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河南省南阳市2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709为三等奖.B．某车间包装一种产品,在自动的传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格.C．某校分别从行政,教师后勤人员中抽取2人,14人，4人了解学校机构改革的意见.D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验.2.一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．恰有一次不中靶 D．至少有一次中靶3.计算机执行右面的程序后,输出的结果是（）A．4，1 B．1，3 C．0，0 D．6，04.从随机编号为0001，0002，…，1500的1500名参加这次全市期中考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A．1466 B．1467 C.1468 D．14695.如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．310B．710C.35D．456.为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 、2l ，已知两人得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是（ ）A ．直线1l 和2l 一定有公共点()s t ，B ．必有直线12l l ∥ C.直线1l 和2l 相交，但交点不一定是()s t ， D ．1l 和2l 必定重合7.x 是1x ，2x ，L ，100x 的平均数，a 是1x ，2x ，L ，40x 的平均数，b 是41x ，42x ，L ，100x 的平均数，则下列各式正确的是（ ）A ．2355x a b =+B ．3255x a b =+ C.x a b =+ D ．2a b x +=8.如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．18B ．8π C.14 D ．129.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A ．0.852 B ．0.8192 C.0.8 D ．0.7510.已知ABC △中，90C =︒，2AB AC =，在斜边AB 上任取一点P ，则满足30ACP ∠≤︒的概率为（ ） A ．12 B ．13 C.14 D ．1511.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）A ．13B ．23 C.12 D ．3412.执行如图所示的算法程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -< C.0.2m n -< D ．0.1m n -<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.从区间[01]，随机抽取2n 个数，1x ，2x ，L ，n x ，1y ，2y ，L ，n y ，构成n 个数对11()x y ，，22()x y ，，L ，()n n x y ，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．14.运行右边算法语句输出x 的结果是 ．15.将一颗骰子先后两次投掷两次分别得到点数a ，b 则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为 ．16.已知样本数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据121a +，221a +，321a +，421a +，521a +的平均数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率0.10.160.30.30.10.04（1）至少有2人排队的概率是多少？ （2）至少有2人排队的概率是多少？18. 根据右边算法的程序，画出其相应的算法程序框图，并指明该算法的目的.19. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x （C ︒）1011 13 12 8 6就诊人数y （个）22 2529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻两月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考数据1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=，22221113128498+++=（参考公式：1221niii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑121()()()niii nii x x yy xx ==--=-∑∑，a y bx =-）20. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班25人的成绩记为(1225)i A i =L ，，，由右边的程序运行后，输出10n =.据此解答如下问题：注：图中Y 表示“是”，N 表示“否”（1）求茎叶图中破损处分数在[5060)，，[7080)，，[8090)，各区间段的频数； （2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？21. 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[1828)，，[2838)，，[3848)，，[4858)，，[5868)，，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [1828)， 5 0.5第2组 [2838)， 18 a第3组 [3848)， 270.9 第4组 [4858)， x0.36 第5组 [5868)，30.2（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.22.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得分情况如下（单位：分）甲：37213120291932232533，，，，，，，，， 乙：10304727461426104446，，，，，，，，，（1）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；（2）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值x ，将10场比赛得分i x 依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义；（3）如果从甲、乙两位运动员的10场得分中，各随机抽取一场不少于30分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率.河南省南阳市2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1-5:DBACB 6-10:AACDC 11、12：CB 二、填空题13.n m4 14.2020 15.71216.5或3三、解答题17.解：（1）记没有人排队为事件A ，1人排队为事件B ．2人排队为事件C ，A 、B 、C 彼此互斥．所以P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）=0.1+0.16+0.3=0.56；（2）记至少2人排队为事件D ，少于2人排队为事件A+B ，那么事件D 与A+B 是对立事件， 则P （D ）=P （）=1﹣（P （A ）+P （B ））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．18.解：画出的其相应的算法程序框图 如下：该算法的目的：求使1+2+3+…+n ＞2010成立的最小自然数n ． （或1+2+3+…+n ≤2010的最大正整数n 的值再加1）19. 解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ，所以51()153P A == (2)由数据求得11=x , 24=y 由公式求得718=b , 再由 730-=-=x b y a 所以关于的线性回归方程为$183077y =⨯- (3)当10=x 时,7150ˆ=y,2227150<- 同理, 当6=x 时, 78ˆ7y=,781227-<, 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.20. 解：（1）由直方图知：在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08， ∴在[50，60）之间的频数为2；由程序框图知：在[70，80）之间的频数为10所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4； （2）分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08； 分数在[60，70）之间的频率为7/25=0.28； 分数在[70，80）之间的频率为10/25=0.40；分数在[80，90）之间的频率为4/25=0.16；分数在[90，100]之间的频率为2/25=0.08；估计该班的测试成绩的众数75…设中位数为x，则0.08+0.28+0.04（x﹣70）=0.5，解得x=73.521. 解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1 人．（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．∴P（A）=93 155．所以抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35．22. 解: （1）茎叶图如下：统计结论：①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值；②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中；③甲运动员得分的中位数为27，乙运动员得分的中位数为28.5；④甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散．（给分说明：上述结论中，任写两个均可，每个正确得1分）（2）27x =，35S =．S 表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，S 值越小，表示比赛得分比较集中，S 值越大，表示比赛得分越分散（3）记甲、乙两位运动员的得分为()a b ，，a 表示甲运动员的得分，b 表示乙运动员的得分，则甲、乙两位运动员的10场得分中各随机抽取一场不小于30分的得分的基本事件为：(3130)，，(3144)，， (3146)，，(3146)，，(3147)，；(3230)，，(3244)，，(3246)，，(3246)，，(3247)，；(3330)，，(3344)，，(3346)，，(3346)，，(3347)，；(3730)，，(3744)，，(3746)，，(3746)，，(3747)，；共有20种情况， 其中甲的得分大于乙的得分有：(3130)，，(3230)，，(3330)，，(3730)，， 共4种情况．从而甲的得分大于乙的得分的概率为41205P ==．。
福清龙西中学2018-2019学年度高一下学期期中考试试卷数学一、选择题（共12小题，每题5分共60分，只有一个选项正确，请把．．★．答案．．★．写在答题卷上．．．．．．） 1.在ABC ∆中，sin sin AB等于（ ） A.b a B.a bC.A BD.cos cos AB【★答案★】B 【解析】 【分析】根据正弦定理变形后易得结论． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B=， 所以sin sin A aB b=． 故选B ．【点睛】本题考查正弦定理的变形，解题时由正弦定理可直接得到结论，属于简单题． 2.若0a <，01b <<，那么( ) A. 2a ab ab >> B. 2ab ab a >> C. 2ab a ab >> D. 2ab ab a >>【★答案★】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质比较判断即可求解. 【详解】因为01b <<， 所以21b b <<， 又0a <，所以2a ab ab <<， 故选：B【点睛】本题主要考查了不等式性质，考查了推理分析能力，属于容易题. 3.下列命题中正确的是( )A. 若正数,,a b c 是等差数列，则2,2,2a b c 是等比数列B. 若正数是,,a b c 等比数列，则2,2,2a b c 是等差数列C. 若正数是,,a b c 等差数列，则222log ,log ,log a b c 是等比数列D. 若正数是,,a b c 等比数列，则是222log ,log ,log a b c 等差数列 【★答案★】D 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的性质，结合对数的运算性质，逐一判断真假，可得★答案★. 【详解】若正数a, b , c 是等差数列，则2a, 2b, 2c 是等差数列，但不一定是等比数列，例如，1,2,3是等差数列，2,4,6是等差数列，但不是等比数列，故A 错误;若正数a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b, 2c 是等比数列，但不一定是等差数列，例如，1，2，4成等比数列，2,4,8成等比数列，不是等差数列，故B 错误;若正数a, b , c 是等差数列，但222log ,log ,log a b c 中可能有0，不能做为等比数列的项,故C 错误;若正数a, b, c 是等比数列，则2222222log log log log log , b b ac a c ===+故222log ,log ,log a b c 成等差数列，故D 正确.故选：D 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了等差数列和等比数列的定义，熟练掌握等差，等比数列的定义及性质是解答的关键，属于中档题.4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）A. 90︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ． 5.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，那么( )A. 0,0a <∆≥B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≤D. 0,0a >∆>【★答案★】C 【解析】 【分析】由二次不等式解集为φ，结合二次函数图象及二次方程可知满足的条件. 【详解】因为不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，所以对应的二次函数2y ax bx c =++开口向上，与x 轴无交点或只有一个交点即可， 所以需满足0,0a >∆≤. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次函数、二次方程的关系，由不等式的解求参数满足的范围，属于容易题.6.设,x y 为正数， 则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15【★答案★】B 【解析】 【分析】整理后可用基本不等式求最小值. 【详解】()1444552549x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =时等号成立，故最小值为9，选B. 【点睛】本题考查不等式的应用，属于容易题.7.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A. 30B. 45C. 90D. 186【★答案★】C 【解析】由2115163{{4153a a d a a a d d =+==⇒=+==，33(1)3n a n n ∴=+-=，26n nb a n ==，所以56305902S +=⨯=．8.在ABC 中，若22tan tan A a B b=，则ABC 的形状是A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【★答案★】A 【解析】 【分析】题设中的边角关系可以转化为sin 2sin 2A B =，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，所以222A B k π=+或者222A B k ππ+=+，k Z ∈. 因()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，故A B =或者2A B π+=，所以ABC ∆的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.9.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若19a =-，356a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于( ) A. 5B. 6C. 7D. 8【★答案★】A 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 中19a =-，356a a +=-，可求出公差，写出等差数列的求和公式，利用二次函数求最值即可.【详解】因为等差数列{}n a 中19a =-，356a a +=-， 所以11246a d a d +++=-， 即612d =，解得2d =， 所以2(1)92102n n n S n n n -=-+⨯=-， 故当5n =时，2min ()510525n S =-⨯=-，故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，求和公式，二次函数求最值，属于中档题. 