最新人教版八年级数学上册几何解答题专项突破(超级经典)[001]

三角形重难点突破突破1 三角形(一) 三边关系类型一三边关系定三角形1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )A.9 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )A.3个B.5个C.7个D.9个类型二三边关系求范围3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是.4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为.类型三三边关系去绝对值5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为.6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为.类型四三边关系取舍值7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )A.4B.10C.4 或7D.4 或108.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.类型五三边关系列不等式组9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.(1)化简式子|a−b+c|+|a−b−c|=_____________;(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是.10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.类型六三边关系求最值11.如图,将四根长度分别为3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点D 之间的距离可能是( )A.1 cmB.4 cmC.9 cmD.12 cm12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则BE 的最小值是.突破2 三角形(二) 三种线段类型一三角形的高1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )A.1条B.2条C.3 条D.4 条类型二三角形的中线2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. △ABD与△ACD的周长之差为.3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求证:BE=AE+AC;(2)若AB=10,AC=6,求AE的长.类型三三角形的角平分线4.已知AE 是△ABC的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.类型四“三线”综合5.如图,在△ABC中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误的是( )A.BF=CFB.∠C+∠CAD=90°C.∠BAF=∠CAFD.S ABC=2S ABF突破3 三角形(三) 求面积类型一多中线求面积1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为.2.如图,BD 是△ABC 的中线,点E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为4cm²,,则△ABC 的面积是( )A.12cm²B.16cm²C.20cm²D.24cm²3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分==6,则S△ABC为( )A.16B.18C.24D.不能确定类型二中线+线段比求面积4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为.C突破4 三角形(四) 面积法类型一三高图与面积法1.在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB 边上的高的长度是.类型二平行线与面积法2.如图,在长方形ABCD 中,F 是BC 上(不与B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有对.类型三垂线段与面积法3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点O 作( OE⊥AB 于点E,作OF⊥AC于点F,若( OE+OF=3,△ABC的面积为12,则AB 的长为.类型四线段比与面积法的值4.如图,在△ABC中,AD 是中线, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,若A AB=6 cm,AC=4 cm,则DEDF为.类型五线段最值与面积法5.如图,在△ABC中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( CD=2BD,AE=3BE,连接AD,CE 交于点F.当四边形时，AB长度的最小值为.BEFD 的面积为174突破5 三角形(五) 内角和类型一 内角和+内角关系1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.2具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A =12∠B =13∠C C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3类型二 内角和十角分线3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )A.56°B.58°C.22°D.28°4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE ⊥AC 于点E.(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG ∥BE.类型三 内角和十平行线5.如图,在 △ABC 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D 是BC 上的点,连接EF,AD,DG,AB ∥DG,∠1+∠2=180°.(1)求证:. AD‖EF;(2)若 DG 是 ∠ADC 的平分线， ∠2=140°,求 ∠B 的度数.6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG ∥BC,求∠FEG 的度数.7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点D 作DG∥AC 交EF 于点G,(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.