北京市五十六中2017届九年级数学上学期期中试卷(含解析)新人教版

2017北京市第56中学初一（上）期中数 学考试时间：100 分钟 满分： 100 分一 、选择题 （把答案填写在本题最后的括号中，每道小题2分，共20分） 1．3的相反数是（ ）A.-3B.3C.13 D.13- 2．北京国家体育场“鸟巢”建筑面积为258000㎡,数字258000用科学记数法表示为( ) A ．310258⨯ B ．4108.25⨯ C ．51058.2⨯ D ．61058.2⨯ 3．下列运算正确的是 ( )A ．2222x x -=B ．54xy xy xy -=C ．2222555c d c d +=D ．235235m m m += 4．下面结论中正确的是( )A ．72-比31-大 B. 213-的倒数是72C. 最小的负整数是-1D. 0.5 > 21-5．两个数的和为负数，那么这两个数 （ ）A.都是正数B.都是负数C.一正一负D.至少有一个为负数 6．下列式子中是多项式的是( ) A. 2x y - B.3x y + C.1a b + D.2- 7． a 是有理数，下列结论一定正确的是（ ）. A. a a >- B. 1a a>C. a = aD.2a ≥0 8．下列去括号正确的是（ ）.A. 3(2)32a b c a b c ---=-+-B.3(2)32a b c a a c ---=---C.3(2)32a b c a b c ---=-++D.3(2)32a b c a b c ---=--+ 9．某书中有一方程2x-13+=，其中一个数字被污渍 盖住了，书后该方程的答案为x =－1，那么 处的数字应是( ).A ．5B ．－5C ．21 D ．21- 10. 数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如下图，化简||||b c b a --+的结果是（ ） A ．c a + B ．a c - C ．a c -- D ．c b a -+2二、 填空题 （共10道小题，每道小题2分，共20分） 11．0.02450精确到百分位的近似数是 12．若||3x =，则x =13. 在数轴上，若点P 表示-3，则距P 点4个单位长的点表示的数是__________ 14. 若关于x 的方程5 x m-1– 6 = 3是一元一次方程，则m=_______ 15. 请你把()32113,2,0,,210---这五个数按从小到大，从左到右串成糖葫芦 （数字写在16.232xy -的系数是_____，次数是_____17.多项式4232m n mn -++是 次 项式.18．设m 、n 为整数，十位数字是m ，个位数字是n 的两位整数是 ___________ 19. 设〔x 〕表示不超过x 的最大整数，则〔1.2〕=_______, 〔32-〕=_______ 20. 将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰7”中C 的位置是有理数 ，-2017应排在A 、B 、C 、D 、E 中 的位置．-7-11-12A三、计算题（共8道小题，每道小题3分，共24分） 21．计算下列各题：（1） -14 -5+30-2 （2） -8÷(-2)×41（3）)433221(12--⨯ （4） 6)8325.0()21()1(3220112⨯---÷-+-…………峰1峰2峰n22．化简下列各题：（1）)7()9(532222x x x x -+---- （2）)104(3)72(5y x y x ---（3）化简：22332(14)2x x x x ----（） (4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----)121(242323x x x x四、解方程（共4个小题，小题各4分，共16分） 23.解下列一元一次方程（1） 3441x x -=+． （2）43(2)x x -=-．（3）5（x +8）-6（2x -7）=5 （4）1353231=---xx五、解答题（共5道小题，每道小题4分，共20分） 24.已知()2120x y +++=, 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2232312321y x y x x 的值.25.一个多项式加上2233a ab b +-得2245a ab b --，求这个多项式.26. 某股民在上周五买进某种股票1000股，每股40元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）.根据上表回答问题(1) 本周内该股票最高价是每股多少元？最低价是多少元? 答：最高：________ 元 最低：_______ 元 (2) 已知买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，若在本周五收盘前将全部股票一次性卖出，他的收益情况如何?27．如图是广告公司设计的商标图案，若每个小长方形的长为x ，宽为 y ， 求阴影部分面积。

2017北京市第五十六中学初二（上）期中数学考试时间：100分钟满分：100分一、选择题：（每小题3分，共10道小题，共30分，答案写在答题框内）1．如图1，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm(1) (2) （3）2．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列式子：1x，23aa b-，3x y+，42πa-，2x xx-，其中是分式的有A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如上图2，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需A．AB=DC; B．OB=OC; C．∠A=∠D; D．∠AOB=∠DOC5．如上图3，AB=AC,BD=EC,AF⊥BC,则图中全等三角形有A．2对 B．3对 C．4对 D．5对6．文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是A．2802801421x x+=-B．2802801421x x+=+C．1401401421x x+=-D．1401401421x x+=+7. 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＜a）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为A．a+b B． 2a+b C．2a-b D．a+2b8．如右图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A为A．18° B．20° C．22.5° D．30°9．下列说法中不正确．．．的是EDCBAMA ．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B ．有一边对应相等的两个等边三角形全等C ．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等10. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右．．对折，接着对折后的纸片沿虚线CD 向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是二、填空题（ 每题3分，共24分）11. 当x = 时，分式242x x --的值为零．12．计算: ()=--22___________．13. 若x 2+kx +25 是一个完全平方式, 则实数k 的值为 ___________. 14. 分解因式: a 3- 16a = ___________．15．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为 cm.16. 如图，AB =AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的有_________． 17．已知：如图，把Rt △ABC （∠C=90°）折叠， 使A 、B 两点重合，得到折痕 ED ,再沿BE 折叠，C 点 恰好与D 点重合,则∠A 等于 度．