1．7.2 定积分在物理中的应用
学习目标 1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
知识点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答案 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念． 梳理 (1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
()2
1
d t t t t ⎰v 求解．
(2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用()2
1
d t t t t ⎰v 求解，这一时段的路程是位移的相反数，
即路程为－
()2
1
d t t t t ⎰v .
做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上
的定积分，即ʃb a v (t )d t .
知识点二 变力做功问题
思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决？
答案 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a
到x ＝b (a
梳理 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a
类型一 求变速直线运动的位移、路程
例1 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t
的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5
B ．8＋25ln
113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2
答案 C
解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－8
3(舍去)，
∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋25
1＋t
)d t ＝7t 40|－32t 240|＋25ln(1＋t )40|
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
(2)有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：
①P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； ②P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．
解 ①由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．
故当t ＝6时，点P 离开原点的路程
s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t
＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 340－
⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 36
4＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移
s 2＝ʃ60(8t －2t 2)d t ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 36
0＝0. ②依题意得ʃt 0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－2
3
t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，
t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．
反思与感悟 (1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否
为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程s ＝ʃb
a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程s ＝ʃ
b a |v (t )|d t
＝－ʃb a v (t )d t .
(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要
利用定积分的性质进行分段积分再求和．
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程． 解 (1)由
ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫t 3
3－2t 2＋3t 4
＝43知，在时刻t ＝4时，该质点离出发点43
m. (2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0，得t ∈(0,1)∪(3,4)．
这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．
故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2
－4t ＋3)d t ＝4.
即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m.
类型二 求变力做功
例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧
14x ＋5，0≤x ≤90，20，90运动方向成30°角．在BC 段运动时，F 与运动方向成45°角．在CD 段运动时，F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)
解 在AB 段运动时，F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时，F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°. 由变力做功公式得
W ＝ʃ500⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝
⎪⎪38⎝⎛⎭⎫12x 2＋20x 500＋
⎪⎪28⎝⎛⎭⎫12
x 2＋20x 90
50
＋600 ＝
1 125
4
3＋4502＋600 ≈1 723(J).
所以物体由A 运动到D ，变力F 所做的功为1 723 J.