类型四内角和十垂线8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.(1)如图1,若AD⊥BC于点D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.突破6 三角形(六) 外角类型一外角+内角1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.C类型二外角+外角2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )A.∠3=∠2+∠1B.∠3=∠2+2∠1C.∠3+∠2+∠1=180°D.∠1+∠3=2∠2类型三外角+等角3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数为.D4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.类型四外角+平行线5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )A.β=α+γB.β=2γ-αC.β=α+2γD.β=2α-2γ6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.类型五外角+方程思想7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )A.12°B.14°C.16°D.24°类型六外角+整体思想8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )A.90°+αB.135∘−α2C.2αD.90∘+α2参考答案突破1 三角形(一) 三边关系1. B 解：当三角形三边长分别为2cm ,3cm,5cm 时,∵2+3=5,不能构成三角形,∴所摆成的三角形的周长不可能是10 cm,故选 B.2. A 解:这样的三角形有:2,6,7;3,5,7;4,5,6.共3个,故选A.3.3<a<7 解:依题意,得4-2<a-1<4+2,即2<a-1<6,∴3<a<7.4.7或9或11 解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x 的取值范围是5<x<13.∵△ABC 的周长x+4+9=x+13为偶数，∴x为奇数.∵5<x<13,∴x 的值为7 或9 或11.5.0 解:∵a,b,c 是三角形的三边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b-c+c-a-b=0,故答案为0.6.-a+b+3c 解:依题意,得a-b-c<0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c.7. A 解：当4 为底边时，该等腰三角形的腰长为(18-4)÷2=7.∵7，7，4满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长是4；当4为腰时，该等腰三角形的底边长为18-4×2=10.∵10，4，4 不满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长不能是10.故选 A.8.解:分三种情况:(1)x+2=8,x=6,△ABC的三边长分别为8,8,12,周长为28;(2)2x=8,x=4,△ABC 的三边长分别为8,8,6,周长为22;(3)2x=x+2,x=2,△ABC的三边长分别为8,4,4,但4+4=8,不能构成三角形，故舍去.综上所述,△ABC 的周长为22 或28.9.解：(1)由三角形三边关系定理，得a+c>b,b+c>a,∴|a-b+c|+|a-b- cl=a-b+c+b+c-a=2c;(2)∵a=x+8,b=3x-2,c=x+2,∴x+8+3x−2>x+2, 3x−2+x+2>x+8, x+2+x+8>3x−2,∴83<x<12.10.解:由题意,得a+5<2a−1+a,a+5+a+2a−1≤20,解得3<a≤4,∴a的取值范围为3<a≤4.11. C 解:连接BD.在△ABD 中,7 cm-5 cm<BD<7 cm+5 cm,即2cm <BD<12 cm.在△BCD中,8cm --3cm<BD<8cm +3cm,即5cm <BD<11cm,所以5 cm<BD<11 cm.故选C.12.2 解:由折叠可知,AE=AC=8.在△ABE 中，由三角形三边关系可得BE>AB-AE.当点E 落在AB 边上时，BE=AB-AE=10-8=2,∴BE≥2,全科A早E 的最小值为2.突破2 三角形(二) 三种线段1. B 解:CF,AD 都是△ABC 的高,共2条,故选B.2.3 解:∵AD 为中线,∴BD=CD,则C△ABD—C△ACD =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.故答案为3.3.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE的周长相等，∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.∵BD=DC,∴BE=AE+AC;(2)设AE=x,则BE=10-x,由(1)得 BE=AE+AC,∴10-x=x+6,解得x=2,∴AE=2.4.解:∵AE 是△ABC 的平分线, ∴∠BAE =12∠BAC.①如图1,当点 D 在边 BC 上时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 30°=90°,∴∠BAE =12∠BAC =45∘;②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠BAC=∠BAD-∠CAD= 60°−30°=30°, ∴∠BAE =12∠BAC =15∘.综上所述,∠BAE 的度数为 45°或15°.5. C 解:∵AF 是△ABC 的中线,∴BF=CF,A 正确,不符合题意;∵AD 是高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,B 正确,不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE=∠CAE,C 错误,符合题意；∵BF=CF,∴S ABC =2S ABF ,D 正确，不符合题意；故选 C.突破3 三角形(三) 求面积1.3 解:∵AD 是△ABC 的中线, ∴S ACD =12S ABC =12×12=6.∵CE 是△ACD 的中线, ∴S CDE =12S ACD =3.故答案为3.2. B 解:∵F 是CE 的中点,△AEF 的面积为 4 cm²,∴S ACE =2S AEF =8cm 2.