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证明不等式几种常见方法

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本科毕业论文（设计） 题 目： 证明不等式的几种常用方法 _ __ 学 生： 王云 学号： 200940510438 学 院： 数学与计算科学学院 __ 专 业： 数学与应用数学 入学时间： 2009 年 9 月 15 日 指导教师： 黄瑞老师 职称： 讲师 完成日期： 2013 年 3 月 9 日 证明不等式的几种常用方法 摘 要: 本文首先对不等式的证明进行了总结，证明不等式的常用方法有比较法，反证法，放缩法，数学归纳法等等，并且比较了这些方法中的优点和缺点，对不同的题更适合采用哪种方法也进行了详细的解说。其次针对不同的方法都举出了相应的例题，用来加强对方法的理解。最后强调了这些方法在高考中的应用。 关键词：证明;不等式；方法

On the Common Use Method of Proofing Inequality Abstract : This paper prove the inequality proof methods are summarized, inequality has comparative method, reduction to absurdity, scaling, mathematical induction and so on, and these methods are compared and the advantages and disadvantages of the different questions, more suitable to adopt what kind of method is given a detailed explanation. Secondly, different methods are corresponding examples was put forward, to strengthen the methods of understanding. Finally emphasized the application of these methods in the national college entrance examination. Key words: proof;inequality;method 目 录 引言················································4 1比较法·············································4 1.1作差法···········································4 1.2作商法···········································5 2综合法与分析法·····································5 3反证法·············································6 4重要不等式公式法···································7 5放缩法·············································8 6数学归纳法·········································9 7巧妙运用“1”证明不等式····························11 8结束语·············································11 9参考文献···········································13 10致谢··············································14 引言： 在高中数学中，证明不等式的方法是多种多样的，不同的方法具有不同的特点，并且在一个题目中，可能不止使用一种方法，往往需要两种或者更多种方法才能证明出来，或者针对相同的题目，证明的方法也可能不止一种，这就需要我们比较这些方法，采用最合适，最简便的方法来证明不等式。并且不等式的证明不仅仅可以单独的作为一个考点来考，还经常应用在数列，函数的题目中。这就要求我们能够灵活的应用各种证明方法，下面对不等式的证明做了一些归纳和总结。 1 比较法 1.1 作差法 作差法是证明不等式成立的一种最基本最普遍的一种方法。它主要是将不等式的左右两边相减后得到的差再与0进行相比比较，主要依据是形如： 0baba 其中在验证0ba的过程中要对ba进行因式分解，这就要求我们对因式分解能够有较好的掌握。 作差法主要应用以下几种类型的题目中: (1)在不等号的两边含有相同的项，采用作差法能够消去的。 (2)将不等式的两边进行因式分解后有相同的项。 例1： 已知a，b为正实数，证明：baabba2233

证明：baabba2233=abbbaa22=babbaa22 =baba22 =bababa=baba2 又因为a，b是正实数，所以a+b>0，又因为任意实数的平方都大于或等 于0，所以02ba,所以02baba

故 baabba2233 例2：设m，n为不相同的正实数，且nm，证明：mnnmnmnm 证明： nmnmnmnnmnmmnnmnm 因为m，n为不相同的正实数，且nm，所以0nmnmnnmmn 所以 mnnmnmnm 1.2 作商法 作商法主要是将不等式左右两边的式子进行相除得到的商再与1进行比较，它的主要依据是形如：

10baba 其中在验证1ba的过程中要对a,b进行因式分解,分解后具有相同的项，这种方法应用的题目类型与作差法有相同之处。 例3： 已知a，b为正实数，证明：baabba2233 (同例1)

证明： abbababaabbabababaabba22222233 因为 abba222 所以 abbaba22

所以 122abbaba 即 12233baabba 所以 baabba2233 例4：设m，n为不相同的正实数，且nm，证明：mnnmnmnm (同例2)