18．研究员对附着在物体表面的三个微生物（分别被标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．第一天，这三个微生物各自一分为二，变成新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，变成新的微生物．研究员用如右图所示的图形进行形象的记录，那么标号为25的微生物会出现在第 天, 标号为100的微生物会出现在 第 天.三、因式分解 (每题3分, 共6分)19. 2x 3+ 12x 2+ 18x ; 20. a 2− 2ab – 4 + b 2DEABC第15题ACEB FDE CB AD四、计算下列各题：（21、22每小题4分，23题5分，共13分） 21. 22142x x x --- 22. 解分式方程：2112525x x x -=-+23．先化简代数式22321(1)24a a a a -+-÷+-，再从-2, 0,2三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值.五、做图题：（共8分）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）24. 作图：已知∠AOB ，试在∠AOB 内确定一点P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等.25.如图所示，作出△ABC 关于直线l 的对称三角形C B A '''.六、解答题（29题4分，其它题5分，共19分）26.如图，BE=AD ，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若BD=6. 求EC 的长. 解：AB OMN27. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证：（1）FC =AD ；（2）AB =BC +AD ． (1)(2)28．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D 为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°．点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM=DA ，求证：ME=DC ． 解： （1）（2）29．已知：在△ABC 中，∠CAB =2α，且030α<<，AP 平分∠CAB ．（1）如图1，若21α=，∠ABC =32°，且AP 交BC 于点P ，试探究线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系，并对你的结论加以证明；答：线段AB ，AC 与PB 之间的数量关系为：____________________． 证明：ABCPE ADBMCBCD EFA（2）如图2，若∠ABC =60α-，点P 在△ABC 的内部，且使∠CBP =30°， 直接写出∠APC 的度数（用含α的代数式表示）， 写出做题思路。

似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，．．2 B.9A.33B ．45C．34D．3度是A．12B ．18D．1 4C．1北京一六一中学2017届第一学期期中考试九年级数学试题班级______________姓名______________学号_________考1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。

生2．试卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

须3．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知4．考试结束后，将答题纸和草稿纸一并交回。

5.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位13则点C的坐标为A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)6.如图，在△Rt ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．那么AD的值为C1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是2 C.332 D.33A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1，2）D．（-1，-2）2.在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)和点B(0,-4)，则cos∠OAB等于A．45A D B7.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高A3.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．A D E若AD＝1，DB＝△2，则ADE的面积与△ABC的面积的比等于B C9A．(82+83)m B．(8+83)m8383C．(82+3)m D．(8+3)mE CB D4.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数解析式是A.y=(x+1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(x+1)2-2D.y=(x-1)2+28.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧{}12，tan B=9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b>0；②abc<0；③b2-4ac>0；④a+b+c<0；⑤4a-2b+c<0，其中正确的个数是A．2B．3C．4D．510.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x△，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是A．B．C．D．二、填空题（本题共18分,每小题3分）11.写出一个开口向下，顶点坐标为(0,-2)的抛物线的解析式____________.A(-2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为__________．15.在△ABC中，∠B=45，AB=36，AC=6，则BC=.16.定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b时,min{a,b}=b；当a＜b时, min{a,b}=a．如：min{,-2}=-2，min{-1,2}=-1．（1）min x2-1,-2=______________；（2）若min{x2-2x+k,-3}=-3,则实数k的取值范围是_____________.三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17.3tan60︒-sin245︒-3tan45︒+cos60︒18.解方程:x2-4x-7=012.在∆ABC中，若sin A=333，则∠C=_____________°.19.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5,求AE的长．A△13．如图，ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为．ADB C14.如图，抛物线y=ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为EDB C20.抛物线y=2x2平移后经过点A(0,3)，B(2,3)，求平移后的抛物线的表达式．23. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°， sin A = ， BC =8，D 是 AB 中点， BPD 的值．21. 