授课提纲19-动量矩定理

(e)
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。

则
rO1O
LO1 3 mr 2 ω 2
27
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m 1 的均质曲柄
OA带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2， 半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。
ω2
A
Ⅱ
解:
v A ( r1 r2 ) O r22
C i i
vr v vC y'
ri
i C
i ri
C
0
rC
0 则上式可以写为
x O
C
vC
y
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
26
思考题
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z
2
其中, Jz =∑m i r i2 称为刚体对转 轴的转动惯量。即：定轴转 动刚体对转轴的动量矩等于 刚体对于该轴的转动惯量与 角速度乘积。
只适用于定轴,不是转轴及点都不成立
ω0
r1
O
α
P
r1 r2 2 0 r2
根据
得
r2
LO rC mvC LC
Ⅰ
LO (r1 r2 ) m2v A J A 2
28
思考题
长度为 l ，质量不计的杆 OA与半径为 R、质量为 m 的均 质圆盘B在A处铰接，杆OA有角速度ω ，轮B有相对杆OA的 角速度ω （逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。
y

mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2

注意到
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于