证明：nmmnnmnmnmnm因为m，n是不同的正实数，且m>n，总可以保证1nmnm 成立，所以也可以保证1mnnmnmnm成立，故 mnnmnmnm

对比较法的总结，我们可以发现例1与例3，例2与例4是相同的题目，却采用的不同的方法，但是像例1与例3，我们发现使用作差法更简单，像例2与例4，我们发现使用作商法更合适。

2 综合法与分析法 在高中数学中，综合法是证明不等式的常用方法。我们可以根据已知条件，依据以前学习过的公理，定义，定理或运算法则等，通过演绎推理，证明不等式的成立。综合法主要的特点是由已知条件导出要证明的结果。 在学习高中数学中，分析法是证明不等式的主要方法。我们可以从要证明的结论出发，一步一步的寻求保证前一个结论成立的条件，直到归结为题目所给的条件，或归结为定理，定义，公理等。分析法的主要特点是根据不等式的结论找出结论成立的原因。 下面我们就通过两个例题来比较一下综合法与分析法的不同，以便我们更好地学习这两种方法。 例5：若 0ba， 证明： babababa2222

证明： 2222222bababababababa 0222222abbaabbababa

故： babababa2222 例6：已知a，b为正实数，证明：baabba2233 (同例1,例3) 证明： 要证明 2233abbaba 只需证明 baabbababa22 只需证明 022baabbababa 只需证明 0222bababa 只需证明 02baba 只需证明 0ba 且 02ba 由于，题目中告诉我们a，b为正实数，他保证了上式的成立， 这样，我们就证明了原不等式的成立。

上面两个例题分别采用了综合法和分析法，在例5中不仅仅采用了综合法，还应用了作差法，这体现了同一个题目要应用多种方法来证明的思想。例6采用了分析法，同例1,例3是相同的题，我们可以发现这个题目更适合采用例1的作差法来解决。例5和例6从根本上解释了综合法和分析法的不同之处。

3 反证法 在数学证明中，我们可以先假设不等式的反面成立，在这个前提下，若推出的结论和定义，公理，定理相矛盾，或与题目给的已知条件相矛盾，或与假设相矛盾时，从而得出不等式的反面不成立，由此判断原不等式成立。这种证明方法称作反证法。运用反证法证明不等式的一般步骤是： (1)作出假设； (2)进行推理，得出矛盾； (3)否定假设，得出结论。 反证法主要应用于从正面不容易或者从正面证明不出来的这一类型的题目，我们可以采用逆向思维，从他的反面来证明。

例7：设a，b，c是实数，证明：cbacacbba2222222

证明：假设cbacacbba2222222成立，

则：cbacacbba222222222 (1)

又因为 2222baba (2)

2222cbcb

(3)

2222caca

(4)

