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第8章特征值和特征向量
M AT LAB中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在
线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。
8.1 特征值和特征向量的计算
假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解：
其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向
量。对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个n×n的矩阵有n个特征值，表
示为λ1，λ2，. ..，λn。M AT LAB中用命令e ig来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个
特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。
命令e ig自动完成对矩阵A的平衡化。这就要求M AT LAB找出一个相似变换矩阵Q，满足
条件。求的特征值比求A的特征值条件更好些。万一A有一个和机器错误大小一
样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数n obalance的命令e ig可用来计算
没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。
命令集7 9特征值和特征向量
e ig(A)求包含矩阵A的特征值的向量。
[ X,D]=eig(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵
X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到
有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。[ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是
eig(A,’nobalance’)不进行平衡相似变换。
b alance(A)求平衡矩阵。
[ T,B]=balance(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。
B是用命令b alance求得的平衡矩阵。
e igs(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e ig
一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计
算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的
秩不小于6，则计算出6个特征值来。e igs(f,n)求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算
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7 矩阵特征值与特征向量地计算
设A为n阶方阵,所谓A地特征值问题是求数和非零向量x,使xAx成立.数称作A地一个特征值,非零向量x称作与特征值对应地特征向量.求给定方阵地特征值与特征向量是先求解特征方程
()||0EA
然后对应于每一个特征值i,再求解退化地齐次线性方程组
()0iEAx
从而得到A地特征值i及对应地特征向量x.
但是这种方法计算机很大,计算过程复杂,因此有必要研究相对简单地数值解法.本章主要介绍三类计算特征值地方法：计算大型（稀疏）矩阵主特征地幂法与反幂法,计算中小型（实对称）矩阵全部特征值地Jacobi法,计算中小型矩阵全部特征值地QR法.
7.1 特征值估计
在矩阵特征值计算中,有时需要对特征值所在范围给出一个估计.这里介绍一种从矩阵地元素出发,运用较简便地运算估计特征值地方法.
定义7-1 设()nmijAaC,称由不等式
||iiizaR
在复平面上确定地区域为矩阵A地第i个盖尔圆（Gerschgorin圆）,并用iG表示.
其中1||niijjjiRa称为盖尔圆iG地半径(1,2,,)in.
定理7-1 矩阵()nmijAaC地一切特征值均落在它地n个盖尔圆地并集中,即
1(1,2,,)nijjGin.
证明 设是A地任一特征值,12(,,,)Tnxxxx是对应地特征向量.
令01||max||iiinxx,则00ix.由Axx,可得001()nijjijaxx.即
nijjjjiiiixaxa000001)( 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
于是有 00000000011iijnijjjinijjijjiiiRxxaxxaa
安徽工程大学毕业设计（论文）
- 1 - 引言
众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
高等数学线性代数教材目录
第一章 行列式
1.1 行列式的引入
1.2 二阶和三阶行列式的计算
1.3 行列式的性质和性质的应用
1.4 行列式的性质证明
第二章 矩阵和向量
2.1 矩阵的概念和基本运算
2.2 矩阵的转置和逆
2.3 向量的线性相关性和线性无关性
2.4 向量组的秩和极大线性无关组
第三章 矩阵的运算
3.1 矩阵的加法和减法
3.2 矩阵的数乘
3.3 矩阵的乘法
3.4 矩阵的特殊类型
第四章 线性方程组 4.1 线性方程组的概念和解的分类
4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解
4.3 线性方程组的向量表示
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义和例子
5.2 向量子空间和子空间的概念
5.3 向量空间的线性组合和生成子空间
5.4 基和维数
第六章 矩阵的特征值和特征向量
6.1 特征值和对角化
6.2 特征多项式和特征方程
6.3 相似矩阵和相似对角矩阵
6.4 实对称矩阵的对角化
第七章 线性变换
7.1 线性变换的概念和性质
7.2 线性变换的矩阵表示
7.3 线性变换的特征值和特征向量 7.4 线性变换的相似、迹和行列式
第八章 内积空间
8.1 内积的定义和性质
8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间
8.3 向量的正交性和正交子空间
8.4 施密特正交化方法
第九章 广义特征值问题
9.1 广义特征值问题的引入
9.2 广义特征值的计算
9.3 广义特征值与相似变换
9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化