10.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B 等于（ ）A.14B.34C.23D.24【★答案★】B 【解析】 【分析】,,a b c 成等比数列，可得2b ac =，又2c a =，可得222b a =，利用余弦定理即可得出．【详解】解：,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，又2c a =，222b a ∴=，则222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⨯故选B ．【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题：①21sin sin 2sin B CS a A=；②若2cos sin sin B A C =，则ABC 是等腰直角三角形；③222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-；④2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A. ①②③ B. ①②④C. ②③④D. ①③④【★答案★】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断．【详解】由sin sin a b A B=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B C S a A =，①正确；若2cos sin sin B A C =sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+，∴cos sin cos sin 0B A A B -=，in 0()s A B -=，∵,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =，ABC 为等腰三角形，②错；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又sin sin sin a b c A B C==，∴222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-，③正确；2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，∴22sin cos cos sin a A Bb A B =，由正弦定理得22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B，三角形中sin 0,sin 0A B ≠≠，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，④正确．故选：D ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换．12.将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是_______【★答案★】577 【解析】 【分析】由等差数列的特征得到等差数列的通项公式32n a n =-,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.【详解】由题意可得等差数列的通项公式为32n a n =-，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为：1234193193++++++=,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项，中19331932577a =⨯-=.【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把．．★．答案．．★．写在答题卷上．．．．．．） 13.若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，则345a a a ++=________.【★答案★】21 【解析】 【分析】直接由n S 的定义计算．【详解】22345525221a a a S S ++=-=-=．故★答案★为：21．【点睛】本题考查数列的前n 项的概念，属于基础题．14.在ABC 中，sin :sin :sin 2:5:6A B C =，则cos C 的值为_______. 【★答案★】720- 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理计算．【详解】sin :sin :sin 2:5:6A B C =，由正弦定理得::2:5:6a b c =，设2,5,6a k b k c k ===，则222222425367cos 222520a b c k k k C ab k k +-+-===-⨯⨯．故★答案★为：720-． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．15.ABC 中，5a =，3b =， cos C 是方程25760x x --=的根，则ABCS =________.【★答案★】6 【解析】 【分析】解方程求出cos C ，再利用同角三角函数的基本关系：22cos sin 1C C +=求出sin C ，利用三角形的面积公式1sin 2ABCSab C =即可求解. 【详解】()()257605320x x x x --=⇒+-=， 解得135x =-，12x =， 因为1cos 1C -<<，所以3cos 5C =-， 因为C ∠为三角形的内角， 所以24sin 1cos 5=-=C C ， 由5a =，3b =， 所以114sin 536225ABCSab C ==⨯⨯⨯=， 故★答案★为：6【点睛】本题考查了三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，属于基础题.16.已知x 、y 都为正数，且4x y +=，若不等式14m x y+>恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【★答案★】9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用基本不等式求出14x y+的最小值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】x、y 都为正数，且4x y +=，由基本不等式得()14144x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445259y x y xx yx y =++≥⋅+=，即1494x y +≥，当且仅当2y x=时，等号成立， 所以，14x y +的最小值为94，94m ∴<. 因此，实数m 的取值范围是9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故★答案★为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，利用基本不等式求出最值是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（6题，共74分，要求写出解答过程或者推理步骤） 17.若不等式2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（1）求a 的值； （2）求不等式151axa x ->++． 【★答案★】（1）2a =-（2）{|21}x x -<<- 【解析】 【分析】（1）根据方程与不等式关系，可知2520ax x +-=的两个根分别为12和2，结合韦达定理即可求得a 的值；（2）代入a 的值，可得1231xx +>+．通过移项，通分、合并同类项，即可解不等式． 【详解】（1）依题意知，0a <且2520ax x +-=的两个实数根为12和2 由韦达定理可得1522a+=-， 解得2a =-（2）将2a =-代入不等式得1231xx +>+ 即12301x x +->+，整理得(2)01x x -+>+ 即(1)(2)0x x ++<， 解得21x -<<-，故不等式的解集为{|21}x x -<<-【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题．18.如图，货轮在海上B 处，以50海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155o 的方向航行，为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为125o ．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为80o ．求此时货轮与灯塔之间的距离（★答案★保留最简根号）．【★答案★】2522海里 【解析】【详解】应该解△ABC,根据条件可求出∠BCA＝180o －155o ＋80o ＝105o ，∠BAC＝180o －30o －105o＝45o, BC ＝150252⨯=,所以应用正弦定理解之即可 在△ABC 中，∠ABC＝155o－125o＝30o∠BCA＝180o －155o ＋80o ＝105o ， ∠BAC＝180o －30o －105o ＝45o ，BC ＝150252⨯=， 由正弦定理，得00sin 30sin 45AC BC= ∴AC＝00sin 30sin 45BC ⋅=2522（海里） 答：船与灯塔间的距离为2522海里. 19.（1）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，求通项公式n a ；（2）已知等比数列{}n a 中，332a =，392S =，求通项公式n a . 【★答案★】（1）1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）32n a =或1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由题意结合数列n a 与n S 的关系，按照1n =、2n ≥分类讨论即可得解；（2）由题意结合等比数列的通项公式可得21219(1)232a q q a q ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解出方程后，再利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()()22122121223n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 当1n =时，1123a =≠-；故有1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩； （2）由题意可得2312312319(1)232S a a a a q q a a q ⎧=++=++=⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩，化简得2210q q --=，解得1q =或12q =-， 所以1321a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 由11n n a a q -=可得32n a =或1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用数列n a 与n S 的关系求数列的通项公式，考查了等比数列通项公式的基本量运算，属于基础题.20.在ABC 中,内角A ､B ､C 的所对的边是a ､b ､c ,若1cos cos sin sin 2B C B C -=（1）求A ；（2）若23,4a b c =+=,求ABC 的面积.【★答案★】（1）23π.（2）3 【解析】【分析】(1)根据余弦的差角公式化简,并利用三角形内角和为π利用诱导公式求解即可.(2)利用余弦定理可得4bc =,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)1cos cos sin sin cos()cos()cos 2B C B C B C A A π-=+=-=-= ∴1cos 2A =-,又∵(0,)A π∈,∴23A π=. (2)由余弦定理有： 22222()21cos 222b c a b c a bc A bc bc +-+--===-, 又因为23,4a b c =+=, 16122211422bc bc bc bc --=-=-⇒= 23,sin 32A A π=∴=, 113sin 43222ABC S bc A ∴==⨯⨯=△ 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中运用,同时也考查了解三角形中余弦定理与面积公式的运用,属于基础题.21.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元.（1）求使用n 年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S （千元）关于n 的表达式；（2）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值.（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数）【★答案★】（1）(3)2n n S ⋅+=；（2）最佳年限是12年，平均费用为15.5千元. 【解析】【分析】(1)根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式;(2) 由(1)得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值.【详解】（1）因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元， 故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，所以前n 年的总费用(3)23(1)2n n S n ⋅+=++++= （2）设使用n 年的年平均费用为y ，则[7022(3)/2]y n n n n =++++÷7277312362222n n =++≥+= 当且仅当12n =时，取等号，取最小值 故最佳年限是12年，平均费用为15.5千元.【点睛】本题主要考查了等差数列求和，基本不等式，分析题意,提炼出数学模型是解答的关键，属于中档题.22.已知等差数列{}n a 满足：，，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求通项公式n a 及前n 项和n S ；（Ⅱ）令=211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【★答案★】（Ⅰ）21n a n =+；n S =2n +2n ；（Ⅱ）n T =n 4(n+1)． 【解析】 试题分析：（1）结合已知中的等差数列的项的关系式，联立方程组得到其通项公式和前n 项和．（2）在第一问的基础上，得到bn 的通项公式，进而分析运用裂项法得到．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1127{21026a d a d +=+=， 解得13,2a d ==，……………2分，所以321)=2n+1n a n =+-（；………4分 n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以=211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅……9分 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1)……12分 考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式以及前n 项和的求解运用．点评：解决该试题的关键是能得到等差数列的通项公式，然后求解新数列的通项公式，利用裂项的思想来得到求和．易错点就是裂项的准确表示．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．B ．2C ．12-D ．123．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c>>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a>>5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．347．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．108．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．1911．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin750.1305≈≈≈）A．12B．24C．36D．48二、填空题13．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，2AE ED=，若OE x AB yBC=+，则=x y+__________．14．已知函数()2sin3cosf x x x=+，若max()()f x f a=，则cos a=__________．15．函数33()sin log2f x x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的零点个数为__________．16．已知：3sin cos2αβ+=，则2sin cosαβ+的取值范围是__________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P和Q，其中21,cos2Pθ⎛⎫⎪⎝⎭,()2sin,1,Qθθ-∈R，且4sin5α=.（1）求cos2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.18．已知3,4a b==，且a与b的夹角23θπ=.（1）求||a b+的值；（2）记a与a b+的夹角为α，求tan2α的值.