【中考数学压轴题】十大类型之几何三大变换
一、单选题(共1道，每道30分)
1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕，AB=8，AD=4，则四边形ECGF的面积为（）
A.6
B.10
C.12
D.16
答案：D
解题思路：连接AC，交EF于点O，则AC被EF垂直且平分。OC=OA，∵DC∥AB，∴∠OAE=∠OCF，∠CFO=∠OEA，∴△OFC的面积＝△OAE的面积。所以所求四边形的面积等于△ACD的面积，为矩形面积一半，即16
试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）
二、解答题(共2道，每道35分)
1.（2009湖南常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别是EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
答案：答：（1）CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，∴CD=BE．
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CN的中点，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，
设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC，
∴，
∴，
∴，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴．
解题思路：（1）利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．（2）证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
试题难度：三颗星知识点：中考压轴之实践操作、问题探究
2.如图，抛物线y＝x 2－6x＋8与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线y＝x ＋2交y轴于点C，且过点D（8，m）．左右平移抛物线y＝x 2－6x＋8，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．
（1）求线段AB、CD的长；
（2）当抛物线向右平移到某个位置时，A′D＋B′D最小，试确定此时抛物线的表达式；（3）是否存在某个位置，使四边形A′B′DC的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A′B′DC的周长最小值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）存在，抛物线的表达式为，周长的最小值为
解题思路：（1）令y＝x 2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由题意知A（2,0），B（4,0），则AB=2；将D（8，m）代入直线表达式y＝x＋2，可计算出D点坐标为（8,6）；C点坐标为（0,2），过D作DE⊥y轴于点E，则DE=8，CE=4，在Rt△CDE中，由勾股定理知
（2）类似于“奶站模型”：我们可以认为A、B两定点为居民区，动点M在直线DE上运动为送奶站，要确定M点的位置，保证AM+BM最小；然后把A、B、M三点连同奶站模型和抛物线一起向右平移，当M点与D点重合时，M点向右平移几个单位，说明抛物线向右平移几个单位，此时A、B分别与A′、B′重合，能保证A′D＋B′D最小。
使用奶站模型的处理思路可以确定M点的位置如上图，可以证明M点在抛物线的对称轴
上，则DM=5，原抛物线的表达式为向右平移5个单位,
则A′D＋B′D最小，抛物线的表达式为
（3）典型的天桥问题，等价于“A′、B′为x轴的两个动点，且A′B′=2，试确定A′、B′的坐标使得四边形A′B′DC的周长最小”
将点D向左平移两个单位到达N（6，6），则DN=A′B′=2，作C关于x轴的对称点C′，连结NC′交x轴于点A′，向右平移一个单位得到B′，连结CA′、DB′.因为NA′=DB′且根据奶站模型NA′+CA′最小，所以此时CA′+DB′最小.
C′（0，-2），N（6，6），则NC′所在直线为，该直线与x轴的交点坐标为，A′B′=2，则，则相当于原抛物线向左平移了个单位，抛物线的表达式为
，此时四边形的周长最小，最小值为NC′+A′B′+CD=
试题难度：三颗星知识点：二次函数