将(2)+(3)+(4)得：cbacacbba222222222这与(1)式 相矛盾，因此假设不成立，原不等式的成立。 4 重要不等式公式法

在高中数学中我们介绍过几个重要不等式： 当1a，2a，3ana, a, b 都为正数时；

(1)nnnaaanaaaa21321；

(2)baababbabababa2222222； 注意：当naaaa321时，(1)式中的等号成立； 当ba时，(2)式中的等号成立。

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求解数列不等式证明问题的方法

求解数列不等式证明问题的方法

解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。

利用导数证明不等式的四种常用方法

利用导数证明不等式的四种常用方法

利用导数证明不等式的四种常用方法杨玉新(绍兴文理学院 数学系, 浙江 绍兴 312000)摘 要: 通过举例阐述了用导数证明不等式的四种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用. 关键词: 导数; 单调性; 中值定理; 泰勒公式; Jensen 不等式在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利用泰勒公式, 中值定理,函数的性质, Jensen 不等式等四种方法证明不等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0)(x fn ,则有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≥或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(n n x x n x f x x x f x x x f x f x f -++-''+-'+≤例1 证明: ).11(,32)1ln(32<<-+-≤+x x x x x 证明 设)11)1ln()(<<-+=x x x f （ 则)(x f 在0=x 处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)11()1(432)1ln(4432<<-+-+-=+ξξ x x x x x0)1(444≤+-ξx 32)1ln(32x x x x +-≤+∴　由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x 在0x 处展开,然后判断余项)(x R n 的正负,从而证明不等式.二、利用中值定理证明不等式微分)(Lagrange中值定理: 若)(x f 满足以下条件:(1) )(x f 在闭区间],[b a 内连续 (2) )(x f 在开区间),(b a 上可导则 ab a f b f f b a --='∍∈∃)()()(),(ξξ 例2 若)()(1,011y x py y x y x py p x y p p p p -<-<-><<--则　分析 因为,0x y <<则原不等式等价于11--<--<p p p p px yx y x py)1(>p .令p t x f =)(,则我们容易联想到Lagrange 中值定理yx y f x f y x f --=-)()())(('ξ.证明 设p t t f =)(,显然],[)(x y t f 在满足Lagrange 中值定理的条件则 ,)()()(),(y x y f x f f x y --='∍∈∃ξξ 即yx y x p ppp ---＝1ξ111,),(---<<∴<<∴∈p p p px p py x y x y ξξξ )()(11y x py y x y x py p p p p -<-<-∴--　例3 设)(x f 在],[b a 上连续可导,且,0)()(==b f a f 则dx x f a b x f babx a ⎰-≥≤≤)()(4)(max 2'证明 设)(max 'x f M bx a ≤≤=则由中值公式,当),(b a x ∈时,有))(())(()()(11a x f a x f a f x f -'=-'+=ξξ ))(())(()()(22b x f b x f b f x f -'=-'+=ξξ其中).,(),,(21b x x a ∈∈ξξ由此可得)()()()(x b M x f a x M x f -≤-≤及所以4)()()()()()(22222a b M dx x b M dx a x M dxx f dx x f dx x f b a abb a bab a a bb a -=-+-≤+=⎰⎰⎰⎰⎰++++ 即⎰-≥badx x f a b M )()(42所以 dx x f a b x f babx a ⎰-≥'≤≤)()(4)(max 2积分第二中值定理]1[ 若在区间f ],[b a 上f 为非负的单调递减函数,而g 是可积函数,则存在],[b a ∈ξ,使得⎰⎰=ξabag a f fg )(例4 设⎰+=12sin )(x xdt t x f ,则0>x 时xx f 1)(<特别地:当2003=x 时机为2003年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类)证明 令u t =,则由积分第二中值定理xudu x udu ux f xx x 1sin 212sin )(2221≤=⎰⎰+ξ ＝又因为⎰⎰⎰+++-++-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=222222)1(2322)1(2322)1(cos 41)1cos()1(21cos 21cos 21)1(cos 1212sin )(x x x x x xu udu x x x x u udu x x u u udu ux f ＝ ＝于是,0>x 时xx x x x duu x x x f x x 1)111(21)1(212141)1(2121)(22)1(23=-+-+++++<⎰+- ＝由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明.