已知：如图，在△ ABC 中， BC = 2 ， S∆ABC= 3 ， A∠ABC = 135 ︒ ，求 AC 和 AB 的长．22. 已知二次函数 y = x 2 - 2 x - 3 .（１）将 y = x 2- 2 x - 3 化成 y = a ( x - h )2 + k 的形式；（２）与 y 轴的交点坐标是___________,与 x 轴的交点坐标是_______________,（３）在坐标系中利用描点法画出此抛物线.x ......C ByO 1 2 x25. 随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活. 某汽车租赁公司拥有 40 辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为 120 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 5 元时，未租出的车将增加 1 辆；该公司平均每日的各项支出共 2100 元．(1) 若某日共有 x 辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元；(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？y ......（４）不等式 x 2 - 2 x - 3 > 0 的解集是___________.45过点 B 作直线 CD 的垂线，垂足为 E ． E（1）求线段 CD 的长； D（2）求 cos ∠ABE 的值．AC24. 已知抛物线 y = x 2 - (2m - 1)x + m 2 - m（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 y = x - 3m + 3 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值．26. 阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图 △1，在 ABC 中，∠ACB =90°，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在 BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与 BE相交于点 P ，求 AP他发现，过点 A 作 AF ∥BC ，交 BE 的延长线于点 △F ，通过构造 AEF ，经过推理和PD 的值为BD = _____________ ；② 当 α = 180︒ 时， 试判断：当 0°≤α＜360°时， AEPD 的值；折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M ．若–5 –4 –3 –2 –1–1计算能够使问题得到解决（如图 2）．经过点 C (4, 2) 的直线 y = kx + b (k ≠ 0) 与图象 M 在第三象限内有两个公共点，结合请回答：（1） AP．图象求 b 的取值范围．28. 如图 1，在 △Rt ABC 中，∠B = 90°，BC =2AB =8，点 D ，E 分别是边 BC ，AC 的中点，连接DE . △将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α.（1）问题发现图 1 图 2 图 3① 当 α = 0︒ 时，AE（2）拓展探究AEBD = __________ .参考这个同学思考问题的方法，解决问题：如图 △3，在 ABC 中，∠ACB =90°，点 D 在 BC 的延长线上，AD 与 AC 边上的中线 BE 的延长线交于点 P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ．（2）求 AP（3）若 CD=2，则 BP =．27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx 2 - 2mx - 3(m ≠ 0) 与 x 轴交于 A (3,0) ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点 B 的坐标；yDB 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明.（3）问题解决当△ EDC 旋转至 A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.A A E AE DB DC B C B C（图 1） （图 2） （备用图）29. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M > 0 ，对于任意的函数值 y ，都满足 -M ≤ y ≤ M ，则称这个函 数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是 1．（2）当 -2 < x < 3 时的函数图象记为 G ，求此时函数 y 的取54值范围；32（3）在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻1O –2 –3 –4 –51 2 3 4 5 x当m在什么范围时，满足≤t≤1？17.解：解：原式=3⨯3- ⎪-3⨯1+1…………………………4分⎝2⎭2=3-1AC=ADAB.5=3.⎩3=8+2b+c.………………………………………………………………………3分（1）分别判断函数y=1(x>0)和y=x+1(-4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求x其边界值；（2）若函数y=-x+1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(-1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，34二、填空题（本题共18分,每小题3分）11.y=-x2-2（答案不唯一）12.90°13.∠ABD=∠C（答案不唯一）14.x=-2,x=115.33±316.-2;k≥-212三、解答题（本题共72分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）⎛2⎫2⎪12-3+2=0．……………………………………5分18.解：x=2+11,x=2-11……………………………………5分1219.证明:在△AED和△ACB中，∵∠A=∠A,∠AED=∠C,……………2分∴△AED∽△ACB.………………3分∴AE………4分∴AE46.∴AE=10------------5分北京一六一中学2017届第一学期期中考试九年级数学试题答案和评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.A2.D3.D4.C5.A6.A7.D8.D9.B10.D 20.设平移后抛物线的表达式为y=2x2+bx+c．………………………………………1分∵平移后的抛物线经过点A(0,3)，B(2,3)，⎧3=c,∴⎨⎩c=3.…………………………………………………………………………4分23.（1△）∵ABC中，∠ACB=90°，sin A=4sin A=2AB=5．…………………………………2分∴∠CFD=90°．A∴CF=AC⋅BCCD=5=2AB=5．……………………………………………………………………3分2∆ABC．⎧b=-4,解得⎨5，BC=8，所以平移后抛物线的表达式为y=2x2-4x+3．……………………………………5分解二：∵平移后的抛物线经过点A(0,3)，B(2,3)，∴AB=BC84=10．…………………………………1分5B∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=1.…………………………………………1分∴设平移后抛物线的表达式为y=2(x-1)2+k．…………………………………2分∴3=2⨯(2-1)2+k．.………………………………………………………………3分∴k=1．.………………………………………………………………………………4分所以平移后抛物线的表达式为y=2(x-1)2+1．…………………………………5分21.