2011届高考数学第一轮复习精品试题：导数

单元综合测试十四(导数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数y＝(sin x2)3的导数是() A．3x·sin x2·sin2x2B．3(sin x2)2C．3(sin x2)2·cos x2D．6sin x2·cos x2解析：[(sin x2)3]′＝3(sin x2)2(sin x2)′＝3(sin x2)2cos x2(x2)′＝3(sin x2)2cos x2·2x＝3x sin2x2sin x2答案：A2．在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是() A．4x－y＝0 B．4x－y－4＝0C．2x－y－2＝0 D．4x－y＝0或4x－y－4＝0解析：y′＝3x2＋1，又4x－y＝1的斜率为4，设曲线y＝x3＋x－2的切线中与4x－y＝1平行的切线的切点为M(x0，y0)，则3x20＋1＝4，∴x0＝1或x0＝－1.∴切点为M(1,0)、N(－1，－4)均不在4x－y＝1上．∴有两条直线与4x－y答案：D3．(2009·江西高考)(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则曲线y＝f(x)() A．4C．2解析：依题意得f′(x)4，选A.答案：A4．质点运动方程为s＝202(g＝9.8m/s2)，则t＝3s时的瞬时速度为() A．20B．49.4C．29.4 D．64.1解析：s′＝gt，v(3)＝s′(3)＝3g＝29.4.答案：C5．函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0解析：f′(x)＝3×2x(x2－1)2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，但x＝1或x＝－1时，两侧的导数值的符号同号，不是极值点．答案：D6．对函数f(x)＝－x4＋2x2＋3有() A．最大值4，最小值－4 B．最大值4，无最小值C．无最大值，最小值－4 D．既无最大值也无最小值解析：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，列表如下：∵x ∈R ，故无最小值，最大值为4. 答案：B7．若m ∈R ，方程x 3－3x ＋m ＝0在区间[0,1]上不等的实根( )A ．有3个B ．有2个C ．没有D ．至多有一个解析：设f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3. 所以f (x )在区间[0,1]上是单调减函数，函数f (x )在图象与x 轴至多有一个交点．应选D. 答案：D8．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析：由f (x )在[1,3]上单调可得：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在[1,3]上恒成立，利用分离参数即可得知应选C.答案：C 9．(2010·武汉调研)若函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)之间的大小关系为( )A ．f (B ．f (a )>e af (0)C ．f (D ．与f (x )或a 有关，不能确定g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x>0，因此g (x )在R 上是，即f (a )e a >f (0)e0＝f (0)，f (a )>e a f (0)，选B.10．(2009·黄冈检测)已知m <0，f (x )＝mx 3＋12mx ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B. 答案：B11．(2009·合肥质检三)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )图1A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由图知，f (x )在(－∞，0)上单调增，在(0，＋∞)上单调减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴所求不等式等价于－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.答案：A 12．(2010·西安八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图2所示，两个正数a 、b范围是( )图2A ．(13，12) )C ．(12，3) 解析：由题中图可知，由2a ＋b >0，f (2a ＋b )<1＝f (4)得2a ＋b <4，即2a ＋b ⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b －4<0表示视为该平面区域内的点(a ，b )与点(－2的连线的斜率，结合图形不难得知b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，选C.16分)13．f ′(a )＝1，则lim x →a f (2x －a )－f (2a －x )x －a＝________. 解析：令x －a ＝h ，则原式＝lim h →0f (a ＋2h )－f (a －h )h＝2lim h →0 f (a ＋2h )－f (a )2h ＋lim h →0 －f (a )＋f (a －h )－h＝2f ′(a )＋f ′(a )＝3. 答案：314．(2009·陕西高考)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线为：y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.答案：－2 15．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.要使f (x )有极大值和极小值，需f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0.∴a >6或a <－3.答案：a >6或a <－316．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为__________．解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h ＝r 2－x 2，所以S ＝2r ＋2x 2·r 2－x 2＝(r ＋x )r 2－x 2，S ′＝r 2－x 2－x (r ＋x )r 2－x 2＝(r －2x )(r ＋x )r 2－x 2.令S ′＝0得x ＝r 2，h ＝32r ，当0<x <r 2时，S ′>0；当r2<x <r 时，S ′<0.∴当x ＝r2时，S 取极大值．又∵极值点唯一，因此当梯形的上底长为r 时，它的面积最大． 答案：r三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)如图3所示，曲线段OMB ：x 2＝y (0<x <6)在点x ＝t (即点M )处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA ⊥x 轴于点A .