圆中计算及综合训练(讲义及答案)

九年级数学下册27．3 圆中的计算问题同步练习(含解析）（新版)华东师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学下册27．3 圆中的计算问题同步练习(含解析）（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第27章第3节圆中的计算问题课时练习一、单选题(共15小题)１.如图,要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是４：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ． 28８°B ．ﻩ144° C. 216°ﻩD ．ﻩ120°答案: A 解析:解答：∵底面圆的半径与母线长的比是4:5，∴设底面圆的半径为4x ，则母线长是5x ，设圆心角为ｎ°，则2×4x = 5180n x π⨯， 解得：n ＝288，故选：A ．分析:由底面圆的半径与母线长比的关系去设，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算．2.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计）,圆锥的底面圆的直径是8０ｃm,则这块扇形铁皮的半径是( ）A. 24cmB.ﻩ4８ｃm ﻩC ． 96cm Ｄ． 19２cm 答案:Ｂ解析:解答:设这个扇形铁皮的半径为ｒｃm ，由题意得300180r π=π×80， 解得r =48．故这个扇形铁皮的半径为4８cm.故选:B ．分析:底面周长=展开图的弧长3.在长方形ABCD中AB＝16,如图所示裁出一扇形AＢE，将扇形围成一个圆锥（ＡＢ和AＥ重合)，则此圆锥的底面半径为（)Ａ．4ﻩB.ﻩ１6ﻩ2 D.ﻩ8答案:A解析：解答:设圆锥的底面圆半径为r，依题意,得π⨯,2πr＝9016180解得ｒ=4.故小圆锥的底面半径为4．故选：A.分析：圆锥的底面圆半径为r,由圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.４.圆锥的侧面展开图是一个弧长为１２π的扇形,则这个圆锥底面积的半径是（)Ａ. 24 B．１2 C. 6ﻩD.ﻩ3答案:C解析:解答:设底面圆半径为ｒ,则2πr＝1２π,化简得ｒ=6.故选:C.分析:本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算,用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长.5.若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不计,则所得圆锥的高为( ）ｃｍＤ. 10cmA. 53cmﻩB．55cmﻩ C.ﻩ5152答案:A解析:解答：设这个圆锥的底面半径为r,π⨯，解得r=5,根据题意得2πr= 18010180所以这个圆锥的高＝22-=５3(cｍ）．105故选：A.π⨯,解得r=５,在利分析:设圆锥的底面半径为r,由圆锥的底面周长和弧长公式得到2πr=18010180用勾股定理计算这个圆锥的高．６.如图，用一个半径为30cm,面积为3０0πcm２的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为（)Ａ. 5cmﻩB. 10cｍﻩC. 2０ｃmﻩD. 5πcm答案：B解析：解答:设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、ｌ,圆锥形容器底面半径为r，则由题意得R=３0,由1Rｌ＝３０0π得l＝20π；2由２πr=ｌ得r=10ｃm.故选: Ｂ．分析:由圆锥的几何特征,圆锥的底面周长等于扇形的弧长,据此求得圆锥的底面圆的半径.7.将圆心角为90°,面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ． 1cm ﻩB.ﻩ2cm ﻩC ．ﻩ3ｃmD ．ﻩ4cm答案： Ａ解析：解答:设扇形的半径为R ，根据题意得290360R π ＝4π，解得Ｒ=４, 设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•２π•r •4＝4π,解得r =1，即所围成的圆锥的底面半径为1ｃm ．故选:A.分析:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．８.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为2４０°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6c ｍﻩB.ﻩ９cm ﻩＣ.ﻩ12ｃｍﻩＤ.18cm答案：Ｃ解析：解答:圆锥的弧长为:24018180π⨯=２４π， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π=1２．故选: C分析:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．9．将弧长为2πc ｍ,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高及侧面积分别是（ )A ．m,３πc ｍ2ﻩm ,3πcm 2 Ｃ,6πcm 2 ,6πc ｍ2答案:B解析：解答：（2π×18０）÷１２0π＝3(cm),2π÷π÷２=1(ｃm),＝）， 21203360π⨯＝3π（cm 2). 故这个圆锥的高是m ，侧面积是3πcm2．故选:Ｂ.分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.１０.已知圆锥的侧面积是20πcm 2,母线长为５cm ，则圆锥的底面半径为（ )A. 2cm ﻩB.3cm ﻩC. ４ｃｍ Ｄ．ﻩ6cm答案：C解析:解答:∵圆锥的母线长是５c ｍ,侧面积是20πcｍ2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l =2s r ＝405π=８π, ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,∴ｒ=2l π＝82ππ=4（ｃｍ)． 故选:C分析:圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长,利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径.11．一个圆锥的底面圆的周长是2π,母线长是3,它侧面展开图的圆心角的度数是( ）A ． 60°B ． 9０°ﻩC ． 120° D.ﻩ150° 答案：Ｃ解析:解答:圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm,弧长为4πcｍ,代入扇形弧长公式l =180n r π, 即2π=3180n π⨯，解得ｎ=120,即扇形圆心角为１20度.故选：C ．分析:圆锥的母线长等于扇形的半径,圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而根据扇形的弧长公式就可以求出n 的值．12．如图，从一块半径是1m 的圆形铁皮（⊙Ｏ)上剪出一个圆心角为６0°的扇形(点A ，Ｂ，C 在⊙O 上)，将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是( )A. 36m ﻩＢ. 312m ﻩC ．