等差数列及其前n项和
【高考会这样考】
1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．
2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．
【复习指导】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．
2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．
基础梳理
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
如果A＝
，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝
；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝
，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋
d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝
n2＋
n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝
.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a ＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
解析a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.
答案 C
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于
( )．
A．31 B．32 C．33 D．34
解析由已知可得
解得
∴S8＝8a1＋
d＝32.
答案 B
3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )．
A．1 B．9 C．10 D．55
解析由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.
答案 A
4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )．
A．13 B．35 C．49 D．63
解析∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝
＝49.
答案 C
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析设公差为d.
则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案13
考向一等差数列基本量的计算
【例1】?(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
[审题视点] 第(1)问，求公差d；
第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.
解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝
＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求．
等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．
【训练1】(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝
，a1＝
，所以a5＝a1＋4d＝
＋4×
＝