解：过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D………1分∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，E∴CD=1（2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．在△Rt ABC中，由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-82=6．∵CF⋅AB=AC⋅BC，DC在△ABC中，S∆ABC =3，BC=2A AB=245．………………………………3分∴AD=2S∆ABC=3………2分BC∠ABC=135 ∴∠ABD=45 C B D∵BE⊥CE，∴∠BED=90°．∵∠BDE=∠CDF，∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分∴AB=2AD=32………3分BD=AD=3………4分∴cos∠ABE=cos∠DCF=CF法二：∵D是AB中点，AB=10，2452425．…………………………………5分在△Rt ADC中，CD=5，AC=AD2+CD2=34…5分∴BD=122.解：（1）y=(x-1)2-4………………1分∴S∆BDC =1S（2）(0,-3)………………２分在△Rt ABC中，由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-82=6．（３,０）（-１,０）………………３分（３）图………………４分（４）x<-1或x>3………………５分∴S∆ABC=12⨯6⨯8=24．EBDFA C2 BE CD = 12 ． 2 ⨯ (-5) = 8 时，y 有最大值.∴ BE = 24BD = 5 =PD 的值为 326. .解：AP2 PD = PD =∴ S= 12 ．∆BDC∴ 1∵ CD = 5 ，5 ． ………………………………………………4 分∵BE ⊥CE ，∴∠BED =90°．24∵ - 5 < 0 ，∴当 x = - 80y 有最大值是 3020. ……………………………………………………………………………………………… 4 分∴120+5x =120+5×8=160. …………………………………………………………………………………… 5 分答：当每辆车的日租金为 160 元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为 3020 元.25.∴ cos ∠ABE =BE5 2425 ．……………………………………………………5 分（1）２４．证明：∵△= [-(2m - 1)]- 4(m 2 - m ) …………………………………… 1 分= 4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 + 4m=1＞0，∴ 此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点． ……… 2 分2 . …………………………………………………………………1 分解决问题：（1）过点 A 作 AF ∥DB ，交 BE 的延长线于点 F ，……………………………………2 分设 DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .（2）解：∵ 此抛物线与直线错误！未找到引用源。

2024-2025学年北京市第五十六中学数学九上开学质量检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若直线y ＝3x +6与直线y ＝2x +4的交点坐标为（a ，b ），则解为x ay b =⎧⎨=⎩的方程组是（）A ．3624y x x y -=⎧⎨+=-⎩B ．360240x y x y ++=⎧⎨--=⎩C ．360240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩D ．3624x y x y -=⎧⎨-=⎩2、（4分）如图，双曲线6(0)y x x=>的图象经过正方形OCDF 对角线交点A ，则这条双曲线与正方形CD 边交点B 的坐标为()A ．(6,1)B ．⎛ ⎝C ．⎛⎝D ．⎛ ⎝3、（4分）如图，把一个含45°角的直角三角尺BEF 和个正方形ABCD 摆放在起，使三角尺的直角顶点和正方形的顶点B 重合，连接DF ，DE ，M ，N 分别为DF ，EF 的中点，连接MA ，MN ，下列结论错误的是（）A ．∠ADF=∠CDEB ．△DEF 为等边三角形C ．AM=MND ．AM ⊥MN4、（4分）若直线24y x =--与直线2y x b =+的交点在第三象限，则b 的取值范围是()A ．44b -<<B ．40b -<<C ．4b <-或4b >D ．44b -≤≤5、（4分）在□ABCD 中，216B D ∠+∠=︒，则A ∠的度数为（）A ．36︒B ．72︒C ．80︒D ．108︒6、（4分）下列各式成立的是（）A ．2=-B 3=±C x =D ．26=7、（4分）若关于x 的一次函数()23y k x =-+，y 随x 的增大而减小，且关于x 的不等式组279x x k +≥⎧⎨+<⎩无解，则符合条件的所有整数k 的值之和是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．18、（4分）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学情景，下列说法中错误的是（）A ．用了5分钟来修车B ．自行车发生故障时离家距离为1000米C ．学校离家的距离为2000米D ．到达学校时骑行时间为20分钟二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，函数y ax =（0a >）和4y kx =+（k 0<）的图象相交于点(1,)A m ，则不等式4ax kx ≤+的解集为_________．10、（4分）如图，已知矩形ABCD ，8AB cm =，6BC cm =，点Q 为BC 中点，在DC上取一点P ，使APQ ∆的面积等于218cm ，则DP 的长度为_______.11、（4分）如图，矩形ABCD 中，AB ，AD ＝1．点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为_____．12、（4分）铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为20cm ，长与宽之比为3:2，则该行李箱宽度的最大值是_______.13、（4分）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点B 2019的横坐标是______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简再求值：22x 1x 2x 1x 1x 1x 1--+⎛⎫-+÷ ⎪+-⎝⎭，然后在x <<的范围内选取一个合适的整数作为x 的值并代入求值．15、（8分）如图1，在正方形ABCD 中，1AB =，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 和CM ．（1）求证：AM CM =；（2）如图2，延长CM 交AB 于点E ，F 为CD 上一点，连接EF 交AM 于点，且有CE EF =．①判断EF 与AM 的位置关系，并说明理由；②如图3，取AE 中点G ，连接AF 、NG ，当四边形AECF 为平行四边形时，求NG 的长．16、（8分）某港口P 位于东西方向的海岸线上．在港口P 北偏东25°方向上有一座小岛A ，且距离港口20海里；在港口与小岛的东部海域上有一座灯塔B ，△PAB 恰好是等腰直角三角形，其中∠B 是直角；（1）在图中补全图形，画出灯塔B 的位置；（保留作图痕迹）（2）一艘货船C 从港口P 出发，以每小时15海里的速度，沿北偏西20°的方向航行，请求出1小时后该货船C 与灯塔B 的距离．17、（10分）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点，连接AC 和BC ，怎样测出A 、B 两点的距离？（活动探究）学生以小组展开讨论，总结出以下方法：⑴如图2，选取点C ，使AC =BC =a ，∠C =60°；⑵如图3，选取点C ，使AC =BC =b ，∠C =90°；⑶如图4，选取点C ，连接AC ，BC ，然后取AC 、BC 的中点D 、E ，量得DE =c …（活动总结）（1）请根据上述三种方法，依次写出A 、B 两点的距离．（用含字母的代数式表示）并写出方法⑶所根据的定理．AB =________，AB =________，AB =________．定理：________．（2）请你再设计一种测量方法，（图5）画出图形，简要说明过程及结果即可．18、（10分）如图，一次函数y =2x +4的图象分别与x 轴，y 轴教育点A 、点B 、点C 为x 轴一动点。