图3(1)试用t 表示切线PQ 的方程； (2)求△QAP 的面积g (t )的表达式．解：(1)∵y ′＝2x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 切线方程为y －t 2＝2t (x －t )， 即y ＝2tx －t 2(0<t <6)．(2)在切线方程中令y ＝0，得x ＝t 2，∴P (t2，0)，令x ＝6，得y ＝12t －t 2，∴Q (6,12t －t 2)．∴g (t )＝12|AP |·|AQ |＝12(6－t 2)(12t －t 2)＝14t 3－6t 2＋36t (0<t <6)．18．(12分)若直线y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值． 解：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为(x 0，y 0)，则 k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)．又y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y ＝(3x 20－6x 0＋2)x －(3x 20－6x 0＋2)x 0＋(x 30－3x 20＋2x 0)，即y ＝(3x 20－6x 0＋2)x ＋(－2x 30＋3x 20)．又切线是y ＝kx ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋2＝k ， ①－2x 30＋3x 20＝0. ② 由②得x 0＝0或x 0＝32，代入①知k ＝2或k ＝－14.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直线x ＋9y ＋5＝0垂直．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝4，f ′(1)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9. ∴a ＝1，b ＝3.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋3x 2， ∴f ′(x )＝3x (x ＋2)．令f ′(x )>0，解得x ≤－2或x ≥0，∴f (x )在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f (x )在[m －1，m ＋1]上单调递增， 则[m －1，m ＋1]⊆(－∞，－2)或[m －1，m ＋1]⊆[0，＋∞)， ∴m ＋1≤－2或m －1≥0. ∴m ≤－3或m ≥1.∴m 的取值范围是m ≤20．(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数x (百万元)技术改造费用，现该公司准备共投入3(百万元)大收益．(注：参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：设3(百万元)3－x (百万元)，则广告收为－13x 3＋，所以，投入带来的销售额增加值F (x )＝－2(3－x )2＋14(3－x )－13x 3＋2x 2＋5投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售3x ＋24，因为F ′(x )＝－x 2＋3，令F ′(x )＝0，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，当x ∈[0，3)，F ′(x )＞0，当x ∈(3，3]时，F ′(x )＜0， 所以，x ＝3≈1.73时，F (x )取得最大值．所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．21．(12分)(2009·南昌调研)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0，∵x ≥1，∴a ≤32(x －1x)．当x ≥1时，32(x －1x )是增函数，其最小值为32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)令h (x )＝f (x )－(a 2－3)x ＋1，h ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝0，得x ＝a 或x ＝－a，∵a >0，∴有∴x ＝－a 3时h (x )有极大值，h (x )极大值＝h (－a 3)＝527a 3＋1.x ＝a 时h (x )有极小值，h (x )极小值＝h (a )＝－a 3＋1， ∵若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，∴h (a )≥0或h (－a3)≤0，∴－a 3＋1≥0或527a 3＋1≤0(舍)，解得0<a ≤1.22．(14分)(2009·长望浏宁)设函数f (x )＝ax －(a ＋1) ln(x ＋1)，其中a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x >0时，证明不等式：x1＋x<ln(x ＋1)<x ；(3)设解：f ′(x )当x － ＋1当x (1a，＋∞)．(2)设φ(x )＝ln(x ＋1)－x1＋x，x ∈[0，＋∞)对φ(x )求导，得：φ′(x )＝1x ＋1－1(1＋x )2＝x(1＋x )2当x >0时，φ′(x )>0，所以φ(x )在(0，＋∞)内是增函数． 所以φ(x )在[0，＋∞)上是增函数．当x >0时，φ(x )>φ(0)＝0即ln(x ＋1)－x 1＋x >0，∴x1＋x<ln(x ＋1)．同理可证ln(x ＋1)<x ，∴x1＋x <ln(x ＋1)<x .(3)由(1)知，g (a )＝f (1a )＝1－(a ＋1)·ln(1a＋1)将x ＝1a 代入x 1＋x<ln(x ＋1)<x得：1a ＋1<ln(1a ＋1)<1a即：1<(a ＋1)ln(1a ＋1)<1＋1a∴－1a <1－(a ＋1)ln(1a ＋1)<0，即－1a<g (a )<0.。

2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(四)导数及应用(选修·文/理)时间：90分钟 满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．(山东东营第一学期期末)函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间上的最大值、最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0得x ＝±1，则它们的极值点为f (1)，f (－1)，端点处f (－3)，f (0)，又f (1)＝－1，f (－1)＝3，f (－3)＝(－3)3－3×(－3)＋1＝－17，f (0)＝1，则最大值为3，最小值为－17. C2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，可得f ′(1)＝2＋2f ′(1)． 所以得f ′(1)＝－2. 又令x ＝0，可得f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. B3．