《数值分析》课程实验一：插值与拟合
一、实验目的
1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；
2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；
3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；
4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容
1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设
]5,5[,11
)(2
-∈+=
x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。
3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
(1) 用最小二乘法进行曲线拟合；
(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤
1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：
⎩⎨
⎧≠===j
i j i x l ij j i ,
0,,
1)(δ
的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为
∏
≠==--=
n
i j j j
i j
i n i x x x x x l ,0),,1,0()(
有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为
∑==n
i i i n x l y x L 0)()(
(2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为
1102110]
,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=
-
则n 次多项式
)
())(](,,[)
)(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N
差商表的构造过程：
x2
f(x2)f[x1, x2]f[x0, x1,x2]
x3f(x3)f[x2, x3]f[x1, x2,x3]f[x0,
x1,x2,x3]
x4f(x4)f[x3, x4]f[x2, x3,x4]f[x1,
x2,x3,x4]
f[x0, x1,x2,x3,x4]
MATLAB程序实现：
试验结果：
2. MATLAB程序实现：
试验结果：
3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数
n ；
（2）列表计算)2,,1,0(0n j x m
i j
i =∑=和∑==m
i i j i n j y x 0
),,1,0( ；
（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==n
k k k n x a x p 0)(。
MATLAB 程序实现：
试验结果：