∵E 是BD 的中点,∴S △ADE=S △ABE,S △CDE=S △BCE,∴S ACE =12S ABC ,∴△ABC 的面积为16 cm².故选 B.3. B 解:设S △COD=m,S △COE=n.∵AD,BE,CF 都是△ABC 的中线,∴S △AOE=n,S △BOD=m.∵S BAE =S BCE ,∴S △BAO=S △BCO=2m.∵S △BOF=S △AOF,S BOF =S AOF =m.∵S ADB =S ADC ,∴3m=2n+m,∴m=n.∵m+n=6,∴m=3,S △ABC=6m=18.故选 B.4.4 解:连接 PA.∵D 是AB 的中点,∴S △ADC=S △BCD,S △PAD=S △PBD,∴S △BPC=S △APC,∵AE:CE=3:1,S △CEP=1,∴S AEP =3S CEP =3,∴S △APC=4,∴S △BPc=4,故答案为4.5.3 解:∵E 为AC 的中点,∴S ABE =12S ABC =12×26=13.∵BD:CD=5:8,∴S ABD =513S ABC =513×26=10,∴S AEF −S BDF =(S ABE −S ABF ) −(S ABD −S ABF )=S ABE −S △ABD=13-10=3.突破 4 三角形(四) 面积法1.4.8 解:过点 C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,∴S ABC =12AB ⋅CD =12AC.BC,∴CD =AC ⋅BC AB =8×610=4.8.2.5 解:∵S △ABD=S △CBD=S △ADF= 12S 长方形ABCD,∴circle1S ABD =S CBD ,②S △ABD=S △ADF,③S △CBD=S △ADF·∵BF ∥AD,∴④S △ABF=S △BDF·∵S △ABF—S △BEF=S △DBF—S △BEF,∴⑤S △ABE=S △DEF,共有 5 对.3.8 解:连接OA.设AB=x,则AC=AB=x.∵S ABC =S ABO +S AOC ,∴12AB ⋅OE +12AC ⋅OF =12,即 12x ×3=12,解得x=8,所以 AB=8.故答案为8.4.2/3解:∵在△ABC 中,AD 为中线，∴BD=DC.∴S △ABD=S △ADC.∵DE ⊥AB 于点 E,DF ⊥AC 于点F,AB=6,AC=4.∴12AB ⋅ED =12AC ⋅DF,∴12×6×ED =12×4×DF,∴DE DF =46=23.5.22/3解:连接 BF,过点 A 作AH ⊥CB,交CB 的延长线于点H.设S △EBF=a,S △DBF=b,则S △AEF=3a,S △CDF=2b,S △ACF=2S △ABF=8a,S △ACF=3S △BCF=9b,∴8a=9b,∴b =89a,∴S 圆锥侧BEFD =179a =174, ∴a =94,∴S ABD =11,即 12BD ⋅AH =11.∵BD=3,∴AH =223. ∵AB ≥AH =223,∴AB 的最小值为22/3.突破 5 三角形(五) 内角和1.解：由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.∵∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,∴∠A +3∠A +2∠A +60°=180°,解得∠A=20°,∴∠B=3∠A=60°,∠C=2∠A+ 60°=2×20°+60°=100°,∴△ABC 各个内角的度数分别为∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.2. C3. D 解:∵BD 平分∠ABC,∠ABC=56°,∴∠DBC =12∠ABC =28∘.∵∠ACD=56°,∠ACB=68°,∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD =124°,∴∠BDC =180°−∠DCB−∠DBC =28°.故选 D.4.解:(1)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵BE ⊥AC,∴∠BEC=∠BEA=90°,∴∠CBE =90°−∠C =90°−x , ∠ABE =90°−∠BAC =90°−2x,∴∠CBE−∠ABE =90°−x−(90°-2x)=x,即∠CBE--∠ABE=∠C;(2)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠DAC =12∠BAC =x,∴∠ADC =180°−∠DAC−∠C = 180°−2x.∵DG 平分∠ADC,∴∠CDG =12∠ADC =12(180∘−2x)=90°-x.由(1)知∠CBE=90°-x,∴∠CDG=∠CBE,∴DG ∥BE.5.解:(1)∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE.∵∠1+∠2=180°,∴∠DAE+∠2=180°,∴AD ∥EF;(2)∵AD ∥EF,∠2=140°,∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°.∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE=40°.∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG=∠1=40°.∵AB ∥DG,∴∠B=∠CDG=40°.6.解:∵EF ∥DA,EG ∥BC,∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A.∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+ ∠ABD + ∠DBC = ∠A +∠ABC.∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.7.解:(1)∵∠B=∠ADE=50°,∴DE ∥BC,∴∠AED=∠C=70°.∵DG ∥AC,∴∠EDG=∠AED=70°;(2)∵DE ∥BC,∴∠AED=∠C=α,∴∠DEC=180°-α.∵∠FEC=2∠DEF,∴∠DEF =13∠DEC =60∘−13α,∴∠DGE = ∠CEF = 2∠DEF = 120∘−23α,∠EFC =∠DEF =60∘ −13α,∴∠DGF =180°--∠DGE =60°+ 23α,∠BFG =180∘−∠EFC =120∘ +13α.∵3∠DGF=2∠BFG,∴360∘+23α=2120∘+13α,解得α=45°.8.解:(1)∵∠C=35°,∠B=2∠C,∴∠B=70°,∴∠BAC=75°.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC=37.5°.