2016-2017学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣23．如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：55．在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．120°B．140°C．150°D．160°8．二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为（）A．5 B．0 C．﹣3 D．﹣49．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式．12．把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k= ．13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．15．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：请回答：小涵的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2﹣6x﹣1=0．18．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由．19．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）2y）．m= ；（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．22．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．28．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．2016-2017学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B ．2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y=（x+2）2+2B ．y=（x ﹣2）2﹣2C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x+2）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数y=x 2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x ﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y=（x ﹣2）2﹣2；故选B ．3．如果4a=5b （ab ≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．【解答】解：两边都除以ab ，得=，故A 正确；B 、两边都除以20，得=，故B 错误；C 、两边都除以4b ，得=，故C 错误；D 、两边都除以5a ，得=，故D 错误．故选：A ．4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴AE：EC=3：2，∴AE：AC=3：5．故选：D．5．在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，∴点A在⊙O上，故选：B．6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°．故选C．7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．120°B．140°C．150°D．160°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】利用垂径定理得出==，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：B．8．二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为（）A．5 B．0 C．﹣3 D．﹣4【考点】二次函数的最值．【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3可化为y=（x﹣1）2﹣4，∴最小值是﹣4．故选D．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选B．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图2，分三段考虑：当点P沿O→C运动时；当点P沿C→D运动时；当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系即可．【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【分析】首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与y轴的交点坐标的纵坐标为2得到c值即可得到函数的解析式．【解答】解：∵开口向下，∴y=ax2+bx+c中a＜0，∵与y轴交于（0，2）点，∴c=2，∴抛物线的解析式可以为：y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．12．把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k= ﹣1 ．【考点】二次函数的三种形式．【分析】首先把x2﹣6x+5化为（x﹣3）2﹣4，然后根据把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，分别求出h、k的值各是多少，即可求出h+k的值是多少．【解答】解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴（x﹣3）2﹣4=a（x﹣h）2+k，∴a=1，h=3，k=﹣4，∴h+k=3+（﹣4）=﹣1．故答案为：﹣1．13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是6米2．【考点】正多边形和圆．【分析】首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长，由S正六边形=6S△OBC求得结果即可．【解答】解：如图所示：连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC，∴BH=BC=1，∴OH=，∴S正六边形=6S△OBC=6××2×=6．故答案为：6．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为26 ．【考点】垂径定理的应用．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．15．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【分析】首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由弦AB的长等于⊙O的半径，可得△OAB是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角．【考点】切线的判定；作图—复杂作图．【分析】根据圆周角定理得出∠PBO=∠PCO=90°，即OB⊥PB，OC⊥PC，即可证得PB、PC是⊙O的切线．