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2 L 2 L
KY
半径
:
k
2mE
kX
等能面内代表点个数为:
4 2V V 3 3 k 2 k 3 3 ( 2 ) 3
1 d 1 2m 1 N(E) E2 2 2 V dE 2
3 2
N(E)
E越大 N(E)越大
0
E
1.3、布洛赫定理
一、布洛赫定理
2、势箱(三维金属中的电子)
V(x , y , z) 0
V(x , y , z)
0 x, y, z L
x , y, z 0,
x, y, z L
2 2 ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2m
2k 2 E 2m
k k x k y kz
则
x L
0
kL n , (n 1,2 .)
2mE n 2 2 2 n 2 2 E 2 L2 2mL2
n k , ( n 1 ,2 ,3 ,......) L n C sin x L
c
2
由归一化 dx 1 解得:
C 2 L
单电子薛定谔方程
2 2 V r r E r 2m
(1) (2)
V r Rm V r
其解一般可以写成
ik r r e u r
(3) (4)
其中 Rm m1a1 m2 a2 m3a3
2、绝热近似
可以认为体系处于平衡态时,所有粒子的动能平均值都有 相同的数量级。但由于电子的质量比离子的质量小得多。从 而电子的运动速度大约比离子的运动速度大两个数量级。对 于离子的任意的甚至是非平衡的一个组态分布,电子都可在 瞬间建立与这个分布相应的平衡。因此可以认为,在每一个 给定的瞬间,电子是在固定的离子势场中运动。反过来,在 离子还没有显著变化的时间内,电子就来得及以相应的几率 跑遍自己轨道的所有点。因此可认为,离子的运动不是在电 子的瞬时位置组态的势场中,而是在它们电荷的平均空间分 布所建立的势场中运动。这样就消除了体系的电子和离子之 间的能量交换的可能性。因此,这样近似叫做绝热近似。在 这种近似下,可以把离子的运动和电子的运动分开来考虑。
两边同时除以 1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z ) 得:
1 d 2 1 ( x ) 1 d 2 2 ( y ) 1 d 2 3 ( z ) 2 2 2 kx ky kz 0 1 ( x ) dx 2 2 ( y ) dy2 3 ( z ) dz 2
n x kx (nx 1,2,.......) L
nz kz ( nz 1,2,.......) L
8 sin k x x sin k y y sin k z z 3 L
2 2 2 2 E (k x k y k z ) 2m
2 2 2 2 2 ( ) ( nx n y nz ) 2m L
3( z L) 3( z )
2( y L) 2( y )
2n x kx L
ky
2n y L
2nz kz L
n , n , n
x y
z
0,1,2.......
2
1 ikr e 3 L
1 i (k x x k y y k zz ) e 3 L
3、多电子近似:在绝热近似前提下,假设离子心 固定在平衡位置,大量价电子在离子心势场中
运动。将多体问题化为多电子问题。
4、单电子近似
处理多电子问题最有效的方法之一是单电子近似法。即把每个电子 的运动,分别的单独的加以考虑。广泛应用的是“哈崔—福克方法”, 这种近似方法的基本思想是在研究一个电子的运动时,其它电子在晶体 各处对这个电子的库仑作用,按照它们的几率分布,被平均的加以考虑, 这个电子在电子平均势场中的势能(相互作用能)为Ωi 。 Ωi 不仅与所 有其它电子的运动有关,而且还与该电子本身的运动有关,这种势场称 为自洽场。 若用U表示电子和原子核之间的相互作用能,则晶体中一个电子的 势能可表示为:V ( r ) U ( r ) ( r ) 即认为电子在离子心势场和其它所有电子的平均势场中运动。这样一来 一个电子所受的库仑作用就仅随自己的位置而变化。于是它的运动方程 可由下面的仅含这个电子坐标的薛定谔方程所决定:
n x , n y , nz 取0, ,....... ,1
[2]周期性边界条件:
( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L) ( x, y, z )
1( x L) 1( x )
u r Rm u r
(5)
二、定理的证明 1、晶格平移算符
2 2 ˆ H V r 2m ˆ H r E r ˆ R f r f r R T m m
ˆ R T R f r T R f r R f r R R ˆ ˆ T m n m n n m ˆ R T R f r T R f r R T R T R f r T R R f r (9) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T m n n m n m m n ˆ R T R T R T R T R R ˆ ˆ ˆ ˆ T m n n m m n
晶体的三维单电子薛定谔方程:
2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ) 2m 2 2 :动能算符; V ( r ):势能算符 2m 2 2 V ( r ):能量哈密顿算符(H) 2m H n ( r ) E n n ( r ) : 能量的本征值方程 E n :能量的本征值 ,电子所有可能具有的能量。
绝热近似
多电子近似
多电子问题
单电子近似
单电子问题
1、原子价近似:晶体是一个包含大量的原子核、内层电子和 外层电子(价电子)的体系。通常把原子核和内层电子看
成一个整体,称为离子心(或原子实),这一近似称为原
子价近似。电子之间、离子心之间、电子和离子心之间存 在库仑相互作用。因而,实际晶体是一个多体系统.
d 2 1 ( x ) 2 k x 1 ( x ) 0.......( 1) dx 2
d 2 2 ( y ) 2 k y 2 ( y ) 0.......( 2) dy2
d 2 3 ( z ) 2 k z 3 ( z ) 0.......( 3) dz 2 1 ( x ) Ax e ik x x Bx e ik x x
2 2 2
2
2 ( x, y, z ) k 2 ( x, y, z ) 0 ( x, y, z ) 1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z )
2 2 2 2 2 2 ( k x k y k z ) 1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z ) 0 ( 2 2 2 )1( x)2( y)3(z) x y z
半导体物理与固体能带理论
参考书目:
1、半导体物理学:第十一章---第十三章, 孟宪章,康昌鹤,(吉林大学校内讲义)。 2、半导体物理学,李名复,科学出版社,1998. 3、半导体物理学(上、下册),叶良修,
上海科学技术出版社,1984。
4、半导体物理学,黄昆,谢希德,科学出版社,1958。 5、 Physics of Semiconductor Devices, 2nd,
2
k2
则 则:
d k 0
dx
2
( x ) Ae ikx Be ikx
(0 ) 0
则 A+B=0
B=-A
( x ) A( e ikx e ikx ) 2 iA sin( kx ) C L ) C sin( kx )
P.338 11.7 11.9 11.10
1.2 电子气的能量状态
1、一维金属中电子
(1)零边界条件 2 d 2 Ⅰ、Ⅲ区: V E Ⅱ区:
Ⅰ、Ⅲ: Ⅱ: 令
2
0
2 d 2 2 V E 2m dx
2mE 2
Ⅰ 0 Ⅱ L Ⅲ x
2m dx
2
V
2k 2 E 2m
2 E 2m L
2 2 2 ( n x n y nz )
2
3.状态密度(能级密度)
2 2 ( )3 正方体体积为 : L V
3
K空间单位体积的状态数为:
V ( 2 ) 3 1 V ( 2 ) 3
2k 2 E 2m
kZ
2 L
等能面是一个球面
kL 2n
2
(n=0,±1,……..)
2n i x L
Ae ikx Ae
L 2 0
0
dx 1
1 L
则 A dx A L 1
则A
1 2 n exp( i x) L L
2 k 2 2 2n 2 E ( ) , n ( 0 ,1, .......) 2m 2m L
( x , y ,0 ) ( x , y , L ) 0
1(0) 1( L) 0
3(0) 3( L) 0
2(0) 2( L) 0
sin k x L 0
sin k y L 0
ky
sin k z L 0
n y L ( n y 1,2,.......)
L
0