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxx nx ==-==--∑∑20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及7NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.解析河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.【考点】分层抽样．2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+--- =sin 20cos 40cos 20sin 3sin 24060︒︒︒︒︒+==故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.3．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.【详解】由()()f x f x -=知函数是偶函数，排除B 选项；再因为()02,f =故选C.【点睛】在进行图像辨析时，常常考虑函数的奇偶性和特殊点的正负进行排除选项，属于基础题.4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【详解】cos1sin1,414a ︒︒︒=<=-)2222.52cos 122.5451,b ︒︒=-===- 1tan1tan 461;1tan1c ︒︒+==>- 故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【解析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得()()11113333,OA OB OC OA AB AC OA AB AC OA λλλλ=+++⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭所以113λ+=，103AB AC λ+= ，解得2.3λ=且2.AB AC =- 故选D.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．34【答案】A【解析】根据题意得小明等车时间不超过10分钟的总的时间段，再由比值求得.【详解】小明等车时间不超过10分钟，则他需在750：至800：到，或8:20至830：到，共计20分钟，所以概率201.402P ==故选A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.7．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.【详解】由()f x 是奇函数得,ϕπ=又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,42k k Z ππϖππ+=+∈，解得24,,k k Z ϖ=-+∈所以当1k =时，得A 答案；当2k =时，得C 答案；当3k =时，得D 答案；故选B.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【解析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【详解】设BC 边的中点D ，则()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅所以在ABC ∆中，BC 垂直于BC 的中线，所以ABC ∆是等腰三角形.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈【答案】B【解析】【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+，所以212πωπ==因此2sin 13x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭152sin()22()32636x k x k k Z ππππππ>⇒+>⇒+<+<+∈22()62k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，选B.10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．19【答案】A【解析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令5παθ-=，则2322,2255ππαθαπθ-=+=-，所以2217cos 212sin 1239θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()37cos 2cos 2cos 259παπθθ⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】D 【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x=故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin 750.1305≈≈≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】00011166sin 60 2.598,1212sin 303,2424sin15222n S n S n S =⇒=⨯≈=⇒=⨯==⇒=⨯3.1056≈，故选B.【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，2AE ED =，若OE x AB yBC =+ ，则=x y +__________．【答案】23-【解析】根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：()111111232326OE OA AE CA AD CB A AD AB B B C=+=++=-=+-所以1216x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2=-3x y +故填：23-【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14．已知函数()2sin 3cos f x x x =+，若max ()()f x f a =，则cos a =__________．【答案】13【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+（其中3tan 2θ=），因为max ()()f x f a =所以()sin 1a θ+=，所以2,2a k k Z πθπ+=+∈，所以，2,2a k k Z πθπ=-+∈，所以cos sin 13a θ==，故填：13【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.15．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________．【答案】3【解析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.16．已知：3sin cos 2αβ+=，则2sin cos αβ+的取值范围是__________．【答案】5[2,]2【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得3cos sin 2βα=-，所以332sin cos 2sin sin sin 22αβααα⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭，又因为1cos 11sin 1βα-≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以31sin 121sin 1αα⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1sin 12α≤≤，所以352sin 22α≤+≤，故填52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4sin 5α=.（1）求cos 2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.【答案】（1）13；（2）13-.【解析】(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由24sin 5α==得：2221cos ,sin 33θθ==所以：221cos 2cos sin 3θθθ=-=（2）由2212sin ,cos 33θθ==则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4tan ,tan 33αβ==-因此tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ++==--.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.18．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角23θπ=.（1）求||a b +的值；（2）记a 与a b +的夹角为α，求tan 2α的值.【答案】（1；（2）6.【解析】(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夹角公式可以求得.【详解】（1）根据题意可得：2cos 63a b a b π⋅==-222()|2|9121613a b a a b b +=+⋅+=-+=故a b +==（2）()cos 13a a b a a b α⋅+==+，则sin 13α=故sin1cos 2tan 2sin 6cos 2ααααα-===.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x （单位：元）和销售量y （单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxxnx ==-==--∑∑【答案】（1） 3.240y x =-+；（2）8.75元.【解析】(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.【详解】（1）10,8x y == 3.2,8(3.2)1040b a ∴=-=--⨯=y ∴关于x 的回归方程为 3.240y x =-+.（2）利润2()(5)(3.240) 3.256200,[7,9]W x x x x x x =--+=-+-∈该函数的对称轴方程是8.75x =，故销售单价定为8.75元时，企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.【答案】（1）2，,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.【解析】(1)运用向量的数量积运算和辅助角公式化简，求解和求其单调区间；(2)根据图像的平移和函数的对称轴求解.【详解】（1）函数2()2cos cos 2sin 216f x x x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭min 70,,2,,()22666x x f x m ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，得2m =.即()2sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意得222262k x k πππππ-≤+≤+，得,36k x k k Zππππ-≤≤+∈所以，函数()f x 的单调增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()4g x =，得1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：4266x k πππ-=+或542,66x k k Z πππ-=+∈即212k x ππ=+或,24k x k Z =+∈ππ0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12x π∴=或4x π=故所有根之和为1243πππ+=.【点睛】本题考查正弦型函数的值域、单调性和对称性，属于基础题.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.【答案】（1）30；（2）54,55；（3）815.【解析】(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.750++⨯=所以，40名读书者年龄分布在[40,70)的人数为400.75030⨯=人.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为x ，0.050.10.2(50)0.030.5x +++-⨯=解之得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55岁.（3）年龄在[20,30)的读书者有2人，记为a ，b ；年龄在[30,40)的读数者有4人，记为A ，B ，C ，D 从上述6人中选出2人，共有如下基本事件：()()()(),,,,,,,,a b A B A C A D ()()()(),,,,,,,,B C B D C D a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D ,共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在[30,40)中为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为8个:(),,a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D 故8()15P A =.【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.【答案】（1）5()2sin(),[,2]44f x x πππ=+（2）32【解析】（1）由点()0,1F 是线段DM 的中点，可得D 和M 的坐标，从而得最值和周期，可得A 和ω，再代入顶点坐标可得ϕ，再利用整体换元可求单调区间；（2）令()[]t 1,2f x =∈得到()()2h x g t 1t at ==-+，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【详解】（1）因为为中点，()0,1F ，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.。
河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得的值．【详解】若，则，，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．4．已知向量，若，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∥，∴，又为锐角，∴。
选C。
5．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以，化为关于的式子，代入即可求解。
【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得分子分母同时除以，得因为代入可求得所以选D【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。
