高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理

[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
答案：(n－1)·2n＋1＋2
n C.n－1
n＋1 D. n
解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a，∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n， ∴f1n＝n2＋1 n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1， ∴Sn＝f11＋f12＋f13＋…＋fn－1 1＋f1n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得 a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝31n.

本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求解，以及数列求和的方法。通过构造新数 列，利用等差数列求和公式进行求解。
模拟试卷训练及答案解析
模拟试卷一
模拟试卷二
答案解析
本试卷共包含10道数列求和的 题目，涵盖了等差数列、等比 数列、递推数列等多种类型。 通过训练，可以提高学生的计 算能力和思维水平。
本试卷共包含12道数列求和的 题目，难度适中，既有基础题 也有提高题。通过训练，可以 帮助学生巩固所学知识，提高 应试能力。
高考理科数学一轮复 习课件数列求和
汇报人：XX
20XX-01-25
目录
• 数列求和基本概念与性质 • 等差数列求和公式及应用 • 等比数列求和公式及应用 • 特殊类型数列求和策略 • 高考真题回顾与模拟训练 • 总结与展望
01
数列求和基本概念与性质
数列定义及分类
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
通项公式
对于等差数列和等比数列，可以通过通项公式直接求出任意一项的值。
递推关系
对于一般数列，通常给出的是递推关系式，即后一项与前一项或前几项之间的关系式。通过递推关系 式可以逐步求出数列的各项值。
02
等差数列求和公式及应用
等差数列求和公式推导
倒序相加法
将等差数列倒序排列，与原数列对应项相加，得到n 个相同的和，从而推导出等差数列求和公式。
下一步学习计划和目标设定
01 继续巩固和练习数列求和的基本方法，提高解题 速度和准确性。
02 深入学习数列的性质和应用，掌握数列在实际问 题中的应用技巧。
02 拓展学习其他与数列相关的知识点，如数列的极 限、数列的收敛与发散等。
THANKS
感谢观看
针对每道题目，都提供了详细 的答案解析，包括解题思路、 方法总结和易错点提示等。通 过答案解析的学习，可以帮助 学生更好地理解题目，掌握解 题方法。

课前双基巩固
3.[教材改编] 若数列{an} 的通项公式为 an=(n-1)×
n-1
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:利用分组(或并项)求和
课前双基巩固
4.已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的
课前双基巩固
5.在数列{an}中,已知
an=(������
1 +1)(������
������������ +1 ������������
1 - 1 =4,数列
������������ +1 ������������
������������ 满足 1 = 1 + 1 ,记 ������������ 的
课堂考点探究
[总结反思] 数列的通项公式 类数列适合使用裂项相消法求
课堂考点探究
考试说明
掌握等差数列、等比数列的前
课前双基巩固
知识聚焦
1.公式法 (1)公式法
课前双基巩固
������1(1-������������ )
当 q≠1 时,Sn= 1-���巩固
2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}中,与首末两
课前双基巩固
教师备用例题
例 3 [配合例 4 使用] [2018· 知公差 d 不为 0 的等差数列{ 和为 15,且 a1a10=a3a4.
继续努力
再见
变式题 [2018·株洲二中、醴陵
考] 数列
1 ������ +1+
������
的前 2018
S2018= ( )
课堂考点探究
角度 2 形如 an=������(���������+��� ������) 例 4 [2018·柳州联考] 设数