(2008·安徽文)设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 A 4．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922C.1122D.91010A5．(2008·海南、宁夏理)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积是( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 D6．(2009·全国卷Ⅰ理)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1∴x 0＋a ＝1 ∴y 0＝0，x 0＝－1 ∴a ＝2.故答案选B. B7．(2008·福建理)已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如右图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )D8．(2008·广东理)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＞－3 B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13B二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分) 9．(2009·广州一模)若⎠⎛0a xdx ＝1，则实数a 的值是________．210．(2009·福建，14)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．f ′(x )＝3ax 2＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1x＝0有解，∴3a ＝－1x3，而x ＞0，∴a ∈(－∞，0)．(－∞，0) 11．(2009·江苏，3)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x 2－10x －11) ＝3(x ＋1)(x －11)＜0，解得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)． (－1,11)12．函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是________．π13．(广东惠州高二模拟)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.F (5)＝f (5)＋5＝－5＋8＝3，所以f (5)＝－2.又F ′(x )＝f ′(x )＋25x ，所以F ′(5)＝f ′(5)＋25×5＝－1，解得f ′(5)＝－3，f (5)＋f ′(5)＝－5. －514．(2009·陕西卷文)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为________． 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝k (x n －1)＝(n ＋1)(x n －1)，不妨设y ＝0，x n ＝nn ＋1则x 1·x 2·…·x n＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1. 1n ＋1三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m ＞0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程． 本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力．(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1， 依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13.又f (－1)＝6，f (－13)＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)，或y －6827＝－5(x ＋13)，即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.16．(天津卷21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围． (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.所以f (x )在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，2)内是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根． 为使f (x )仅在x ＝0处有极值，必须4x 2＋3ax ＋4≥0成立，即有Δ＝9a 2－64≤0.解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是．17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3a 2x ＋1(a ，b ∈R )在x ＝x 1，x ＝x 2处取得极值，且|x 1－x 2|＝2.(1)若a ＝1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (2)若a ＞0，求b 的取值范围．本小题主要考查函数的导数、单调性、极值、最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3a 2.① (1)当a ＝1时， f ′(x )＝3x 2＋2bx －3；由题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以 |x 1－x 2|＝4b 2＋363. 由|x 1－x 2|＝2，得b ＝0. 从而f (x )＝x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－1,1)单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)单调递增． (2)由①式及题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3a 2＝0的两根， 所以|x 1－x 2|＝4b 2＋36a 33a.从而|x 1－x 2|＝2⇔b 2＝9a 2(1－a )， 由上式及题设知0＜a ≤1.考虑g (a )＝9a 2－9a 3，g ′(a )＝18a －27a 2＝－27a (a －23)．故g (a )在(0，23)单调递增，在(23，1)单调递减，从而g (a )在(0,1]的极大值为g (23)＝43.又g (a )在(0,1]上只有一个极值，所以g (23)＝43为g (a )在(0,1]上的最大值，且最小值为g (1)＝0.所以b 2∈，即b 的取值范围为18．(本小题满分14分)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．