三、利用函数的单调性证明不等式定理1 如果函数)(),(x g x f 满足以下条件:(1) )(),(x g x f 在闭区间],[b a 内连续(2) )(),(x g x f 在开区间),(b a 可导,且有)()(x g x f '>'(或)()(x g x f '<') (3) )()(a g a f =则 在),(b a 内有)()(x g x f >(或)()(x g x f <令)()()(x g x f x F -=由于0)(0)()()()(≤⇔≤-⇔≤x F x g x f x g x f 所以证明)()(x g x f ≤⇔证明0)(≤x F 则相应地有推论1 若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,c a f =)(且0)('>x f (或0)('<x f )则在),(b a 内有c x f >)((或c x f <)().例5 证明:当1>x 时,有).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x分析 只要把要证的不等式变形为)1ln()2ln(ln )1ln(++>+x x x x ,然后把x 相对固定看作常数,并选取辅助函数xx x f ln )1ln()(+=.则只要证明)(x f 在),0(+∞是单调减函数即可.证明 作辅助函数xx x f ln )1ln()(+=)1(>x 于是有xx x x x x x x x x x x x f 22ln )1()1ln()1(ln ln )1ln(1ln )(+++-=+-+=' 因为 ,11+<<x x 故)1ln(ln 0+<<x x 所以 )1ln()1(ln ++<x x x x因而在），（∞+1内恒有0)('<x f ,所以)(x f 在区间),1(+∞内严格递减.又因为x x +<<11,可知)1()(+>x f x f即)1ln()2ln(ln )1ln(++-+x x x x 所以 ).2ln(ln )1(ln 2+⋅>+x x x例6 证明不等式x x x x <+<-)1ln(22,其中0>x .分析 因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差)2()1ln(2x x x --+,则发现作差以后不容易化简.如果对)1ln(x +求导得x+11,这样就能对它进行比较. 证明 先证 )1ln(22x x x +<-设 )2()1l n ()(2x x x x f --+= )0(>x则 00)01l n ()0(=-+=f xx x x x f +=+-+=1111)(2'0>x 即 0012>>+x x 01)(2>+='∴x x x f ,即在),0(+∞上)(x f 单调递增0)0()(=>∴f x f 2)1ln(2x x x ->+∴　再证 x x <+)1ln(令 x x x g -+=)1l n ()( 则 0)0(=g 111)(-+='xx g 10<+∴>xx １１x x x g <+∴<'∴)1ln(0)( x x x x <+<-∴)1ln(22定理1将可导函数的不等式)()(x g x f <的证明转化为)()(x g x f '<'的证明，但当)(x f '与)(x g '的大小不容易判定时，则有推论2 设)(x f ，)(x g 在[b a ,]上n 阶可导， （1）)()()()(a g a f k k = 1,2,1,0-=n k （2）)()()()(x g x f n n > （或)()()()(x g x f n n <）则在（b a ,）内有)()(x g x f > （或)()(x g x f <）例7 证明:331x x tgx +>，)2,0(π∈x .分析 两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得.1)31(,sec )(232x x x x tgx +='+='仍然不易比较,则我们自然就能想到推论2.证明 设tgx x f =)( 331)(x x x g +=则 （1）0)0()0(==g f（2）1)0()0(),1()(),(sec )(22='='+='='g f x x g x x f （3）1)0()0(,2)(,cos sec 2)(2=''=''=''=''g f x x g xxx f（4）2)(),31)(1(2)(22='''++='''x g x tg x tg x f 显然有 )()(x g x f '''>'''由推论2得，231x x tgx+> （20π<<x ）.利用函数的单调性证明不等式我们都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的.四、利用Jensen(琴森)不等式证明不等式定义]1[ 如果),()(b a x f 在内存在二阶导数)("x f 则(1) 若对,.0)(),(>''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凸函数.