线性规划的常见题型及其解法(教师版题型全归纳好)
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让每个人平等地提升自我
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课题 线性规划的常见题型及其解法答案
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求线性目标函数的最值．
2．求非线性目标函数的最值．
3．求线性规划中的参数．
4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．
【母题一】已知变量x，y满足约束条件 x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为( )
A．[7，23] B．[8，23]
C．[7，8] D．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值．
【解析】画出不等式组 x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由目标函数z＝2x＋3y得y＝－23x＋z3，平移直线y＝－23x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组 x＋y＝3，2x－y＝3，得 x＝2，y＝1，所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组 x－y＝－1，2x－y＝3，得 x＝4，y＝5，所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A 百度文库
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2 【母题二】变量x，y满足 x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，
(1)设z＝y2x－1，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，y2x－1＝12·y－0x－12表示点(x，y)和12，0连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．
【解析】(1)由约束条件 x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示．
由 x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225．
由 x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．
由 x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．
∵z＝y2x－1＝y－0x－12×12
∴z的值即是可行域中的点与12，0连线的斜率，观察图形可知zmin＝2－05－12×12＝29．
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29．
∴2≤z≤29．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：
可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
dmax＝－3－52＋2－22＝8
∴16≤z≤64．
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1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值．
(2)距离型：形一：如z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；
形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．
(3)斜率型：形如z＝yx，z＝ay－bcx－d，z＝ycx－d，z＝ay－bx，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．
【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．
角度一：求线性目标函数的最值
1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件 x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8
C．3 D．2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．
【答案】B
2．(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件 x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为百度文库 - 让每个人平等地提升自我
4 ( )
A．3 B．4
C．18 D．40
【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18．
【答案】C
3．(2013·高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A．－6 B．－2
C．0 D．2
【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，
令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6．
【答案】A
角度二：求非线性目标的最值
4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 百度文库
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5 C．－13
D．－12
【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，
显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－13．
【解析】C
5．已知实数x，y满足 0≤x≤2，y≤2，x≤2y，则z＝2x＋y－1x－1的取值范围 ．
【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数z＝2x＋y－1x－1＝2＋y＋1x－1的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．
【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)
6．(2015·郑州质检)设实数x，y满足不等式组 x＋y≤2y－x≤2，y≥1，则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1，2] B．[1，4]
C．[2，2] D．[2，4]
【解析】如图所示，
不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2百度文库
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6 的取值范围是[1,4]．
【答案】B
7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组 x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，
则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．
【答案】255
8．设不等式组 x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A．285 B．4
C．125 D．2
【解析】不等式组 x≥1x－2y＋3≥0y≥x，所表示的平面区域如图所示，
解方程组 x＝1y＝x，得 x＝1y＝1．点A(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝|3－4－9|5＝2，则|AB|的最小值为4．
【答案】B
角度三：求线性规划中的参数
9．若不等式组 x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是百度文库
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7 (
)
A．73 B．37
C．43 D．34
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋43过定点0，43．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52．当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73．
【解析】A
10．(2014·高考北京卷)若x，y满足 x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C．12 D．－12
【解析】D 作出线性约束条件 x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0的可行域．
当k＞0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．
当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．
当－1＜k＜0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0)，B－2k，0，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B－2k，0时，有最小值，即－－2k＝－4⇒k＝－12．
【答案】D