m 32ﻩ D. 1ｍ 答案:Ａ解析:解答:如图所示连接ＯA,作ＯD ⊥AB 于点D.在直角△OAD 中,ＯＡ=1，∠OA Ｄ=12∠B ＡC ＝30°,则ＡD=ＯＡ•cos 33 则Ａ3603π3，设底面圆的半径是ｒ，则2πr =33π， 解得:r =36． 故选:Ａ． 分析:连接ＯA ，作OD ⊥ＡＢ于点D,利用三角函数即可求得ＡD 的长，则AB 的长可以求得,利用弧长公式即可求得弧长；再利用圆的周长公式即可求得半径．１3.已知圆锥的侧面积为10πc ｍ2,侧面展开图的圆心角为36°,则该圆锥的母线长为（ )Ａ． １0０c ｍﻩB ．c 10ﻩｍﻩC. １0cm Ｄ．1010ｃm 答案:C解析:解答：设母线长为Ｒ，圆锥的侧面积=2360n R π=10π， ∴R=１0cm故选:C分析:利用了扇形的面积公式求解，扇形的面积公式=2360n r π． １４.如图，扇形ＯA Ｂ是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为１厘米,则这个圆锥的底面半径为（ )厘米.A.12 B ．C.ﻩ22ﻩ 2D ．2答案：B 解析:解答:2222+2厘米,.故选:B分析:利用弧长公式可求得扇形的弧长,圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.１5．已知圆锥形模具的母线长、半径分别是12cm、4cｍ,求得这个模具的侧面积是（) A．100πcm2Ｂ．８０πｃm2ﻩC.60ﻩπcm2ﻩD.4ﻩ８πcｍ2答案：D×8π×１2=48πｃm2．解析：解答：半径是４ｃｍ，则底面周长＝８πcm，侧面积=12故选:D分析:利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.二、填空题（共5小题）16．已知圆锥的底面圆半径为３,母线长为5,则圆锥的全面积是．答案:24π解析：解答:底面周长是：2×３π=6π,则侧面积是：1×6π×5=1５π,2底面积是:π×３2＝９π,则全面积是：15π+9π＝24π．故答案为：２4π.分析：首先求得底面周长,即侧面展开图的扇形弧长,然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积,即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积,侧面积与底面积的和就是全面积．17.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是．答案:2解析:解答:扇形的弧长=1206180π⨯＝4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷２π＝2.故答案为：2分析:圆锥的弧长等于底面周长.18.已知圆锥的侧面积等于６0πcm 2,母线长10ｃm,则圆锥的高是 cm.答案：8解析:解答:设圆锥的底面圆的半径为r , 根据题意得12•2π•r •10=6０π,解得r =6,所以圆锥的高=(ｃm).故答案为8分析：设圆锥的底面圆的半径为r ,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到r ，然后根据勾股定理计算圆锥的高．1９．用一个圆心角为90°,半径为４的扇形围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径 . 答案：1解析:解答：根据扇形的弧长公式l =180n r π=904180π⨯=2π， 设底面圆的半径是r ，则2π=2πｒ∴r =1.故答案为:１分析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．２０.已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为 ｃm 2． 答案：3π解析:解答:圆锥的侧面积=２π×3×1÷2=3π．故答案为:3π分析：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.三、解答题（共５小题）21．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面半径为６米，高为4米,下方圆柱高为３米．(１)求该粮仓的容积；答案:解答:体积V ＝π×６2×3＋13×π×６２×(4﹣3)＝10８π+1２π=120π;(2）求上方圆锥的侧面积.（计算结果保留根号）答案：解答：圆锥的母线长为l =2261+=37，所以圆锥的侧面积为ｓ＝π×6×37=６37π.解析:分析:（１)确定该几何体为圆锥和圆柱的组合体,然后计算圆锥和圆柱的体积的和;(２)利用圆锥的侧面积公式直接计算.22.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r =2cm ，扇形的圆心角θ=１２０°,求该圆锥的高h 的长.答案：解答：如图所示:1202360AB r ππ=,而r ＝2，∴ＡB=１2,∴由勾股定理得：AO2=AＢ2﹣OB2，而ＡB＝12，OＢ=2,∴AO=235.即该圆锥的高为235．解析:分析：运用弧长公式求出ＡB的长度,即可.2３.一个几何体的三视图如图所示,根据图示的数据计算出该几何体的表面积．答案:解答:由三视图可知该几何体是圆锥,圆锥的高为12,圆锥的底面圆的半径为5，圆锥的母线长=22=13,512圆锥的表面积=π•５2＋1•２π•5•13＝90π．2解析：分析:根据三视图可判断该几何体是圆锥,利用勾股定理计算出母线长,然后求底面积与侧面积的和即可．2４.已知一个几何体的三视图如图,根据图示的数据计算该几何体的全面积及侧面展开图的圆心角（结果保留π).答案:解答:∵如图所示可知,圆锥的高为4,底面圆的直径为6,∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πr ｌ=π×3×5=1５π，底面圆的面积为:πｒ2=9π,∴该几何体的表面积为24π．∴圆心角的度数:636021610ππ⨯︒=︒解析:分析：根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积,再求出底面圆的面积,即可得出表面积.25.在△ABC 中,AB ＡＢC ＝1．（1)求证:∠A≠30°;答案:解答:证明：∵BC 2+AC 2=１+2=3=ＡB 2，∴△AB Ｃ是直角三角形，且∠Ｃ=90°. ∵1sin sin 302BC A AB ==>=︒, ∴∠A≠3０°.（2)将△ＡBC 绕BC 所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积．答案：解答:将△ABC 绕ＢC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥,∴圆锥的底面圆的半径∴几何体的表面积23π+π×（２解析：分析:（1）根据勾股定理的逆定理得到△ＡB Ｃ是直角三角形,利用三角函数计算出sin Ａ,然后与sin ３0°进行比较判断∠Ａ≠30°;（2)将△ABC 绕ＢC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥,几何体的表面积分为底面积和侧面积,分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