【解答】解：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∵OB、OC是⊙O的半径，∴PB、PC是⊙O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．故答案为：直径所对的圆周角是直角．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2﹣6x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±，则x1=3+，x2=3﹣．18．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的性质．【分析】要证明=，则要证明∠DAF=∠GAD，由AB=AF，得出∠ABF=∠AFB，平行四边形的性质得出，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出=．【解答】解： =，理由：连接AE．∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，∴∠GAF=∠FAE，∴．19．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0【分析】时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）AB==5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．2y）．m= 3 ；（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1＞y2（用“＞”或“＜”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出m；（2）根据﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，它们y的范围解答；（3）设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，然后把点（1，0）代入求出a的值，即可得解．【解答】解：（1）观察表格，可知m=3．故答案为：3；（2）∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴y1＞y2．故答案为：＞；（3）∵顶点是（2，﹣1），∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，由图可知，函数图象经过点（1，0），∴a（1﹣2）2﹣1=0，解得a=1．∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．22．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意得出每天获得的利润P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．【解答】解：根据题意得：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．∵a=﹣3＜0，∴当x=28时，利润最大=192元；答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD即可；（2）由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l与⊙O相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE=CE，∴弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D，设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得 150=a（50﹣100）（50+100）．解得，∴．即抛物线的解析式为，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．25．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2 ；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】①利用描点法即可作出函数的图象；②当y=0时，解方程求得x的值，当y＞0时，就是函数图象在x轴上方的部分，据此即可解得；③仿照上边的例子，首先作出函数y=x2﹣2x+1的图象，然后求得当y=4时对应的x的值，根据图象即可求解．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2；（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=﹣=1．解得：m=1．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．解得：x1=﹣1，x2=3．∵a=﹣1＜0，∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．①当k＜0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0．解得：k≥﹣2．②当k＞0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴k﹣4≤﹣3．解得；k≤1．∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．28．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①根据周角的定义得到∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，由于将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根据四边形的内角和即可得到结论；②如图1，连接OD，由于△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根据全等三角形的性质得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根据勾股定理即可得到结论；（2）①如图2，由旋转的性质得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四点B，O，O′，A′共线，即可得到结论，②根据①的结论即可得到结果．【解答】解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①根据新定义得到点M的变换点M′的坐标为（2，2），于是根据勾股定理计算出OM′=2，则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M的变换点在⊙O上；同样方法可判断点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外②利用一次函数图象上点的坐标特征，设P点坐标为（x，x+2），利用新定义得到P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则根据勾股定理计算出OP′=，然后利用点与圆的位置关系得到＜2，解不等式得﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据新定义得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x得3m+n=6，则n=﹣3m+6，于是得到P点坐标为（m，﹣3m+6），则可判断点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理计算出AB=2，再利用面积法计算出OH=，所以CH=﹣1，当点P在H点时，PC为点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【解答】解：（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′==2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则ON′==＞2，所以点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外；②设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=，∵点P′在⊙O的内，∴＜2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∴AB==2，∵OH•AB=OA•OB，∴OH==，∴CH=﹣1，即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为﹣1．。

