【11级数学一轮复习】1.3函数的单调性与最值(第6-9课时)_New

【11级数学一轮复习】1.3函数的单调性与最值(第6-9课时)

第6-9课时（周一、二、三 4月22-24日）

（2013年4月22日9℃～19℃阴；23日9℃～21℃多云；）

山东省桓台第一中学 苏同安

课题：1.3函数的单调性与最值

三维目标：

1、知识与技能

（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决相关基本问题；

（2）能利用函数的单调性解决相关的综合性问题（如：求参数的范围和最值）。

2、过程与方法

（1）体会函数的性质所带来的函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想；

（2）通过对函数的单调性复习和应用，进一步体会函数知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；

（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

3、情态与价值观

（1）通过函数的单调性的进一步复习、巩固和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的

重点难点

重点：①函数单调性的定义．

②函数的最大(小)值．

难点：①函数单调性的证明．

②求复合函数单调区间．

知识归纳

一、单调性定义

1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1

都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．

二、单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．

2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则1()fx为减函数，()fx为增函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．

5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

三、函数单调性的应用有：

(1)比较函数值或自变量值的大小．

(2)求某些函数的值域或最值．

(3)解证不等式．

(4)作函数图象．

四、函数的最大(小)值：

1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：

(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；

(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.

称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．

2．求法：

(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．

误区警示

1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点

(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．

(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．

(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(减)函数，则f(x1)x2)．

2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域

一、利用复合函数的单调性解题

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

t＝g(x) y＝f(t) y＝f[g(x)]

增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增

二、解题技巧

给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件判断f(x1)－f(x2)的符号或fx1fx2与1的大小；判断奇偶性须设法产生f(－x)与f(x)的关系

式等．判断单调性时，若关系式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数值的形式．

1.(2012年高考广东卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A )

(A)y=ln(x+2) (B)y=-1x (C)y=x21 (D)y=x+x1

解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+∞),在(0,+∞)上递增,y=-1x,定义域为[-1,+∞),在(0,+∞)上递减,y=x21,定义域为R,在(0,+∞)上递减,y=x+x1,定义域为(-∞,0) (0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选A.

2.若函数f(x)=ax+1在R上递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B )

(A)(2,+∞) (B)(-∞,2)(C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2)

解析:由f(x)在R上递减知a<0,所以g(x)在(-∞,2)上递增,

在(2,+∞)上递减.故选B. 双基自测

3.函数f(x)=11x在[2,3]上的最小为

,最大值为 .

解析:函数f(x)=11x在[2,3]上单调递减,

∴最大值是f(2)=1,最小值是f(3)=21.答案:21

1

4.(2012年高考安徽卷)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .

解析:函数的图象是以0,2a为端点的2条射线组成,所以-2a=3,a=-6.答案:-6

确定函数的单调性或单调区间

【例1】 (1)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间;

(2)判断函数y=12xx在(-1,+∞)上的单调性.

解:(1)由于y=),0(12),0(1222xxxxxx即y=).0(2)1(),0(2)1(22xxxx

互动探究

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],

单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

(2)法一 任取x1,x2 (-1,+∞),且x1

∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,又x10,

∴)1)(1(2112xxxx>0,即y1-y2>0.∴y1>y2,所以函数y=12xx在(-1,+∞)上是减函数.

法二 y=12xx=1+11x.∵y=x+1在(-1,+∞)上是增函数,

∴y=11x在(-1,+∞)上是减函数,

∴y=1+11x在(-1,+∞)上是减函数.即函数y=12xx在(-1,+∞)上是减函数.

确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程

(1)能画出图象的函数,用图象法,其思维

流程为:

作图象看升降归纳单调性(区间)

(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算

构成的函数,用转化法,其思维流程为:

(3)能求导的用导数法,其思维流程为:

求导判断f'(x)正、负单调性(区间)

(4)能作差变形的用定义法,其思维流程为: 取值作差变形定号单调性(区间)

注意:求函数的单调区间,一定要注意定义域优先原则.

变式训练11:函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( )

(A)[1,2] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[2,+∞)

解析:由于f(x)=|x-2|x=,2,2,2,222xxxxxx

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].故选A.

变式训练12:判断函数g(x)=12xx在(1,+∞)上的单调性.

解:任取x1,x2 (1,+∞),且x1

由于10,

因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)

函数单调性的应用

【例2】 (2012浙江绍兴模拟)已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m、n都是实数.如果不等式f(m)-f(n)> f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( )

(A)m-n<0 (B)m-n>0 (C)m+n<0 (D)m+n>0

解析:设F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的减函数,

∴f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,

∴F(x)为R上的减函数,∴当mF(n)

即f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立,因此当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<0一定成立,故选A.

变式训练21:(2012郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)

解析:依题意得,不等式f(x)3,即满足f(x)

答案:(3,+∞)

函数的最值

【例3】 (1)函数y=x+2x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和为 .

(2)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f21xx=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)>0.

①求f(1)的值,并判断f(x)的单调性;②若f(4)=2,求f(x)在[5,16]上的最大值.

(1)解析:函数y=x+2x=(x+1)2-1在区间[0,4]上是增函数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.答案:8

(2)解:①令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,

故f(1)=0.任取x1,x2 (0,+∞),

且x1>x2,则21xx>1,由于当x>1时, f(x)>0,

所以f21xx>0,即f(x1)-f(x2)>0,因此