备战中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题及答案解析
- 格式:doc
- 大小:3.02 MB
- 文档页数:29
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.
提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,
设AP与y轴交于点C,如图1,
把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),
把点B(4,1)代入y= ,得k=4.
解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),
则点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
设直线AP的解析式为y=mx+n,
把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直线AP的解析式为y=x+3,
则点C的坐标(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC•AR+ OC•PS
= ×3×4+ ×3×1= ,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.
B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,
设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,
联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)解:∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有
,
解得:,
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.
当y=0时, x+ ﹣1=0,
解得:x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ
交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.
2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).
(1)试确定此反比例函数的解析式;
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;
(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴
的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.
【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,
∴反比例函数的解析式为y=﹣
(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.
在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,
∴OA= =2,∠AOC=30°,
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,
∴∠AOB=30°,OB=OA=2,
∴∠BOC=60°.
过点B作x轴的垂线交x轴于点D.
在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,
∴B点坐标为(﹣1,),
将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,
∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上
(3)解:由y=﹣得xy=﹣,
∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,
∴m( m+6)=﹣,
∴m2+2 m+1=0,
∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).
∵△OQM的面积是,
∴OM•QM= ,
∵m<0,∴mn=﹣1,
∴m2n2+2 mn2+n2=0,
∴n2﹣2 n=﹣1,
∴n2﹣2 n+9=8.
【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由