a 中，14a ，12324a a a ，求： （1）数列 n a 的前n 项和n S ；（2）若数列 n b 满足：11b a ，12n n nb b S，求数列 n b 通项公式. 【小问1详解】在等差数列 n a 中，设公差为d ，∵12324a a a∴ 111224a a d a d∴4d ， 的∴数列 n a 的通项公式为 4414n a n n ， ∴ 12442222n n a a n n n S n n . 【小问2详解】∵114b a ，由12n n nb b S 知， 1221221n n b b n n n n， ∴21112b b ， 32123b b ， …111n n b b n n， 将上一组等式累加得：111112231n b b n n11111112231n n（裂项相消） 11n， ∴15114n n b n n.35. 已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，四点 11,1P ， 20,1P ，31,2P ，41,2P中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过椭圆的左焦点且倾斜角为45 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点Q 是椭圆上一动点，求ABQ 的最大面积.【小问1详解】因为椭圆关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于原点中心对称所以31,2P，41,2P必在椭圆上，则 11,1P 就不在椭圆上， 20,1P 在椭圆上. 故椭圆经过点 20,1P，31,2P，41,2P这三点，则有22222222011211a b a b ，解得2a ，1b ， ∴椭圆的标准方程为2214x y . 【小问2详解】由（1）可知，c ，∴椭圆的左焦点为.∵tan415k ，∴直线l的方程为y x .设 11,A x y ， 22,B x y ，则2214y x x y ，消去y得2580x ，∴12x x ，1285x x ，∴12855AB x设过点Q 且与直线l 平行的直线方程为y x m ，此直线与椭圆相切且这两条平行线间距离最大的时候面积最大时，ABQ 的面积最大. 即有2214y x m x y 消去y 得 2258410x mx m ，∵ 22Δ(8)45410m m ，∴m当m 时，12d ，当m 时，22d， ∵21d d ，∴22h d ，∴ABQ 的最大面积为182525 .。