(1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0因此a ＝16 (2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )＞0 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞) f (x )的单凋减区间是(1,3)(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21 因此f (16)＝162－10×16＞16ln2－9＝f (1) f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)所以在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)(3，＋∞)直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)＜b ＜f (1)因此，b 的取值范围为(32 ln2－21,16ln2－9)．。

2011年高考数学全国卷I 精品解析一． 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（A ）2i - ( B ）i - （C ）i （D ）2i 【正确答案】（B ） 【试题解析】1z i =-,1(1)(1)(1)1.zz z i i i i --=+--+-=-【命题意图】本小题主要考查的是共轭复数的概念及复数的基本运算,属于保分题.（2）函数0)y x =≥的反函数为.（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24yx =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【正确答案】（B ） 【试题解析】,220)(0)(0).44y x y x x x y x =≥⇒=≥⇒=≥【命题意图】本小题考查的是由原函数求其反函数的基本运算，属于保分题.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b＞【正确答案】（A ） 【试题解析】,1a b a b +⇒>＞， 1.a b a b >⇒>+而.【命题意图】本小题主要考查的是充要条件的的概念与判断，属于中档题. （4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224K K S S +-=,则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【正确答案】（D ） 【试题解析】212124242(21)24,k k k k S S a a a k d +++-=⇒+=⇒++=又11,2, 5.a d k ==∴=【命题意图】本小题主要考查的是等差数列的通项公式及前n 项公式的基本运算，属于中档题.（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将的()y f x =图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【正确答案】（C ）【试题解析】cos ()cos ,cos()cos 33x x x x ππωωωωω-=-=由已知得即，min 20,1 6.3πωκπκωκω∴-=∈N >∴=-=，，又当时，【命题意图】本小题主要考查的是余弦函数的平移变换与其周期性的基础运用，属于中档题.(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3 (B)3 (C)3(D) 1 【正确答案】（C ）【试题解析】如图，连结CB,AD ，则由已知可得：BC CD AD ===设D 到平面ABC 的距离为h,由等积法可得：.3D ABC A BCDV V h --=⇒=【命题意图】本小题主要考查的直二面角的定义、二平面垂直的性质及勾股定理的运用，突出考查的是“等积转化”的数学思想。

导数1．设21)(ax e x f x+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当34=a 时，求)(x f 的极值点； （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2．已知函数2()()x k f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围。

3．（Ⅰ）已知函数),0(,1ln )(+∞∈+-=x x x x f ，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12121≤⋅a b a b a b n n ；（2）若12b b ++…n b =1，则1n ≤b b b b a b a b a n n n 222212121+++≤⋅4．已知函数f (x ) =3x ，g(x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤M .5．设.22131)(23ax x x x f ++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在[]4,1上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.6．已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．7．（Ⅰ）设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜8．设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x ''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；（Ⅲ）是否存在00x 〉，使得01()()g x g x x-∠对任意成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.9．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠。

高考数学（导数）第一轮复习资料知识小结一.导数的概念与运算⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二.导数的应用1、函数的单调性（1）如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('x f ≥0)(x f ⇔为增函数；若)('x f ≤0⇔)(x f 为减函数.（2）若)('x f ≡0则)(x f 为常数函数.2、函数的极值（1）极值定义如果函数)(x f 在点0x 附近有定义，而且对0x 附近的点，都有)(x f <)(0x f 我们就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作极大值y =)(0x f ；)(x f 在点0x 附近的点，都有)(x f >)(0x f 我们就说)(0x f 函数的一个极小值，记作极小值y =)(0x f ；极大值与极小值统称为极值。