高中数学三角函数专题专项试(非常好)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件
例3． 若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。
正解：1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得)(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ∴)(2
22Z k k x k ∈+
<<π
ππ
二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例4． 设α、β为锐角，且α+β︒=120，讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。
错解
)cos(2
1
1)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y ，可见，当1
)cos(-=-βα时，
23max =
y ；当1)cos(=-βα时，2
1min =y 。分析：由已知得︒<<︒90,30βα，∴︒<-<︒-6060βα，则1)cos(2
1≤-<βα，∴当1)cos(=-βα，即︒==60βα时，21
min =y ，最大值不存在。
三、 忽视应用均值不等式的条件
例5． 求函数)20,0(sin cos 2
222π
<<>>+=x b a x
b x a y 的最小值。 错解 )12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()
1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x
b x a y Θ，∴当12sin =x 时，ab y 4min =
分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解： 2
222
222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=，
当且仅当x b x a cot tan =，即a
b x =
tan ，时，
2min )(b a y +=
【经典题例】
例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x ++2
对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf
（1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。
[思路]（1）令α=2
π
，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,0)(≥x f 当31≤≤
x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；
（3）由上述可知，[-1，1]是)(x f 的减区间，那么
,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f
例5：关于正弦曲线回答下述问题：
（1）函数
)43sin(log 2
1x
y ππ-=的单调递增区间是？ Z k k x k ∈+<≤-]348328[；
（2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8
π
=x 对称，则a 的值是 1 ；
（3）把函数)4
3sin(π
+=x y 的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得
的函数解析式子是 )8
sin(π
-=x y ；
例6：函数
x
x x
x f cos sin 12sin )(++=
，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x 值。
[思路]（1）{x|x 2
22π
πππ-
≠-≠k x k 且 }Z k
∈(2)设t=sinx+cosx,则y=t-14
2,12max π
π+=-=k x y Z k ∈
例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 2
3
2cos sin 2cos sin
22
=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；
（2）求角B 的取值范围。 [思路]（1）条件等式降次化简得
Λ
Λb c a B C A 2sin 2sin sin =+⇒=+（2）
Λ
ΛΘ,2
182682)(32)
2(
cos 22222=-≥-+=+-+=
ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，得B 的取值范围]3
,
0(π
14．设ααsin cos +=x
，且0cos sin 33>+αα，则x 的取值范围是 ]2,0( ；
19．已知)2
,
0(π
∈x ，证明不存在实数)1,0(∈m 能使等式cos x +msin x =m(*)成立；
（2）试扩大x 的取值范围，使对于实数)1,0(∈m ，等式(*)能成立； （3）在扩大后的x 取值范围内，若取3
3
=m ,求出使等式(*)成立的x 值。
提示：可化为1)42tan(>+=πx m （2）)2
,2(ππ-∈x （3）6π-
=x
最值问题典型错例
例5. 求函数
y x
x
=
-s i n c o s 1342的最大值和最小值。
错解：原函数化为4902
y x x y s i n s i n -+=，关于s in x 的二次方程的判别式∆=--⨯⨯≥()144902y y ，即-≤≤112112y ，所以y y max min ==-112112
，。剖析：若取y =±112，将导致sin x =±32的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|s i n |x ≤1。正解：原函数化为4
902
y x x y s i n s i n -+=，当y =0时，解得s i n x =0，满足s in x ≤1 当
y ≠0
时，解得
s i n x y y
=
±-1114482
，又
s i n |s i n |x R x ∈≤，1
，则有114401111448122
-≥-≤
+-≤⎧
⎨⎪
⎩
⎪y y
y 或
114401111448122-≥-≤--≤⎧⎨⎪⎩
⎪
y y
y ，解得-≤≤1131
13y ，所以y y max min =
=-1131
13
， 难点 化简与求值
【例】已知
2
π＜β＜α＜
43π,cos(α－β)=13
12
,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.
［例1］不查表求sin 220°+cos 2
80°+3cos20°cos80°的值.
解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 2
20°cos80°=21 (1－cos40°)+2
1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+2
1 (cos120°cos40°－sin120°
sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－4
1
cos40°－43sin40°+43sin40°－
2
3sin 2
20°