高考考点总 3 复裂习项数相3学消a（法n理＋求科和3）n＋31n－＋12n＋1－2n－an－3n 2n＝1,
考点3 裂项相消法求和
∴{b }为等差数列．又 b ＝0，∴b ＝n－1. 高考总复习数学（理科）
掌高握考等 数差学数一列轮、复等习比数数n列列的的求前和n课项件和公理式，能把某些不是等1差和等比数列的求n和问题转化为等差、等比数列来解决；
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝25(12＋22＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝
52·n（n＋1）6（2n＋1）－32·n（n2＋1）＝16n(n＋1)(5n－2)．
考点探究
高考总复习数学（理科）
高考总复习数学（点理科评） ：通过对原数列通项结构特点的分析研究，将数列分解为若
考点1 分组后，可用公式求和 掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；
考点探究
①当
x≠±1
时
，
Sn
＝
x2（x2n－1） x2－1
＋
x－2（x－2n－1） x－2－1
＋
2n
＝
（x2n－x2n1（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n；
②当 x＝±1 时，Sn＝4n. (3)∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)] ＝k[（2k－1）2＋（3k－2）]＝52k2－32k，
高考数学一轮复习 数 列的求和课件 理
高考总复习数学（理科）
第五章 数 列
第五节 数列的求和
考纲要求
掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是 等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决； 掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法， 并能灵活地运用这些方法解决相应问题．

（2）设 =
,数列{ }的前项和为 ,若 = ,求的值.
+






【解】 由（1）知， =
=
=
−
,
+
− +
−
+






所以 = − + − + ⋯ +
−




−
+



= −
=
.

+

×[− ]


−

−×
错位相减法求和的注意事项
（1）掌握解题的“3个步骤”
（2）注意解题的“3个关键”
①要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.
②在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一
步准确写出“ − ”的表达式.
③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比 = 和
− = − = .故
2.在数列{ }中， =
2 023
_______.
解析：由题意得 =
所以 =
= .

−



+ −

+

，若数列{ }的前项和为
，则




= −
，
+

+



+ ⋯+ −
=
或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.

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第31讲 数列求和
•
双 向
固
基
础
2．数列4n21－1的前 n 项和为 Sn＝175，则 n＝________．
[答案] 7
[解析] 因为4n21－1＝（2n－1）1（2n＋1）＝
12（2n1－1－2n1＋1），所以 Sn＝
1 2
（1－13）＋（13－15）＋…＋（2n1－1－2n1＋1）
即 S＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋ cos289°②.
由①＋②，得 2S＝89，所以 S＝44.5.
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第31讲 数列求和
•双
向 固
2．数列求和的误区
基 础
(1) 设 Sn ＝ a ＋ a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an(a≠0) ， 则 Sn ＝
a（1－an）
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第31讲 数列求和
•
双 向
固
基
础
(2)由题意可知，Sn＝12（11－－1221n）＋n（1＋22n－1）＝
n2－21n＋1.
(3)设 S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋ sin289°，①
则 S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin22°＋ sin21°，
求和
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第31讲 数列求和
•
双 向
固
基
础
—— 链接教材 ——
1．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100
＝139，则数列{an＋bn}的前 100 项的和为________．
[答案] 8950
[解析] 设 cn＝an＋bn，则 c1＝a1＋b1＝40，c100＝139， 由题知，数列{cn}是等差数列，所以前 100 项和 S100＝ 100（c12＋c100）＝100×（420＋139）＝8950.

[答案] [(3n-1)22n+1+2]
[解析] 由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1①, 则 22 · Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1②,
1 9
①-②得
(1-22)· Sn=2+23+25+…+22n-1-n×22n+1,即 Sn= [(3n-1)22n+1+2].
1 ������ ;(2)由(1) 2
(1)求数列{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
可求得 an=3n-1(n∈N*),代入 an+1+3log2bn=0,可得 bn=
1 2
可知 cn=anbn=(3n-1)× ������ ,所以由错位 相减法可求得数列{cn}的前 n 项和 Sn.
=
na1+
������ (������ -1) d 2
. (其中 a1 为首项,d 为公差)
②等比数列{an}的前 n 项和公式:
当 q=1 时,Sn= na1 (2)分组求和法 ;
������ 当 q≠1 时,Sn= ������1 (1-������ )
1-������
������1 -������������ ������ = 1-������
.
课堂考点探究
探究点一 分组转化法求和
例 1[2018· 湖南益阳 4 月调研] 已知 等差数列{an}的公差为 d,且方程 a1x -dx-3=0 的两个根分别为-1,3.

