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第六章 万有引力与航天7.万有引力与重力的关系：(1)“黄金代换”公式推导：当F G =时，就会有22gR GM RGMm mg =⇒=。
(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
8.万有引力定律与天体运动：运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
从力和运动的关系角度分析天体运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F 需=F 万。
如图所示，由牛顿第二定律得：2m ,LGM F ma F ==万需，从运动的角度分析向心加速度： .)2(22222L f L T L L v a n ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=== （3）重要关系式：.)2(222222L f m L T m L m L v m L GMm ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=== 2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R 2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为321221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R R ωω。
9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力： 谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。
模型：如右图所示，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
万有引力定律专题一、知识回顾1、万有引力定律的表达式：式中21m m 位置互换后结果不变说明: 适用于两个 或 球体；r 为 ；G 为 =G 2、处理天体运动问题的基本模型： 1．人间模型（1）原始方程： （2）基本结论：① ②③ ④2．天上模型（1）原始方程： （2）基本结论：① ②③ ④合起来称为“天上人间”模型． 模图 一、开普勒定律1、我国的人造卫星围绕地球的运动，有近地点和远地点，由开普勒定律可知卫星在远地点运动速率比近地点运动的速率小，如果近地点距地心距离为R 1，远地点距地心距离为R 2，则该卫星在远地点运动速率和近地点运动的速率之比为 A ．12R R B. 21RR C.D.2、飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A 处，将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道和地球表面相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点回到B 点所需时间。
二、万有引力定律：1、如下图所示，设想质量为m 的物体放到地球的中心，地球质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是：A ．零B ．无穷大C ．2MmF GR = D ．无法确定 2、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比：A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球将的万有引力将变小C ．月球绕地球运动的周期将变大D ．月球绕地球运动的周期将变短3、如下图所示，在半径R ＝20cm 、质量M ＝168kg 的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为10cm ，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m ＝1kg 、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d ＝2m ，试求它们之间的相互吸引力．4、（09年全国高考）)如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。
高中物理系列模型之算法模型4.万有引力定律应用模型模型界定本模型中归纳万有引力定律及其适用条件，在天体问题中主要是涉及中心天体的质量与密度的计算，沿椭圆轨道运行的天体及变轨问题． 模型破解 １.万有引力定律 (i)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F 与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.公式221r m Gm F =式中质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N.G 是比例系数，叫做引力常量，-11N·m 2/kg 2.适用条件①万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算.②对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，公式中r 是球心间距离.③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力.例如将物体放在地球的球心时，由于物体各方面受到相互对称的万有引力，故合外力为零. 2.万有引力与重力的区别 (i)自转的影响当物体位于赤道上时：00=ϕ，22ωmR RGMm F F mg n -=-= 当物体位于两极时：090=ϕ，2R GMm F mg ==当物体位于纬度ϕ时，万有引力为2RGMm F=，物体所需向心力ϕωcos 2mR F n =是万有引力的一个分力，所谓重力是与地面对物体的支持力相平衡的万有引力的另一个分力．物体的重力产生的原因是万有引力，但在一般情况下万有引力不等于重力，重力的方向不指向地心，由于地球自转的影响，随着纬度的增加，向心力越来越小，重力越来越大，因而重力加速度也随着纬度的增加而增大．(ii)地面到地心距离与Ｒ与地球密度ρ的影响由于地球是椭圆体，质量分布也不均匀，重力与重力加速度也会发生变化．如果只考虑地球的形状，从赤道到两极，地面到地心的距离越来越小，重力与重力加速度越来越大；如果只考虑地球自转的影响，从赤道到两极，所需向心力越来越小，重力与重力加速度也越来越大． (iii)赤道上的物体由于赤道上的物体重力与万有引力的差别在千分之四以下，因此在忽略地球处置的影响下可近似认为地球引力等于重力，有所谓的＂黄金代换＂式：2gR GM =．例１.如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。
八：万有引力问题辅助练习1：如右图为发射月球卫星的运动示意图，发射后，卫星首先进入近地轨道1上做匀速圆周运动（经过A 点时的速度为V 1）；条件成熟时，让它在A 点变轨进入椭圆轨道2，（假设在椭圆轨道上通过A 点时的速度为V 2）。
当它通过B 点时（假设在椭圆轨道上通过B 点时的速度为V 3），再次变轨进入月球轨道。
在轨道3上通过B 点的速度为V 4…… 分析：（找到点点，画出受力图，取坐标，列方程）（1）：当卫星做匀速圆周运动过A 点时受到 力，该力的特点：①作用效果是 ，②做功情况 ，能列 方程；此过程卫星的机械能守恒吗？（2）：卫星做匀速圆周运动经过A 点时，卫星突然点火（点火时间极短可忽略不计），速度瞬间变大，此时列牛顿定律 方程，卫星将做 运动， 变大，引力做 功，速度变 。
（3）：当卫星到达月球上空的B 点时,卫星突然点火（点火时间极短可忽略不计），速度瞬间变 ,卫星将在轨道3上做匀速圆周运动，此时列牛顿定律 = = = = 方程。
参考答案：（1）：万有引力、只改变速度方向，不改变速度大小、不做功、= ma == R m R m T 222)(πω=、守恒（2）：2R G M m = ma <R mv 2= R m R m T 222)(πω=、离心、轨道半径、负功、小 （3）：小、2RGMm = ma =R mv 2= R m R m T 222)(πω=辅助练习2：组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。
由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。
下列表达式中正确的是（A ）T ＝2πGM R /3 （B ）T ＝2π（C ）T ＝（D ）T ＝ρπG /3分析：（找到点点，画出受力图，取坐标，列方程）题中并没有暗示我们有哪些110点，我们只能投石问路了，如果星球的速度增大，最先分解掉即脱离星球的物质是 ，所以我们要找 的点作位110点，星球表面上的所有点都是一样的，所以在星球表面上任意取一个点做受力分析：（1）：受力分析：根据题意，取赤道附近的物体（星球上的一个点）为研究对象，它受到万有引力作用，该力的作用效果为：① ② 。
