高一数学竞赛选拔赛试题
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高一数学竞赛选拔赛试题
一、选择题
1.化简
2
3
215215⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---得 ( ) A
215- B 2
1
5+ C 5 D 35 2.已知集合{
}{
}
2
2
1,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>,则下列正确的是( ) A .{}1,A
B y y => B.{}2A
B y y =>
C.{}
21A B y y ⋃=-<< D. {}
21A B y y y ⋃=<>-或 3.当01x <<时,()lg x
f x x
=
,则下列大小关系正确的是( ) A .22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<
4.设圆C 的方程为22
2220x y x y +---=,直线l 的方程为(1)10m x my +--= (m R ∈),圆C 被直线l 截得的弦长等于 ( )
(A) 4
(B) 2 (D) 与m 有关 5.函数2
2()sin ()sin ()44
f x x x π
π
=+
--是 ( ) (A) 周期为π的偶函数 (B) 周期为π的奇函数
(C) 周期为2π的偶函数 (D) 周期为2π的奇函数 6.设函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞,()0f x ≥的解集为M ,()0f x <的解集
为N ,则下列结论正确的是()
(A) R M C N = (B) R R C M C N =∅
(C) M
N R = (D) R R C M
C N R =
7.已知,,a b c 为三条不同的直线,且a ⊂平面M ,b ⊂平面N ,M N c =.
(1) 若a 与b 是异面直线,则c 至少与a 、b 中的一条相交; (2) 若a 不垂直于c ,则a 与b 一定不垂直; (3) 若a ∥b ,则必有a ∥c ;
(4) 若a b ⊥,a c ⊥,则必有M N ⊥. 其中正确的命题的个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
8.函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对于任意的(0,1]x ∈恒有意义,则实数a 的取值范围是 ( )
(A) 0a >且1a ≠ (B) 1
2
a ≥且1a ≠ (C) 1
2
a >
且1a ≠ (D) 1a >
二、填空题 9.已知5
21-=
x ,则=+-+1532
3x x x 。
10.已知A 、B 是半径为5的圆O 上的两个定点,P 是圆O 上的一个动点,若AB=6,设PA+PB 的最大值为s ,最小值为t ,则t s +的值为 。
11.已知全集U={}R y R x y x ∈∈,),(,集合M={}
2),(=+y x y x ,集合N=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=--111
)
,(x y y x ,则集合)(
N M C
U
⋂= 。
12.高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池,其中甲组同学平均每人收
集17个,已组同学平均每人收集20个,丙组同学平均每人收集21个。若这三个小组共收集了233个废旧电池,则这三个小组共有 个学生。
13.代数式9)12(42
2+-++x x 的最小值为 。
14.设5cm cm cm 34⨯⨯长方体的一个表面展开图的周长为pcm ,则p 的最小值
是 。
15.定义在R 上的函数()f x 满足:11()()222f x f x ++-=,则127
()()()888
f f f ++
+=
16.已知函数2
2
cos 30
()0
x x x f x e
x π-⎧-<<=⎨>⎩,若(2)()2f f a +=,则实数a 组成的集合的元
素个数为 .
17.已知关于x 的方程222(2)0x px q +--=(,p q R ∈)无实根,则p q +的取值范围是 .
18.关于x 的不等式221x x a ++->的解集为A ,集合{}
13B x x =-≤≤,若A B ≠∅,
则实数a 的取值范围是 . 三.解答题
20. 圆O 的方程是2
2
2
(0)x y r r +=>,点P 是圆O 上一个动点,点Q 是P 关于点(0,2)A -的对称点,点P 绕圆心O 按逆时针方向旋转2
π
后所得的点为R ,求当点P 在圆O 上移动时,点Q 、R 之间距离的最大值和最小值.
21.设函数()f x 的定义域是(0,)+∞,且对任意y R ∈都有()()y f x yf x =. 若对常数(0,1)m ∈,()0f m <,判断()f x 在(0,)+∞上的单调性;
22.已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件:
[1] 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; [2] (1)1f =;
[3] 若10x ≥,20x ≥,且121x x +≤,则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立, 并且称()f x 为“友谊函数”,请解答下列各题: (1)若已知()f x 为“友谊函数”,求(0)f 的值;