第五单元 │ 网络解读
2．等差数列 (1)等差数列的通项公式中的已知量与未知量的区分是重点， 是联系一次函数的性质的核心； (2)等差数列的前n项和公式为二次函数，首项的正负与公 差的正负影响数列前n项和的最大值、最小值．关注项数为正自 然数的要求； (3)等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的常用 依据，等差中项只有唯一的值．求和公式中的两项之和通常结 合性质并利用整体思想求值．
它的前一项an－1(或前几项) 第2项(或某一项)开始的任一项an与________________________
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式．
第27讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题 1 数列的概念 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数 列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( )
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公式，点击右键、“切换域代码”，即可进入编辑状态。修改 后再点击右键、“切换域代码”，即可退出编辑状态。
第五单元 数
列
第27讲 数列的概念与简单表示法 第28讲 等差数列 第29讲 等比数列
第27讲 │ 数列的概念与简单表示法
第27讲
数列的概念与简单表示法
第27讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．了解数列的概念和几种简单表示法(列表、图象、 通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
第27讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．数列的定义
一定顺序 (1)数列的定义：按照________排列的一列数称为数列， 项 数列中的每一个数叫做这个数列的____． (2)从函数观点看，数列可以看成以 正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n}) ______________________________________________________ 为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取 值时所对应的一列函数值．

高考一轮总复习•数学
由③－④得12Tn＝1211－－1212n－n·12n＋1， ∴Tn＝2－(2＋n)·12n.
第19页
高考一轮总复习•数学
第20页
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和 时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
此方法也被称为高斯算法．已知某数列的通项公式为 an＝22nn－－110001，则 a1＋a2＋…＋a100＝
() A．98
B．99
C．100
D．101
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：方法一：由数列的通项公式为 an＝22nn－－110001， 可得当 1≤n≤100，n∈N*时，an＋a101－n＝22nn－－110001＋22110011－－nn－－110001＝22nn－－110001＋110021－－22nn ＝42nn－－210021＝2， 所以 a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝an＋a101－n＝2， 所以 2(a1＋a2＋…＋a100)＝2×100＝200， 【扫清障碍】求和式中到首尾距离相等的两项和相等，考虑使用倒序相加法，将求和式 倒序书写，之后与原式相加，两两结合求解． 所以 a1＋a2＋…＋a100＝100.
解：(1)因为 f(x)＝cos πx－sin πx＝ 2cosπx＋π4，令 f(x)＝0 可得 2cosπx＋4π＝0， 即 πx＋4π＝π2＋kπ(k∈Z)，解得 x＝14＋k(k∈Z)．因为{an}为所有正零点构成的数列，所以 a1 ＝14，且 an－an－1＝1(n≥2)，故{an}为以14为首项，1 为公差的等差数列，即 an＝14＋(n－1) ＝n－34.

2－2n1－1－22nn＋1，
∴Sn＝4－n2＋n－21 .
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第31讲 数列求和
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基
础
1．数列求和的方法技巧
(1)等差数列的前n项和是用裂项相消法推导的．( )
(2)等比数列的前n项和是用倒序相加法推导的．( )
(3)数列2n（21n－1）可以用裂项相消法求和．(
__________．
[答案] 377
[解析] S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝ 11－－445＋4×（32＋15）＝377.
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第31讲 数列求和
双
向
固
基 础
4．[教材改编]
数列
2 2
，242，
6 23
，…，
22nn ，…前n项和为
__________．
[答案] 4－n2＋n－21
若__干__个__等__差__或__等__比__或__可__求__和__的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成__两__项__之__差___，在求和
时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常 ②用 （的 2n裂 －项 1）公1（式2： n＋①1n）（＝n1＋ __121_） _2_n＝ _1－___11n__－－____2n__n＋__11＋____11_______；；
项，d为公差)．
(其中a1为首
②等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝___n_a__1 __； a1（1－qn）
a1－anq
当q≠1时，Sn＝_____1_－__q_____＝_____1_－__q___ (其中a1