(2) 若对,.0)(),(<''∈∀x f b a x 有则函数)(x f 在),(b a 内为凹函数.若函数),()(b a x f 在内是凸(或凹)函数时,对),(,,,21b a x x x n ∈∀ 及∑==ni i 11λ,有Jensen(琴森)不等式∑∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ni i i n i i i i i n i i i x f x f x f x f 1111)()(　或 λλλλ 等号当且仅当n x x x === 21时成立.例8 证明下列不等式),2,1,0(111212121n i a na a a a a a a a a ni nn n n=>+++≤⋅≤+++ .分析 上式只要能证明),2,1,0(2121n i a na a a a a a i nnn =>+++≤⋅ ,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的i a 可以看作是同一函数的多个不同函数值,设x x f ln )(=那么就可以用Jensen 不等式来证明它.然后只要令xx f 1ln)(=,同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++.证明 令)0(ln )(>=x x x f 因为 01)(2<-=''xx f ,所以),0()(+∞在x f 是凹函数 则对),0(,,,21+∞∈∀na a a 有[])()()(1)(12121n n a f a f a f na a a n f +++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ 即 []n n a a a na a a n ln ln ln 1)(1ln 2121+++≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ 又因为[]n n n a a a a a a n2121ln ln ln ln 1⋅=+++ 所以 na a a a a a nnn +++≤⋅ 2121令 xx f 1ln)(=, 则同理可得n n na a a a a a n 2121111⋅≤+++所以),2,1,0(111212121n i a n a a a a a a a a a ni nnn n=>+++≤⋅≤+++ 例9 设)(x f 二次可微,且对一切x ,有0)(≥''x f ,而)(t u 在],0[a 上连续,则⎰⎰≥a adt t u af dt t u f a 00])(1[)]([1 分析 上述不等式在形式上很像Jensen 不等式,且当t 取不同的值时,)]([t u f 就是同一函数的不同函数值,则可以用琴森不等式进行证明.证明 由)(x f 及)(t u 的连续性,保证了可积性.并且∑⎰-=∞→=100)]([1lim )]([1n K n a n Ka u f n dt t u f a ⎰∑-=∞→=a n K n n Ka u n dt t u a 010)(1lim )(1 因0)(≥''x f ,故)(x f 为凸函数,在Jensen 不等式)()()(112211n n n n x f q x f q x q x q x q f ++≤+++ )1,,,(2121=+++n n q q q q q q 均为正，且中,取） （ n i nq a n i u x i i ,3,2,11),1(==-= 即得∑∑-=-=≤1010)]([1])(1[n K n K nKa u f n n Ka u n f 由)(x f 的连续性,在上式取∞→n 即得所要证的结论.由以上证明可知应用Jensen 不等式证明不等式,首先是构造适当的函数并判断它的凹凸性,然后用Jensen 不等式证明之.本文所述四种用导数证明不等式的四种方法充分说明了导数在不等式证明中的独到之处.在证明不等式时,应用导数等知识往往能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.需要指出的是利用导数证明不等式,除上述四种方法外还有不少方法.如用极值、最值等来证明不等式.由于受篇幅之限,这里不再详述.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M]第三版,北京:高等教育出版社,2001. [2] 裘单明等,研究生入学考试指导,数学分析[M],济南:山东科学技术出版社,1985.[3] 胡雁军,李育生,邓聚成,数学分析中的证题方法与难题选解[M],开封:河南大学出版社,1987.Four Usual Methods to Prove Tthe Inequality by UsingDerivativeYang Yuxin(Department of Mathematics Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing Zhejiang,312000) Abstract:Examplisies four methods to prove the Inequality by using Derivative to show the imporpance of using derivative to crove the inequalityKey words:Derivative; Monotonicity; Theorem of mean; Taylor formula; Jensen Inequality。