圆综合一、圆中基本定理的运用例1、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD 交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．二、圆中相似例2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．1、如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．2、如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF•AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=，AB=，求△AFG的面积．三、双圆问题例3、如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D．（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；（Ⅱ）求证：CD=CA．（Ⅰ）连接PC，PA，PB，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC=90°，作⊙O1与⊙O2的内公切线MP交AB与点M．又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，∴∠CPB=180°．∴C，P，B三点共线．（Ⅱ）∵CD切圆O2于点D，∴CD2=CP•CB．在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA2=CP•CB．故CD=CA．1、如图，⊙O1、⊙O2外切于点P，它们的半径分别为4cm、1cm．直线l分别与⊙O1、⊙O2相切于A、B，且与直线OlO2相交于T．求AB和BT 的长．2、如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M 相交于点D、点E，连结DE.若AB=.(1)求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0<x<3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.解：（1）连结．则在中，，，．，．．连结．则．．[或：延长与相交于点，连结．则有，且．在中，，．又，．，．]（2）在和中，，，．．连结．则．在中，，．．．即．．[或：点在上移动，恒为，长始终不变．当点移动到延长线与交点处时，可求得．]（3）连结．是的直径，．由，可得，．在中，，，；．又由（2），知．．在中，，．[或：由（2），知，．又由（2），知，，．连结．在中，由勾股定理，得．又，即．而]3、如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．。

第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）（第14题图） （第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．（第16题图） （第17题图） （第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．（第19题图） （第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。

重难点07圆中的计算及其综合圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°，∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32°B．42°C．48°D．52°【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝35°．【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∵点O为△ABC的内切圆的圆心，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∴∠AOB＝125°，∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，∴∠OGE＝90°，∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35°．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（）A．40°B．25°C．40°．D．30°【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠ABC＝50°，再根据已知易得：＝，从而可得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠ABD＝25°，即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝50°，∵点D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，∴∠ACD＝∠ABD＝25°，故选：B．3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】先利用圆周角定理可得∠AOB＝106°，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝37°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝53°，∴∠AOB＝2∠ACB＝106°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝37°，∵∠CAB＝17°，∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝20°，故选：C．4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B 两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数60°．【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：由图可知：∠P＝30°，∵＝，∴∠AOB＝2∠P＝60°，故答案为：60°．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是62.5°．【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OA，OC是△ABC的角平分线，∴，．∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∴，∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，∴．故答案为：62.5°．题型02“知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CDAB；③OM=ON；④FE∠=∠；⑤CODAOB∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。