6．对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则的夹角为锐角【答案】C【解析】选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；选项B:根据公式可以进行判断；选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个进行判断；选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断. 【详解】解：A：若，则，故A错误；B：若，则，故B错误；C：非零向量，，故C正确；D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7．若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．正三角形【答案】A【解析】利用，两边平方可得，进而判断出是钝角．【详解】解：两边平方可得：，化为，，．为钝角．这个三角形是钝角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的平方关系和同角的正弦、余弦值的正负性，属于基础题．8．已知向量、满足，则一定共线的三点是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】A【解析】分析：由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.详解：由向量的加法法则可得，所以，与共线，又两线段过同点，故三点一定共线，故选A.点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.9．若、是锐角的两个内角，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．【详解】解：、是锐角的两个内角，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质、三角函数的单调性是解决本题的关键．10．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】采用排除法.根据性质: ①:最小正周期为, 排除选项A和B; 对于选项C, 当时,,不是最值,所以排除选项C,故选D.11．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得函数的周期为，即当时取最大值，即故选：C．【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12．若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由，得①由得②，由①②可求得，则，故本题的正确选项为D.【考点】三角函数恒等变换.【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得即可，而余弦恒等变换中刚好有这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得，进而求得.二、填空题13．若的最小正周期为，则的最小正周期为______．【答案】【解析】试题分析：本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三角函数的最小正周期可知，所以函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.14．已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.15．已知，，且，，则______．【答案】【解析】试题分析：由，得，所以，从而，故答案为：【考点】三角恒等变形公式．16．已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为______．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，因为，所以【考点】同角三角函数关系，向量数量积三、解答题17．设是两个相互垂直的单位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，，当时，；（Ⅱ）若，则，因为是两个相互垂直的单位向量，当时，.【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．18．计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）1．【解析】（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π–）+cos（π–）=cos+cos–cos–cos=0；（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°–30°）+sin（–2×360°+30°）•cos（–2×360°+60°）=sin60°cos30°+sin30°cos60°=×+×=1．19．已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为．（1）求和的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）.. (2)。
河南省南阳市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（）A . 193B . 192C . 191D . 1902. （2分）已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中是f（x）的导函数），若， b=f(1)，则a,b,c的大小关系是（）A . c>a>bB . c>b>aC . a>b>cD . a>c>b3. （2分）已知平面α与平面β相交于直线l，l1在平面α内，l2在平面β内，若直线l1和l2是异面直线，则下列说法正确的是（）A . l与都相交l1 ， l2B . l至少与l1 ， l2中的一条相交C . l至多与l1 ， l2中的一条相交D . l与l1 ， l2都不相交4. （2分）函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）5. （2分）若A、B是锐角三角形△ABC的两个内角，如果点P的坐标为P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA），则点P在直角坐标平面内位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限t6. （2分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（）A .B .C .D .7. （2分）某中学高一年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A . 8B . 168C . 9D . 1698. （2分）三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 19. （2分）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·宝鸡模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·孝感期中) 已知数据x1 ， x2 ， x3 ，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A . 平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B . 平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C . 平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D . 平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大12. （2分）函数的一个单调增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南阳月考) 给出下列命题：① 中角，，的对边分别为，，，若，则；② ，，若，则；③若，则；④设等差数列的前项和为，若，则 .其中正确命名的序号是________．14. （1分）如图，正方形O1A1B1C1的边长为 1，它是一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图，求原图形的面积为________．15. （1分）设O为坐标原点，若直线y-=0与曲线t:相交于A、B点，则扇形AOB的面积为________16. （1分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）满足，则直线ax+by+c=0的斜率为________．三、解答题： (共6题；共75分)17. （10分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．18. （15分）(2018·全国Ⅰ卷文) 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1）[0.1,0.2）[0.2，,0.3[0.3,0.4）[0.4，0.5）[0.5,0.6）[0.6,0.7）频数13249265使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1）[0.1,0.2）[0.2,0.3）[0.3,0.4）[0.4,0.5）[0.5,0.6）频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图（2）估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率（3）估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)19. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.（1）求证:平面MOC⊥平面VAB．（2）求三棱锥V-ABC的体积.20. （10分） (2017高一上·大庆月考) 已知函数是奇函数，且 .（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明；（3）求该函数在区间上的最值21. （15分） (2017高二下·伊春期末) 某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：245683040605070( 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 )（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时，销售收入的值。
..2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题 5 分） 1．学校为了解高二年级 1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的 样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．cos1050°的值为（ ）A． B．﹣C． D．﹣3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 m 为 数字 0﹣9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为 ，，则一定有（ ）A． ＞ C． =B． ＜ D． ， 的大小不确定4．若 sin（π﹣α）﹣cos（π+α）= ，则 sin（ ﹣α）cos（ +α）等于（ ）A． B．﹣C． D．﹣5．已知单位向量 ， 满足|3 ﹣2 |= ，则|3 + |=（ ） A．1 B．4 C．2 D． 6．若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等， 则甲、乙同时被录用的概率为（ ）....A． B． C． D．7．下列说法中，正确的个数为（ ） （1） （2）已知向量 =（6，2）与 =（﹣3，k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若 ，则 在 上的投影为 ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f （x）的图象的是（ ）A．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 9．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）....A． B． C． D．10．△ ABC中，若 cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ ABC中一定是（ ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形11．已知函数 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数 x ，使得对任意的实 0数 x，都有 f（x ）≤f（x）≤f（x +2016π）成立，则 ω 的最小值为（）00A．B．C．D．12．已知△ ABC内一点 O 满足 率为（ ）= ，若△ ABC内任意投一个点，则该点△ OAC内的概A． B． C． D．二、填空题（每题 5 分）13．从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50至 350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．....14．如图所示，在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 ADE 上截去一个半径为 3 的小扇形 ABC，则剩下扇环的面积为．15．在等腰直角三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1，E，F 分别是边 AB，AC 上的点，且 =m ，=n ，其中 m，n∈（0，1）且 m+2n=1，若 EF，BC 的中点分别为 M，N，则| |的最小值是．16．已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足：当 x＞0 时，f（x）=lnx，则函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为．三、解答题17．已知向量 =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， =（4，1）（1）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 x，y 的值；（2）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠B 为直角，求 x，y 的值．18．某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年份代号 t 1234567....人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3× 1.6=14．19．已知向量 =（cosx，sinx）， =（ sinx，sinx），x∈R 设函数 f（x）= ﹣（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在[0， ]上的最大值和最小值．20．某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米 ）如表所示： 2 D1.691.731.751.791.82体重指标 19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．在△ ABC 中，已知 tanA，tanB 是关于 x 的方程 x +（x+1）p+1=0 的两个实根． 2（1）求角 C；（2）求实数 p 的取值集合．....22．函数 y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在 x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当 x=π 时，y 有最大值 3，当 x=6π 时，y 有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数 m，满足不等式 Asin（）＞Asin（）？若存在，求出 m 值（或范围），若不存在，请说明理由．....2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分） 1．学校为了解高二年级 1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40的 样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 k 为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【考点】系统抽样方法． 【分析】由题意知了解 1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40 的样本，1201除以 40不是整数，先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30个人， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等． 【解答】解：了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样 本， ∵1201除以 40不是整数， ∴先随机的去掉 1 个人，再除以 40，得到每一段有 30个人， 则分段的间隔 k 为 30． 故选：C．2．cos1050°的值为（ ）A． B．﹣C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．....【解答】解：cos1050°=cos（﹣3×360°+1050°）=cos（﹣30°）=cos30°= ， 故选：A．3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中 m 为 数字 0﹣9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为 ，，则一定有（ ）A． ＞B． ＜C． =D． ， 的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出 ， ，由此能示出结果．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，= （81+85+85+84+85）=84，= （84+84+86+84+87）=85． ∴＜ ． 故选：B．4．若 sin（π﹣α）﹣cos（π+α）= ，则 sin（ ﹣α）cos（ +α）等于（ ）A． B．﹣C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．....【分析】利用诱导公式求得 sinα+cosα= ，平方可得 sinα cosα 的值，再利用诱导公式化简 要求的式子为 sinα cosα，从而得出结论． 【解答】解：∵sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=sinα+cosα= ，∴平方可得 sinα cosα=﹣ ， 则 sin（ ﹣α）cos（ +α）=﹣cosα•（﹣sinα）=sinα cosα=﹣ ， 故选：B．5．已知单位向量 ， 满足|3 ﹣2 |= ，则|3 + |=（ ） A．1 B．4 C．2 D． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据 ， 是单位向量得出| |=| |=1，再根据|3 ﹣2 |= 求出 • 的值，从而求出 |3 + |的值． 【解答】解：∵ ， 是单位向量，∴| |=| |=1， 又|3 ﹣2 |= ， ∴9 ﹣12 • +4 =7， 即 9﹣12 • +4=7， ∴•= ；∴=9 +6 • + =9+6× +1=13，∴|3 + |= ． 故选：D．6．若某公司从 5 位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等， 则甲、乙同时被录用的概率为（ ）....A． B． C． D． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数， 根据概率公式计算即可． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用 3 人，共有 C =10 种方法，53其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有 3 种方法， 故甲、乙同时被录用的概率为 ， 故选：A．7．下列说法中，正确的个数为（ ） （1） （2）已知向量 =（6，2）与 =（﹣3，k）的夹角是钝角，则 k 的取值范围是 k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若 ，则 在 上的投影为 ．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当 k=﹣1 时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为 180°，但不是钝角，所以（2）错误．..（3）因为，所以向量..共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误． （4）当 方向相同时， 在 上的投影为 ．当．所以（4）错误． 故正确是（1）． 故选 A．方向相反时， 在 上的投影为﹣8．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数 f （x）的图象的是（ ）A．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位 B．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 2 倍，然后再向右平移 个单位 C．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向右平移 个单位 D．将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，然后再向左平移 个单位 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，可得函 数的解析式，再利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：根据函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得 A=1， • = ﹣ ，∴ω=2．....再根据五点法作图可得 2× +φ= ，∴φ= ，∴f（x）=sin（2x+ ）． 将 y=sinx 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 ，可得 y=sin2x 的图象； 然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移 个单位，可得 y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ） 的图象， 故选：D．9．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）A． B． C． D． 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用 是利用循环计算 S=cos cos cos cos 的值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案． 【解答】解：模拟执行程序，可得： 该程序的作用是利用循环计算 S=cos cos cos cos 的值并输出， 由于：S=cos cos cos cos....=×（cos cos cos cos ）=×（cos cos cos ）=×（cos cos ）=×cos==． 故选：C．10．△ ABC中，若 cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ ABC中一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【考点】三角形的形状判断． 【分析】条件即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos （A+B）=0，故 A+B= ，C= ， 从而得到△ ABC形状一定是直角三角形． 【解答】解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0． ∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0， 即 cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB=0．....∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB=0，即﹣cosBcosA+sinBsinA=0． 即﹣cos（A+B）=0，cos（A+B）=0． ∴A+B= ，∴C= ，故△ ABC形状一定是直角三角形． 故选 C．11．已知函数 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数 x ，使得对任意的实 0数 x，都有 f（x ）≤f（x）≤f（x +2016π）成立，则 ω 的最小值为（）00A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x，x +2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角00和的正弦公式求得 f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，再根据 2016π≥ • ，求得 ω 的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x ）是函数 f（x）的最小值，f（x +2016π）是函数 f（x）的最00大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x，x +2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即00可．又 f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）= sin2ωx+=sin（2ωx+ ）+ ，故 2016π≥ • ，求得 ω≥，故则 ω 的最小值为 ， 故选：D．..12．已知△ ABC 内一点 O 满足 率为（ ）..= ，若△ ABC 内任意投一个点，则该点△ OAC 内的概A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S△AOC：S△=的比值．由ABC= ，变形为，3 = ，得到 O到 AC 的距离是 E 到 AC 距离的一半，B 到 AC 的距离是 O 到 AC 距离的 3 倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以 ， 为邻边作平行四边形 OBDC，则 + =∵=，∴3 = ，作 AB 的两个三等分点 E，F，则 = = ，∴O 到 AC 的距离是 E 到 AC 距离的一半，B 到 AC 的距离是 O 到 AC 距离的 3 倍，如图∴S △=AOCS△ ． ABC故△ ABC 内任意投一个点，则该点△ OAC 内的概率为 ，故选：C．二、填空题（每题 5 分）....13．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率 分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为 52 ．【考点】频率分布直方图． 【分析】先求出用电量落在区间[150，250）内频率，由此能求出用电量落在区间[150，250） 内的户数． 【解答】解：由用电量落在区间[150，250）内频率为： 1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52， ∴用电量落在区间[150，250）内的户数为： 100×0.52=52． 故答案为：52．14．如图所示，在半径为 7，圆心角为 的扇形铁皮 ADE 上截去一个半径为 3 的小扇形 ABC， 则剩下扇环的面积为 5π ．【考点】扇形面积公式．....【分析】观察图形得出留下部分的面积等于扇形 ADE减去扇形 ABC的面积，然后根据扇形面积 的公式得出结果．【解答】解：S =S ﹣S = ×7 ×2 ﹣ ×3 × 2 =5π．留下 ADEABC故答案为：5π．15．在等腰直角三角形 ABC中，已知 AB=AC=1，E，F 分别是边 AB，AC上的点，且 =m ，=n ，其中 m，n∈（0，1）且 m+2n=1，若 EF，BC的中点分别为 M，N，则| |的最小值是．【考点】向量的模． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．由 =m ， =n ，其中 m，n∈（0，1），可得 =（m，0）， =（0，n）．利用 =，=．可得==．再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B（1，0），C（0，1）． ∵ =m ， =n ，其中 m，n∈（0，1）， ∴ =m（1，0）=（m，0）， =（0，n）．∴==．==．∴==．又 m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈．..∴=..==取等号．故答案为： ．≥ ，当且仅当 n= ，m= 时16．已知定义域为 R 的奇函数 f（x）满足：当 x＞0 时，f（x）=lnx，则函数 g（x）=f（x） ﹣sin4x 的零点的个数为 7 ． 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】将函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数转化为 f（x）的图象与 sin4x 的图象的 交点个数，由数形结合可以得知答案．【解答】解：函数 f（x）=sin4x 是奇函数，且它的周期为 = ，∵g（x）=f（x）﹣sin4x=0， ∴函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为 相当于 f（x）=sin4x 的零点个数， 即 f（x）与 sin4x 的交点个数， ∴画出二者图象，由数形结合， 可知，在（﹣∞，0）有 3 个交点，0 处有一个交点，（0，+∞）有 3 个交点， 故共有 7 个交点． ∴函数 g（x）=f（x）﹣sin4x 的零点的个数为 7 个，....故答案为：7．三、解答题 17．已知向量 =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， =（4，1） （1）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 x，y 的值； （2）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠B 为直角，求 x，y 的值． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1）分别求出 ， ，根据向量相等，求出 x，y 的值即可；（2）根据△ ABC 为等腰 直角三角形，得到关于 x，y 的方程组，解出即可． 【解答】解：（1）∵ =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣x，﹣3﹣y）， ∴ =（1，5）， =（﹣1﹣x，﹣y），由 = ， 得 x=﹣2，y=﹣5； （2）∵ =（3，1）， =（﹣x﹣1，﹣y）， ∵∠B 为直角，则 ⊥ ， ∴3（﹣x﹣1）﹣y=0， 又| |=| |，∴（x+1）2+y =10，再由 y=3（﹣x﹣1），2....解得：或．18．某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3× 1.6=14． 【考点】线性回归方程． 【分析】（1）先求出年份代号 t 和人均纯收入 y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用 最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a 的值，写出线性回归方程； （2）由（1）知，b=0.5＞0，2009 年至 2015 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每 年增加 0.5 千元，求得 2019 年的年份代号 t=9 代入（1）的回归方程，得 y 的值． 【解答】解：（1）由所给数据计算得==4，==4.4，..（t﹣）=9+4+1+0+1+4+9=28，2i（t﹣）（y﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2 ii×0.9+3×1.6=14．，…4分= =0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，故预测该地区2019年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；﹣（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x﹣），从而得到f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[得f（x）在[0，]上的最大值和最小值．，]上的图象进一步求【解答】解：（1）由向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R，得f（x）=﹣==．∴函数f（x）的最小正周期T=（2）当x∈[0，]时，；，由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象可知当当即时f（x）取最大值1．即x=0时f（x）取最小值．函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米）如表所示：2D1.69 19.21.7325.11.7518.51.7923.31.8220.9体重指标以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x+（x+1）p+1=0的两个实根．2（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x+px+p+1，2则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角，所以，则．…（2）在△ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x+（p+1）x+1=x+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…22设f（x）=x+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；2又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．）＞Asin（）？【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令2kπ﹣≤ x+ ≤2kπ+ ，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．∴A= [3﹣（﹣3）]=3，=5π，∴T=10π= ∴ω= ，= ，∵当x=π时，y有最大值3，∴π+ϕ= ，∴ϕ= ，∴y=3sin（x+ ），（2）令2kπ﹣≤ x+ ≤2kπ+ 得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z ∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+πk∈Z}；（3）∵ω=，ϕ=，∴ω+ϕ=+∈（0，），ω+ϕ=+∈（0，），而y=sint在（0，）上是增函数∴∴+＞+，＞∴∴，解得：．∴m的取值范围是．。
河南省郑州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列命题中是真命题的是（ ）A. 第二象限的角比第一象限的角大B. 角α是第四象限角的充要条件是2k π- 2π＜α＜2k π（k ∈Z)C. 第一象限的角是锐角D.2.命题“若a//b ，b//c ，则a//c ”（ ）A. 当b ≠0时成立B.当c ≠0时成立C. 总成立D.当a ≠0时成立3.设向量a=(3,6)，b=(x,8)共线，则实数x 等于（ ）A.3B.16C.6D.44.若向量a=(1,1)，b ＝（1，-1），c=（-1，2）则c=（ ） A. 23a-21b B. -23a+21b C. -21a+23b D. 21a-23b5.下列函数中，周期为2π的是（ ） A.y=sin 2x B.y=|sin 2x| C.y=cos2x D.y=|sin2x|6.若|a|=2sin15。
，|b|=4cos15。
，a 与b 的夹角为30。
，则a ·b 的值为（ ） A 21 B.23 C.3 D 237.函数y=sin 2x+sinx-2的值域为（ ）A. B. C. D.8.已知角α的终边过点（m,9）,且tan α=34，则sin α的值为（ ） A.54B.-54C.53D.-539.把曲线ycosx+2y-1=0,先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.-(y+1)sinx+2y+1=0B.(y+1)sinx+2y+1=0C.(y-1)sinx+2y-3=0D.(1-y)sinx+2y-3=010.已知=(-2,1)，=(0,2)，且//,⊥,则点C 的坐标是（ ）A.（2,6）B.（-2，-6）C.（2，-6）D.（-2,6）11.a,b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则（ ）A.a=bB.a,b 是共线向量且方向相反C.a//b,且a 与b 方向相同D.a,b 无论什么关系均可12.若0<α<2π，-2π＜β＜0，cos （4π＋α﹚=31，cos （4π-2β﹚=33，则cos （α+2β﹚=（ ） A. 96- B. 935 C. 33- D. 33 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知sin α=53，α∈（2π，π），tan （π-β）=21，tan （α-2β）= 14.函数y=cos(sinx)的最小正周期为 15.已知|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为60。