2024北京北京中学初三（上）期中数 学满分100分 考试时间120分钟一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =−C ．121,9x x ==D ．123,3x x ==−3．将抛物线2y x =向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）A ．23y x =+B ．23y x =−C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =−4．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n ︒后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1205．用配方法解方程2420x x −+=，配方正确的是（ ）A 2(2)2x −=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x −=−D ．2(2)6x −=6．关于二次函数2(2)3y x =−−+，以下说法正确的是（ ）A ．当2x >−时，y 随x 增大而减小B ．当2x >−时，y 随x 增大而增大C ．当2x >时，y 随x 增大而减小D ．当2x >时，y 随x 增大而增大7．根据下列表格的对应值，判断方程210x x +−=一个解的取值范围是（ ）x 0.590.60 0.61 0.62 0.63 21x x +−0.061− 0.04− 0.018− 0.0044 0.027 A ．0.590.60x << B ．0.600.61x << C ．0.610.62x << D ．0.620.63x <<8．如图，矩形OABC 中，(3,0),(0,2)A C −，抛物线22()1y x m m =−−−+的顶点M 在矩形OABC 内部或其边上，则m 的取值范围是（ ）A ．30m −≤≤B ．10m −≤≤C ．12m −≤≤D ．31m −≤≤−第二部分 非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点(1,2)P −关于原点的对称点的坐标为______．10．写出一个开口向下，与y 轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______．11．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有一个根为1，则m 的值为______．12．已知()()12,1,,1P x Q x 两点都在抛物线241y x x =−+上，那么12x x +=______． 13．若关于x 的方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方“”的位置，则旋转中心的坐标是______．15．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，可列方程为______．小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成：每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如下表所示：分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．解方程：2280x x −−=18．已知二次函数22y x x =−．（1）补全表格，并在右图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点(2,7)P −______该函数的图象上（填“在”或“不在”）．19．如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，将ABC △绕点C 逆时针旋转得到DEC △，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段,BD DE 的长．20．已知m 是方程220x x −−=的根，求代数式()15m m −+的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中()()2,4,2,0A B −−，将OAB △绕原点Ｏ顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．（1）在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为______；（2）若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点()()1,03,0，． （1）求该二次函数的解析式；（2）当13x −<<时，直接写出函数值y 的取值范围．23．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；（2）中间小正方形的面积为______平方步；（3）若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为______；（4）由（2）（3）可得关于x 的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步．24．已知关于x 的一元二次方程2)440x k x k −++=（． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．25．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米．图1 图2 通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）0 2 4 6 8 y （米） 4.05.56.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式()2(0)y a x h k a =−+<；（2）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？26．已知：二次函数221y ax ax a =−++．（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）若点()12)1,,2,A n y B n y +−（在抛物线()2210y ax ax a a =−++>上，且12y y <，求n 的取值范围．27．如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC △内一点，连接,,AP BP CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接,PP BP ''．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时旋转90︒得到点P ，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC △关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为1n −（，），其关于原点对称的抛物线上存在ABC △关于原点O 的“伴随点”，求出n 的最大值和最小值．。