弦切角定理

弦切角定理证明方法篇一：弦切角定理及推论弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线切圆于点，、为圆的弦，∠，∠，∠，∠都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半弦切角定理证明：证明一：设圆心为，连接，,。

∵∠=90-∠∵∠=180-2∠∴,∠=2∠（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠=2∠（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠=∠（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：是⊙的弦，是⊙的切线，为切点，弧是弦切角∠所夹的弧求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心在∠的一边上∵为直径，切⊙于，∴弧=弧∵为半圆,∴∠=90=弦所对的圆周角点应在点左侧（2）圆心在∠的内部过作直径交⊙于,若在优弧所对的劣弧上有一点那么，连接、、则有：∠=∠、∠=∠∴∠=∠∴（弦切角定理）（3）圆心在∠的外部,过作直径交⊙于那么∠+∠=∠+∠=90∴∠=∠∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在△中，∠=90，以为弦的⊙与相切于点，∠=60°,=求长解：连结，∵在△中,∠=90∴∠=30°∴=12(△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，是Δ中∠的平分线，经过点的⊙与切于点，与，分别相交于，求证：∥证明：连是∠的平分线∠=∠∠=∠∠=∠⊙切于∠=∠∠=∠∥例3：如图，Δ内接于⊙，是⊙直径，⊥于，切⊙于，求证：平分∠，平分∠证明：∵是⊙直径∴∠=90∵⊥∴∠=∠，∵切⊙于∴∠=∠，∴∠=∠，即平分∠，同理：平分∠篇二：弦切角定理导学案弦切角定理导学案【学习目标】：1理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。

2通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。

D
C
∴∠FDC=∠DAC
∴ EF∥BC
一题多变：
（1）在∆ABC中，过点A与BC相切于D的圆分别交AB、AC于E、F，且 EF∥BC，求证：AD平分∠A
（2）在∆ABC中，∠A的平分线AD与∆AEF的外接圆交于D，过D作 BC∥EF，求证：BC与圆相切
练习6：如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E，AF 是直径，求证：CD＝CB.
证明：连结BC．
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°
∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE ∴ ∠ADC=90°B
O
1A
2
∠DAC=∠CLeabharlann B即AC平分∠BAD．E
C
D
思路二:
连结OC,由切线性 质,可得OC∥AD,
于是有∠2=∠3,又 B
由于∠1=∠3,可证 得∠1=∠2
E
O
1A
3
2
C
D
例2： 已知：如图，△ABC内接于⊙O ，PA是⊙O的
· E O
F
A
D
B
C
例3已知： O1和O2都经过A、B两点，AC是O2的切 线，交O1于点C，AD是O1的切线，交O2于点D. 求证：AB2＝BC•BD
分析：要证AB2＝BC•BD，
A
可转化为BC：AB＝AB：BD，
O1
观察图形看到需证明
∆ACB∽∆DAB
B C
O2 D
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
O
B
38°
M
C
A
D N
3、如图：AB切⊙O于点A，
圆周被AC所分成的优弧与劣弧

E C D B O A
∴ ∠ACD +∠DAC＝900.
又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点 C, ∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.
练习：
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C， O 4 则图中弦切角有 个. 若∠AOC=1200,则∠ ACD = 600 . B C ∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB. 2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直 径,若∠ BCM=400,则∠ ABC等于（ B ） A.400 B. 500 C. 450 D.600
D 几何语言:
BA切⊙O于A
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｂ
AC是圆O的弦
∠BAC= ∠ADC
例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点 C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD. 证明：连接BC． ∵AB是⊙O的直径, ∴ ∠ACB＝900. ∴ ∠B +∠CAB＝900. ∵AD⊥CE, ∴ ∠ADC＝900.
E B
O
F D C
小结：
1.弦切角的概念。 2.弦切角定理及其简单应用。
作业：
p16 1,2题
O
A
D O B C F C N A
E
A
例2: 如图,AD是△ABC中 ∠BAC的平分线,经过点A 的⊙O与BC切于点D,与AB、 AC分别相交于E、F. 求证： EF∥BC. 证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD=∠BAD， ∴∠EFD=∠DAC. 又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC. ∴∠FDC= ∠EFD ∴ EF∥BC
C
C C
. O

郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥A B于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。