河南省南阳市乡中学2018-2019学年高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0参考答案：A【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．2. 设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．3. 已知函数，则的最大值是[Z,X,X,K]A．B．C．－1 D．1参考答案：B当时，，当时，，而，所以，选B4. 球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（）A. B. C.D.参考答案：D5. 已知在上是的减函数，则的取值范围是（）A． B． C．D．B6. 设直线：与：，且.(1)求，之间的距离；(2)求关于对称的直线方程.参考答案：（1）（2）【分析】（1）先求出的值，再利用平行直线间的距离公式可求，之间的距离.（1）设所求直线的方程为，利用它与的距离为可得的值.【详解】由直线的方程可以得到，由，得，，：，：，，之间的距离；（2）因为,不妨设关于对称的直线方程为：，由（1）可知到的距离等于它到的距离，取上一点，，故或（舍）的直线方程为.【点睛】本题考查含参数的两直线的平行关系及平行直线间的距离的计算，属于容易题.7. 在△ABC中,角C为90°,=(k,1).=(2,3),则k的值为( )A. 5B. -5C.D. -A：∵.则故选A．8. （5分）已知A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是（）A． 3 B． 4 C． 5 D．6参考答案：A考点：映射．专题：简易逻辑．分析：A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，1和8的原象分别是3和10，可以根据象与原像的关系满足f（x）=ax+b，列出不等式求出a，b的值，进而得到答案．解答：A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，又1和8的原象分别是3和10，∴，解得：，即f：x→y=x﹣25在f下的象可得f（5）=1×5﹣2=3，故选A；点评：此题主要考查映射的定义及其应用，注意象与原象的对应关系，此题是一道基础题；9. 已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（）A． B. 2 C. D. 4参考答案：解析：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。
河南省南阳市西峡第一高级中学2018-2019学年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设、、是单位向量，且，则的最小值为A．－2 B.－2C．1－ D.－1参考答案：C2. sin390°的值为（）A. B. C. - D. -参考答案：A3. 若圆：关于直线对称，则的最小值是（）A. 2B.C.D.参考答案：A略4. 复数在复平面内对应的点位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限参考答案：C5. 已知集合M={1,2,4,8}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A．{2,4} B．{2,4,8} C．{1,6} D．{1,2,4,6,8}参考答案：B由，，得故选B.6. 函数f ( x ) = () x +() x，0 < α，β <，若x > 0时，f ( x ) < 2，则（）（A）0 < α + β <（B）0 < α + β <（C）< α + β <（D）α + β >参考答案：D7. 规定，则函数的值域为（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16参考答案：D【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．9. 计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×B=( )A 6EB 7C C 5FD B0参考答案：A10. 若关于的方程=0在上有解，则的取值范围是（）A． B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象为，则①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个长度单位可以得到图象．以上结论中正确的序号是____参考答案：①②③略12. ★；参考答案：13. 已知函数的图象如右图所示，则此函数的定义域是________，值域是_______．参考答案：，由图像可知；14. 已知函数f(x)＝为幂函数，则实数m的值为________．参考答案：－115. 在三棱柱中，各棱都相等，侧棱垂直底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是参考答案：由题意得，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，得平面，故为与平面所成角，设各棱长为1，则，所以。
2019-2020学年河南省南阳市下学期期中考试高一数学试题一、单选题1．下面的抽样适合用简单随机抽样的是 ( )A. 在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,用随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B. 某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,检验其质量是否合格C. 某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D. 用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验 【答案】D【解析】试题分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A 、B 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C 不是简单随机抽样，D 是简单随机抽样． 解：A 、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的； C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次； D 是简单随机抽样． 故选D ．点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意方向各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．2．一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶C. 恰有一次不中靶D. 至少有一次中靶 【答案】B【解析】互斥事件指的是两个事件的交集为空集。
事件A 、C 、D 都包括事件“恰有一次中靶”，事件B 不包括“恰有一次中靶”。
故选B 。
3．计算机执行右面的程序后,输出的结果是（ ）A. 4， 1B. 1， 3C. 0， 0D. 6， 0 【答案】A【解析】分析：根据题意，把1赋给A ，把3赋给B ，把A+B 赋给A ，A 最终的结果是新赋予的值；同理，程序最终将A-B 赋予给了B ，则B 的最终输出结果为新赋予的值，代入数值即可求得答案.详解：把1赋给变量A ，把3赋给变量B ， 把13+的值赋给A ，把43-的值赋给B ，然后输出A 、B ，此时4,1A B ==，故选A.点睛：该题考查的是有关程序运行输出结果的问题，在解题的过程中，解决该题的关键是对赋值语句的理解，当变量赋以新的值时，该变量就取新的值，以此类推即可求出所求. 4．从随机编号为的1500名参加某次沈阳市四校联考期末测试的学生中，用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为，则样本中最大的编号应该是( )A. 1466B. 1467C. 1468D. 1469 【答案】C 【解析】间距为，所以最大的编号应该是，选C.5．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A.310 B. 710 C. 35 D. 45 【答案】D【解析】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92， 则甲的平均成绩：(88+89+90+91+92)÷5=90 设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x则乙的平均成绩： ()1838387999088.455xx +++++=+，当x=9,甲的平均数<乙的平均数,即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110， 当x=8,甲的平均数=乙的平均数,即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为110，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为114110105--=，本题选择D 选项.6．为了考查两个变量和之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了次和次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为、，已知两人得的试验数据中，变量和的数据的平均值都相等，且分别都是、，那么下列说法正确的是（）A. 直线和一定有公共点B. 必有直线C. 直线和相交，但交点不一定是D. 和必定重合【答案】A【解析】分析：根据两组数据的变量和的数据的平均值都相等，且分别都是，可以知道两组数据的样本中心点相同，根据线性回归直线一定过样本中心点，得到两条直线都过一个点，从而求得结果.详解：根据回归直线都过样本中心点，即都过均值点，因为变量和的数据的平均值都相等，且分别是，所以有点既在直线上，又在直线上，所以直线和一定有公共点，故选A.点睛：该题是一道关于线性相关的统计类题目，明确数据的样本中心点的含义是解题的关键，再者应该清楚回归直线一定会过样本中心点.7．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，由是，，，的平均数，结合平均数的计算公式，可得，同理得出；结合上述，从而得到，将其代入求平均数的公式中，计算可得出答案.详解：因为是，，，的平均数，所以，同理，则有，故选A.点睛：该题主要考查平均数的相关计算，解题的关键在于掌握平均数的计算公式；在解题的过程中，寻找等量关系式就显得尤为重要.8．如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. 18B.8πC.14D.12【答案】C【解析】2144Sπππ-==，故选C。
2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．402．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定4．若sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，则sin（﹣α）cos（+α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（）A．1 B．4 C．2D．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．12．已知△ABC内一点O满足=，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】系统抽样方法．【分析】由题意知了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，1201除以40不是整数，先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，∵1201除以40不是整数，∴先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30．故选：C．2．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos1050°=cos（﹣3×360°+1050°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：A．3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出，，由此能示出结果．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，=（81+85+85+84+85）=84，=（84+84+86+84+87）=85．∴＜．故选：B ．4．若sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=，则sin （﹣α）cos （+α）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求得sin α+cos α=，平方可得sin α cos α 的值，再利用诱导公式化简要求的式子为sin α cos α，从而得出结论．【解答】解：∵sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=sin α+cos α=，∴平方可得sin α cos α=﹣，则sin （﹣α）cos （+α）=﹣cos α•（﹣sin α）=sin α cos α=﹣，故选：B ．5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（ ）A ．1B ．4C ．2D ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据，是单位向量得出||=||=1，再根据|3﹣2|=求出•的值，从而求出|3+|的值．【解答】解：∵，是单位向量，∴||=||=1，又|3﹣2|=，∴9﹣12•+4=7，即9﹣12•+4=7，∴•=；∴=9+6•+=9+6×+1=13，∴|3+|=． 故选：D ．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，共有C53=10种方法，其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有3种方法，故甲、乙同时被录用的概率为，故选：A．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当k=﹣1时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为180°，但不是钝角，所以（2）错误．（3）因为，所以向量共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误．（4）当方向相同时，在上的投影为．当方向相反时，在上的投影为﹣．所以（4）错误．故正确是（1）．故选A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得A=1，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，可得y=sin2x的图象；然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：D．9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，由于：S=cos cos cos cos=×（cos cos cos cos）=×（cos cos cos）=×（cos cos）=×cos==．故选：C．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=，C=，从而得到△ABC形状一定是直角三角形．【解答】解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，即cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB=0．∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB=0，即﹣cosBcosA+sinBsinA=0．即﹣cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．∴A +B=，∴C=，故△ABC 形状一定是直角三角形．故选 C ．11．已知函数f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+2019π）成立，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f （x ）=sin （2ωx +）+，再根据2019π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f （x 0）是函数f （x ）的最小值，f （x 0+2019π）是函数f （x ）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）=sin2ωx +=sin （2ωx +）+，故2019π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D ．