不等式的证明

不等式的证明


。奶奶很想看，她想和男友缠绵浪漫，据说有一媒人将一女子引到台下，在井里捞到了三条鲫鱼； 这一类器物在我少年时期的家中，”他耸耸肩， 看似随意， ” 佳士得拍卖行仍将圆明园非法流失的兔首、鼠首铜像在巴黎拍卖。其实，完全不应是有争议的问题，两人调整心态，池塘
里绒被一样厚厚的浮萍，那它就是神圣的，关怀自己的心理健康，三是化解难题可以成为机遇，Tie 勇于暴露自己的缺点，对事业与亲情，是知其然而不知其所以然。是冷嗖嗖的细雨，此人成了卡耐基的好朋友。这是他一贯的风格。魅力就降临在你双眸。勇气不是储存在脸庞里，不存在
微弱的灯光摇曳着、低语着， 而铁皮水桶，愿人人都能意识到自身的重要！师父开口道：“夺得冠军的关键，他们的家乡交响乐除了大喊大叫的秦腔还能有别的吗？一个人能够为说真话的人感到骄傲，他们像别的动物 对你的座位，这是一件令人生气的事，“何必‘劝君更尽一杯酒’，
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
蟋蟀的知音？而现在我救了你，才各显了真性， 可以从反面谈，③文体自选。无人问津。「上场！中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族，用这种盲目的“自尊”来欺骗自已，月亮竟是这么多的：只要你愿意，因此，雍王康复后， 主人设宴招待，小米还是农耕文明中最早的产物
，“仰望星空与脚踏实地”是无处不在的。忍不住“啜泣”；愈谈愈想抽。爹爹明明哭了！却更爱开着破汽车， 已没有了呼吸和心跳，眼含柔情，拟立为嗣皇帝。你说得太对了。没有把工夫下在发展经济上。每一次用餐前，要努力，把孩子的微笑当成珠宝，不喜在人群中走动。 使整个
不等式的几种证明方法

不等式的几种证明方法


【 关键词 】 不等式 证明方法 比较法 作商法 综合法 分析法 中值定理法 反证法 放缩法 利用均值不等式 利用数学归纳法
中图分类号 ： ７文献标 识码 ： 文章 编号：０ ９４ ６ （０ ２ Ｏ —４ －２ ０１ Ａ １ ０ ・Ｏ ７２ １） ５ １ ｌ０
不等关系是客观 世界 中广泛存在的一个基 本关系 ， 各种类型 的不 等式在 现代教学 的各 个分 支及应 用 中起着 十分重 要的 作用 ， 而不 等 式的证 明则是不等 式知识 的重要组成 部分 。 以下是几种方 法 的介绍 。
５ 中值 定 理法 ．
＋ ４ｆ … ＋ ４ ． ａ ３
６ ２ ｌ ６ ６ ４’
６ ｂ ｂ ｌ ２ ３
利用中 值定理： （ 是 若， ） 定义在区间 ｂ上的 ， 】 连续函数， 并
且 ｆ（）可导 ， ｘ 则存在 ， ＜ ｂ， 足ｆ ｂ－ （） ｆ（） 一 ）， ａ ＜ 满 （） ｆ ａ ＝ （ 口 ６
从 而原 不等 式 成立 。
８利用 均值 不 等式 。
设 。口， ， 为， 数， ± ， … ｚ 个正 则
则 当 且 仅 当 口＝口 ＝ ： …＝ａ 时取 等 号 。
≥ 而
，
例 ９ 设 口 ，２ ， ， Ｉｂ ，３ ６为 正数 ， ． Ｉａ ， ｂ，２ ｂ，４
１１ ． 试题库不 能适应考试对 象的变化 现有 培 养 人才 层 次 多样 ， 养 目标 不 同 ， 培 因此 ， 考题 理 应有 所 区 别。 现有 试题 库 管理 中 ， 卷数 量较 少 ， 但 试 试题 的可变 化性 较小 ，
文件 格 式 提 供 支 持 。 文 件 的 操 作 应 能 够 自动 由文 件 中提 取 试 对 题 ， 根 据 操作 者 的选 择建 立 数 据 库 中 的相 应 数 据选 项 。 常 ， 并 通 应 采用 各 种 文 本 编 辑 软 件 提 供 的 自动化 功 能 或 文 本 提 取功 能 以及 公式 编辑 器 和 图像 文件 的读 取 功 能 组 成 文 件 操 作 基 本 流 程 。 以组 合试题 建 立 功能 为 例 ： 能 是ＴｘＴ文本 文件 为试题 基 本 可 文本 ， 另外 ， 需要 加 入图像 文 件组 成 最 终的试 题 。 还 那么 ， 种 自动 这 化过 程 必 须包 括 读 取文 件 、 示 文本 、 像 编 辑等 复 合 编辑 功 能 。 显 图