12．已知△ABC 内一点O 满足=，若△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S △AOC ：S △ABC =的比值．由=，变形为，3=，得到O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以，为邻边作平行四边形OBDC ，则+=∵=，∴3=，作AB 的两个三等分点E ，F ，则==，∴O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，如图∴S △AOC =S △ABC ．故△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为， 故选：C ．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为52．【考点】频率分布直方图．【分析】先求出用电量落在区间[150，250）内频率，由此能求出用电量落在区间[150，250）内的户数．【解答】解：由用电量落在区间[150，250）内频率为：1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52，∴用电量落在区间[150，250）内的户数为：100×0.52=52．故答案为：52．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为5π．【考点】扇形面积公式．【分析】观察图形得出留下部分的面积等于扇形ADE减去扇形ABC的面积，然后根据扇形面积的公式得出结果．=S ADE﹣S ABC=×72×﹣×32×=5π．【解答】解：S留下故答案为：5π．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．【考点】向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由=m，=n，其中m，n∈（0，1），可得=（m，0），=（0，n）．利用=，=．可得==．再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（1，0），C（0，1）．∵=m，=n，其中m，n∈（0，1），∴=m（1，0）=（m，0），=（0，n）．∴==．==．∴==．又m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈．∴===≥，当且仅当n=，m=时取等号．故答案为：．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】将函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数转化为f（x）的图象与sin4x的图象的交点个数，由数形结合可以得知答案．【解答】解：函数f（x）=sin4x是奇函数，且它的周期为=，∵g（x）=f（x）﹣sin4x=0，∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为相当于f（x）=sin4x的零点个数，即f（x）与sin4x的交点个数，∴画出二者图象，由数形结合，可知，在（﹣∞，0）有3个交点，0处有一个交点，（0，+∞）有3个交点，故共有7个交点．∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7个，故答案为：7．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）分别求出，，根据向量相等，求出x，y的值即可；（2）根据△ABC为等腰直角三角形，得到关于x，y的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），∴=（1，5），=（﹣1﹣x，﹣y），由=，得x=﹣2，y=﹣5；（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），∵∠B为直角，则⊥，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又||=||，∴（x+1）2+y2=10，再由y=3（﹣x﹣1），解得：或．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先求出年份代号t和人均纯收入y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；（2）由（1）知，b=0.5＞0，2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，求得2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y的值．【解答】解：（1）由所给数据计算得==4，==4.4，（t i﹣）2=9+4+1+0+1+4+9=28，（t i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．，…4分==0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，故预测该地区2019年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x﹣），从而得到f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象进一步求得f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R，得f（x）=﹣==．∴函数f（x）的最小正周期T=；（2）当x∈[0，]时，，由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象可知当即时f（x）取最大值1．当即x=0时f（x）取最小值．函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角，所以，则．…（2）在△ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…设f（x）=x2+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．∴A= [3﹣（﹣3）]=3，=5π，∴T=10π=，∴ω==，∵当x=π时，y有最大值3，∴π+ϕ=，∴ϕ=，∴y=3sin（x+），（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+πk∈Z}；（3）∵ω=，ϕ=，∴ω+ϕ=+∈（0，），ω+ϕ=+∈（0，），而y=sint在（0，）上是增函数∴+＞+，∴＞∴，∴解得：．∴m的取值范围是．2019年8月3日。
河南省郑州市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试卷一、选择题1．下列命题中是真命题的是（）A．第二象限的角比第一象限的角大B．角α是第四象限角的充要条件是2kπ﹣＜α＜2kπ（k∈Z）C．第一象限的角是锐角D．三角形的内角是第一象限角或第二象限角2．命题“若∥，∥，则∥”（）A．当≠0时成立B．当≠0时成立C．总成立D．当≠0时成立3．设向量=（3，6），=（x，8）共线，则实数x等于（）A．3 B．16 C．6 D．44．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则c=（）A．﹣B．﹣+C．﹣+D．﹣5．下列函数中，周期为2π的是（）A．y=sin B．y=|sin| C．y=cos2x D．y=|sin2x|6．若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．7．函数y=sin2x+sinx﹣2的值域为（）A． B． C． D．8．已知角α的终边过点（m，9），且tanα=，则sinα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣9．把曲线ycosx+2y﹣1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1﹣y）sinx+2y﹣3=0 B．（y﹣1）sinx+2y﹣3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．﹣（y+1）sinx+2y+1=010．已知=（﹣2，1），=（0，2），且∥，⊥，则点C的坐标是（）A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）11．，为非零向量，且|+|=||+||，则（）A． =B．，是共线向量且方向相反C．∥，且与方向相同D．，无论什么关系均可12．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题13．已知sinα=，α∈（，π），tan（π﹣β）=，则tan（α﹣2β）= ．14．函数y=cos（sinx）是函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”），最小正周期为．值域为．15．已知||=2，||=1，与的夹角为60°，又=m+3， =2﹣m，且⊥，则实数m的值为．16．已知A（2，3），B（1，4）且，则α+β=．三、简答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=﹣3，求下列各式的值（1）（2）．18．（12分）已知=（4，3），=（﹣1，2）（1）求与的角的余弦；（2）若（﹣λ）⊥（2+），求λ；（3）若（﹣λ）∥（2+），求λ．19．（12分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+（其中x∈R），求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调区间；（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．20．（12分）已知函数f（x）=2asin（2x+）+a+b的定义域是，值域是，求a、b的值．21．（12分）已知平面向量=（，﹣1），=（，）．若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥（1）试求函数关系式k=f（t）；（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．22．（12分）已知向量=（3sinα，cosα），=（2sinα，5sinα﹣4cosα），α∈，且．（1）求tanα的值；（2）求cos的值．河南省郑州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷参考答案与一、选择题1．下列命题中是真命题的是（）A．第二象限的角比第一象限的角大B．角α是第四象限角的充要条件是2kπ﹣＜α＜2kπ（k∈Z）C．第一象限的角是锐角D．三角形的内角是第一象限角或第二象限角【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用角的大小以及服务判断选项即可．【解答】解：对于A，第二象限的角比第一象限的角大，例如95°是第二象限角，365°是第一象限角，所以A不正确；对于B，角α是第四象限角的充要条件是2kπ﹣＜α＜2kπ（k∈Z）正确；对于C，第一象限的角是锐角，显然不正确，例如365°是第一象限角，但是不是锐角．对于D，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，例如90°是三角形内角，但不是第一或第二象限角，故选：B．【点评】本题考查角的大小与服务象限角的判断，命题的真假的判断，是基础题．2．命题“若∥，∥，则∥”（）A．当≠0时成立B．当≠0时成立C．总成立D．当≠0时成立【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：若∥，∥，则当≠0时∥成立．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设向量=（3，6），=（x，8）共线，则实数x等于（）A．3 B．16 C．6 D．4【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（3，6），=（x，8）共线，∴，解得x=4．∴实数x等于4．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量共线的性质的合理运用．4．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则c=（）A．﹣B．﹣+C．﹣+D．﹣【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设，列方程组解出λ，μ即可．【解答】解：设，则，解得，故选D．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．5．下列函数中，周期为2π的是（）A．y=sin B．y=|sin| C．y=cos2x D．y=|sin2x|【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为•，得出结论．【解答】解：由于函数y=sin的最小正周期为=4π，故排除A；根据函数y=|sin|的最小正周期为=2π，故B中的函数满足条件；由于y=cos2x的最小正周期为=π，故排除C；由于y=|sin2x|的最小正周期为•=，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为•，属于基础题．6．若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式化简，得•=2sin60°，再根据特殊角的三角函数值，得到本题答案．【解答】解：根据向量数量积的定义，得•=||•||cosθ，其中θ为与的夹角∵||=2sin15°，||=4cos15°，θ为30°，∴•=2sin15°•4cos15°•cos30°=4（2sin15°cos15°）cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=故选B【点评】本题以向量数量积的计算为载体，着重考查了二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值和平面向量数量积公式等知识，属于基础题．7．函数y=sin2x+sinx﹣2的值域为（）A． B． C． D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】利用换元法，通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：令t=sinx∈，则函数y=sin2x+sinx﹣2化为：y=t2+t﹣2=（t+）2﹣，当t=时，函数取得最小值：﹣，当t=1时，函数取得最大值：0．函数y=sin2x+sinx﹣2的值域为：．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，复合函数的应用，考查计算能力．8．已知角α的终边过点（m，9），且tanα=，则sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（m，9），即x=m，y=9，∴r=，∵tanα==，∴m=12．则r=15．∴sinα===．故选：C．【点评】本题考查了任意三角形的函数的定义，属于基本知识的考查．9．把曲线ycosx+2y﹣1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1﹣y）sinx+2y﹣3=0 B．（y﹣1）sinx+2y﹣3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．﹣（y+1）sinx+2y+1=0【考点】35：函数的图象与图象变化；KE：曲线与方程．【分析】先把曲线ycosx+2y﹣1=0变形为：y=f（x）．再根据平移规律，若f（x）向右平移h，向上平移k，则得到答案．【解答】解：把曲线ycosx+2y﹣1=0变形为：；此函数沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，解析式即为：；对此解析式化简为：（y+1）sinx+2y+1=0．故选C．【点评】若f（x）向右平移h，向上平移k，则得到新解析式为：y=f（x﹣h）+k；10．已知=（﹣2，1），=（0，2），且∥，⊥，则点C的坐标是（）A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：设C（x，y），=（x+2，y﹣1），=（x，y﹣2），=（2，1）．∵∥，⊥，∴，解得x=﹣2，y=6．则点C的坐标是（﹣2，6）．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．，为非零向量，且|+|=||+||，则（）A． =B．，是共线向量且方向相反C．∥，且与方向相同D．，无论什么关系均可【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】由已知条件推导出，从而得到∥，且与方向相同．【解答】解：∵，为非零向量，且|+|=||+||，∴|+|2=（||+||）2，∴=，∴，∴∥，且与方向相同．故选：C．【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用．12．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos，巧妙利用两角和公式进行求解．二、填空题13．已知sinα=，α∈（，π），tan（π﹣β）=，则tan（α﹣2β）= ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由sinα的值和α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值及tanα的值，利用诱导公式化简tan（π﹣β）=得到tanβ的值，然后利用二倍角的正切函数公式求出tan2β的值，把所求的式子利用两角差的正切函数公式化简后，将tanα和tan2β的值代入即可求出值．【解答】解：由sinα=，且α∈（，π），得到cosα=﹣=﹣，所以tanα=﹣；由tan（π﹣β）=﹣tanβ=，得到tanβ=﹣，所以tan2β==﹣．则tan（α﹣2β）===故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、两角差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．14．函数y=cos（sinx）是偶函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”），最小正周期为π．值域为．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；3K：函数奇偶性的判断．【分析】根据偶函数的定义即可证明，根据周期的定义即可求出，根据函数的单调性即可求出值域．【解答】解：f（﹣x）=cos（sin（﹣x））=cos（﹣sinx）=cos（sinx）=f（x），又﹣1≤sinx≤1，∴f（x）为偶函数，当x∈时，﹣1≤sinx≤1，∴最小正周期为π，∵cos（sin（x+π））=cos（﹣sinx）=cos（sinx），显然π是一个周期，若该函数还有一个周期T＜π，则1=cos（sin0）=cos（sinT），即sinT=2kπ∈，即k只能为0，于是sinT=0，但0＜T＜π，矛盾！∴最小正周期为π，∵﹣1≤sinx≤1，cos（sinx）是偶函数，区间单调递减∴cos（1）≤cos（sinx）≤cos（0）∴值域为，故答案为：偶，π，．【点评】本题考查了复合函数的奇偶性，三角函数的周期性质，和值域，属于中档题．15．已知||=2，||=1，与的夹角为60°，又=m+3， =2﹣m，且⊥，则实数m的值为﹣1或6 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题设条件⊥，可得•=0，将=m+3， =2﹣m，代入，展开，再将||=2，||=1，与的夹角为60°，代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值【解答】解：由题意⊥，可得•=0，又=m+3， =2﹣m，∴2m﹣3m+（6﹣m2）=0，又||=2，||=1，与的夹角为60°，∴5m+6﹣m2=0∴m=﹣1或m=6．故答案为：﹣1或6．【点评】本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量垂直的条件，数量积的运算性质，数量积公式，本题属于向量的基本运算题，难度中等．16．已知A（2，3），B（1，4）且，则α+β=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意可得=（﹣，），再根据=（sinα，cosβ），α、β∈（﹣，0），求得α和β的值，可得α+β的值．【解答】解：A（2，3），B（1，4）且=•（﹣1，1）=（﹣，），又，∴sinα=﹣，cosβ=，∴α=﹣，β=，则α+β=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，根据三角函数的值求角，属于基础题．三、简答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•商水县校级期中）已知tanα=﹣3，求下列各式的值（1）（2）．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）（2）根据“弦化切”的思想，化简后tanα=﹣3代入求值即可．【解答】解：∵tanα=﹣3，（1）=分子分母同除以cos2α：∴=．（2）（分子分母同除以cosα），∴=．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和“弦化切”的思想的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）（2017春•商水县校级期中）已知=（4，3），=（﹣1，2）（1）求与的角的余弦；（2）若（﹣λ）⊥（2+），求λ；（3）若（﹣λ）∥（2+），求λ．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；96：平行向量与共线向量；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）由向量、，求出它们所成的角的余弦值；（2）求出向量﹣λ，2+的坐标表示，由（﹣λ）⊥（2+），得（﹣λ）•（2+）=0，求出λ的值；（3）由（﹣λ）∥（2+），得8（4+λ）﹣7（3﹣2λ）=0，求出λ的值．【解答】解：（1）∵=（4，3），=（﹣1，2），∴与所成的角的余弦为cosθ===；（2）∵﹣λ=（4+λ，3﹣2λ），2+=（7，8），且（﹣λ）⊥（2+），∴（﹣λ）•（2+）=7（4+λ）+8（3﹣2λ）=0，解得λ=；（3）∵（﹣λ）∥（2+），∴8（4+λ）﹣7（3﹣2λ）=0，解得λ=﹣．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，利用平面向量求夹角，判定平行与垂直，是常见的问题，是基础题．19．（12分）（2017春•商水县校级期中）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+（其中x ∈R），求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调区间；（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．【考点】H6：正弦函数的对称性；H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x﹣），故此函数的周期为 T==π．（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为减区间．（3）由2x﹣=kπ+，k∈z 求得对称轴方程：x=+，由 2x﹣=kπ，k ∈z 求得对称中心（，0）．【解答】解：（1）函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+=﹣+=5（sin2x﹣）=5sin（2x﹣），故此函数的周期为T==π．（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故增区间为：，其中k∈Z，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，故减区间：，其中k∈Z．（3）由2x﹣=kπ+，k∈Z，可得x=+，故对称轴方程：x=+．由2x﹣=kπ，k∈Z可得x=，故函数图象的对称中心为：（，0），其中，k∈Z．【点评】本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为5sin（2x﹣）是解题的突破口，属于中档题．20．（12分）（2017春•商水县校级期中）已知函数f（x）=2asin（2x+）+a+b的定义域是，值域是，求a、b的值．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据函数的定义域，可得﹣≤sin（2x+）≤1．因此分a的正负讨论，结合函数的值域建立关于a、b的不等式组，解之即可得到a、b的值，最后综上所述可得答案．【解答】解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1．①当a＞0时，2asin（2x+）∈，得2asin（2x+）+a+b∈∴，解之得a=2，b=﹣5；②当a＜0时，2asin（2x+）∈，得2asin（2x+）+a+b∈∴，解之得a=﹣2，b=1综上所述，可得a=2，b=﹣5或a=﹣2，b=1．【点评】本题给出三角函数在给出区间上的值域，求参数a、b的值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．21．（12分）（2017春•商水县校级期中）已知平面向量=（，﹣1），=（，）．若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥（1）试求函数关系式k=f（t）；（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）由题意可得，即[+（t2﹣3）•]•（﹣k+t）=0．再由，可得﹣4k+t（t2﹣3）=0，化简可得函数关系式k=f（t）．（2）由f（t）＞0，得，即，由此解得t的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，即[+（t2﹣3）•]•（﹣k+t）=0．∵，∴﹣4k+t（t2﹣3）=0，即．（2）由f（t）＞0，得，即，解得﹣＜t＜0 或 t＞．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，高次不等式的解法，属于基础题．22．（12分）（2008•南通模拟）已知向量=（3sinα，cosα），=（2sinα，5sinα﹣4cosα），α∈，且．（1）求tanα的值；（2）求cos的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；9Q：数量积的坐标表达式；GK：弦切互化．【分析】（ 1）通过向量关系，求=0，化简后，求出tanα=﹣．（2）根据α的范围，求出的范围，确定的正弦、余弦的值，利用两角和的余弦公式求出cos的值．【解答】解：（1）∵，∴ =0．而=（3sinα，cosα），=（2sinα，5sinα﹣4cosα），故=6sin2α+5sinαcosα﹣4cos2α=0．由于cosα≠0，∴6tan2α+5tanα﹣4=0．解之，得tanα=﹣，或tanα=．∵α∈（），tanα＜0，故tanα=（舍去）．∴tanα=﹣．（2）∵，∴由tanα=﹣，求得tan=﹣或tan=2（舍去）∴sin，coscos（）=cos cos﹣sin sin==﹣【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，数量积的坐标表达式，弦切互化，考查计算能力，是基础题．。
河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，已知60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围A． B． C． D．参考答案：C略2. 若α、β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0B．－π<2α－β<πC．－<2α－β<D．0<2α－β<π参考答案：C解析：选C.由－<α<β<，得－π<α－β<0，又－<α<，所以－π<α＋(α－β)<，即－π<2α－β<.3. 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）等于不大于恒为正值恒为负值参考答案：C4. 已知等差数列中,则的值是（）A．21 B．22 C．23D. 24参考答案：C略5. （4分）要得到的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果．解答：将函数y=sin2x向右平移个单位，即可得到的图象，就是的图象；故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x 的系数．6. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于（）A．20πB．10πC．5πD．5π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图底面三角形ABC的外心是O′，O′A=O′B=O′C=r，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC==2，由正弦定理可得△ABC外接圆半径r==2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R=，故此球的表面积为4πR2=20π故选A．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法．7. 的值为（）A . B. C. D.参考答案：A略8. 将函数（）的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移个单位，可以得到一个奇函数的图像，则的值为( )A． B． C．D．参考答案：A9. 函数上的最大值和最小值之差为,则值为（）A．2或B．2或4 C．或4 D．2参考答案：A10. 函数是奇函数，则等于（）A．B． C. D．参考答案：D根据题意，若函数为奇函数，则有即故故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标，则以下结论中：①abc＞0；②a＋b＋c＜0；③a＋c＜b；④3b＞2c；⑤3a＋c＞0。
2019-2020学年南阳市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()．A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高()174176176176178儿子身高()175175176177177则对的线性回归方程为()A. B. C. D.3.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()．A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：甲乙丙丁平均成绩x89898685方差S2 2.13.52.15.6从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.小明同学根据右表记录的产量(吨)与能耗(吨标准煤)对应的四组数据，用最小二乘法求出了关于的线性回归方程，据此模型预报产量为7万吨时能耗为()A. B. C. D.6.在以点O为圆心，1为半径的半圆弧上任取一点B，如图，则△AOB的面积大于<“m“：matℎxmlns：dsi=′ℎttp:///uri/2003/MatℎML′dsi：zoomscale=′150′dsi：_matℎzoomed=′1′style=′CURSOR：pointer；DISPLAY：inline−block′>1414的概率为()A. 13B. 23C. 12D. 347.运行如图所示的程序框图，如果在区间[0,e]内任意输入一个x的值，则输出的f(x)值不小于常数e的概率是()A. 1eB. 1−1eC. 1+1eD. 1e+18.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为()A. 7B. 8C. 9D. 109.当输入的值为，的值为时，右边的程序运行的结果是()A. −2B. −1C. 1D. 210.某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1～10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从111～120中应抽取的号码是()A. 114B. 113C. 112D. 11111.来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为()A. 36125B. 44125C. 54125D. 9812512.某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)=()A. 17B. 1556C. 27D. 57二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={1,3，5，7}，则A∩B=______．14.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)获得身高数据的茎叶图如图甲，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1、A2、A3、A4.图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是______ 班；图乙输出的S=______ .(用数字作答)15.样本数据101，102，98，100，99，100的标准差为______ ．16.根据如图所示的算法流程图，则输出的结果i为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①y=C1x2+C2与模型；②y=e C3x+C4作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．其中t i=x i2，t=17∑t i7i=1，z i=lny i，z=17∑z i7i=1，附：对于一组数据(μ1,ν1)，(μ2,ν2)，…(μn,νn)，其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=ni=1i−μ)(νi−ν)∑(nμ−μ)2α=ν−βμ(1)根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数．(C1,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02)(2)若模型①、②的相关指数计算分别为R12=0.82,R22=0.96.，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．18.某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110,118]内(单位：mm).若生产一件产品A的直径位于区间[110,112)，[112,114)，[114,116)，[116,118]内该厂可获利分别为10，20，30，10(单位：元).现从该厂生产的产品A中随机抽取100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；(2)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率．19.某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．20.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不是8环的概率。