∵AD ⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-35°=55°,∴∠DAE=55°—37.5°=17.5°;(2)过点 A 作AD ⊥BC 于点 D.∵EF ⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEC=90°.∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠DAE=∠FEC.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC =12∠BAC =12(180∘− ∠B−∠C)=12(180∘−3∠C )=90∘ −32∠C,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°−∠C)−90∘−32∠C =12∠C, ∴∠FEC =12∠C,∴∠C=2∠FEC.突破 6 三角形(六) 外角1.解:∵∠D=32°,∠C=38°,∴∠BED=∠D+∠C=32°+38°=70°.∵∠B+∠BED+∠BFE=180°,∴∠BFE=180°-∠B--∠BED=180°—45°-70°=65°.2. D 解:∵AD 平分∠BAC,∴可设∠DAC=∠BAD=x,∴∠2=∠1+x,∠3=∠2+x,∴x=∠3-∠2,∴∠2=∠1+∠3-∠2,∴∠1+∠3=2∠2.故选 D.3.56° 解:设∠CAE=α,则∠CAD=∠ADC=28°+α,∴∠BEA = ∠BAE = ∠ADC +∠DAE=56°+α,∴∠BAC+∠CAE=56°+α,∴∠BAC=56°.4. 解: 设 ∠BAM = ∠CAN = α,∠MAN=∠AMN=β,则∠BAC = ∠ACB = 2α + β,∠MAC=α+β.在△ACM 中,∠MAC + ∠C +∠AMC=180°,∴α+β+(2α+β)+β=180°,∴α+β=60°,∴∠MAC=α+β=60°.5. B 解:∵EF∥AB,∠EFC=β,∴∠B=∠EFC=β.∵CD 平分∠BCA,∴∠ACB=2∠BCD.∵∠ADC 是△BDC 的外角,∴∠ADC=∠B+∠BCD.∵∠ADC=γ,∴∠BCD=γ-β.∵∠MAC 是△ABC 的外角,∴∠MAC=∠B+∠ACB.∵∠MAC=α,∴α=β+2(γ-β),即β=2γ-α,故选 B.6.证明:∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠C,∴∠ABE + ∠BAD = ∠CBE +∠C.∵∠AFE = ∠ABE + ∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴∠AEF=∠AFE.∵FE平分∠AFG,∴∠AFE=∠GFE,∴∠AEF=∠GFE,∴FG∥AC.7. A 解:设∠CDE=x,∠B=∠C=y,∠AED 是△CDE 的一个外角,∴∠AED=x+y=∠ADE,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=x+y+x=2x+y,∠ADC 是△ABD 的一个外角,∴∠BAD=∠ADC--∠B=2x+y-y=2x=24°,∴x=12°,∴∠CDE=12°.8. D 解:∵在△APQ 中,∠A=α,∴∠APQ+∠AQP=180°-∠A=180°-α.∵∠APQ = ∠PMB + ∠PBM =2∠PMB,∠AQP = ∠QMC + ∠QCM =2∠QMC, ∴∠PMB +∠QMC =12(∠APQ + ∠AQP)=12(180∘−α)=90∘−12α,∴∠BMC = 180°− (∠PMB + ∠QMC)=180∘−90∘−12α=90∘ +12α.故选 D.。

三角形角度计算常考模型【考点1 “8字”模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【考点2飞镖模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考点3 “风筝”模型】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（3）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45°（3）2∠P＝∠B+∠D【解答】解：（1）由题知∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B①同理可得∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P∵∠DAB和∠BCD的平分线是AP和CP∴∠DAO+∠D＝∠OCB+∠P②由②×2﹣①得∠D＝2∠P﹣∠B即2∠P＝∠D+∠B∴2∠P＝50°+40°故∠P＝45°；（3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D．【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD∠AOB＝∠COD∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α∴α＝10°故选：A．【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC 交AB于点E若∠A＝45°∠P＝40°则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°∠ABC+∠C+∠BGC＝180°∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC交AB于点E∴∠GBC＝2∠PBE∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°∠P＝40°∴∠C＝35°．故选：B【变式1-3】（2022春•渝中区校级期中）如图五角星的五个角之和即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【答案】A【解答】解：连接CD设BD与CE交于点O由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC在△ACD中∠A+∠ACD+∠ADC＝180°即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【答案】360【解答】解：如图延长DE交AB于点G由三角形外角性质可知：∠1＝∠F+∠DEF∠2＝∠1+∠A∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A∴在四边形BCDG中由四边形内角和可知：∠B+∠C+∠D+∠2＝360°∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．故答案为：360．【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【答案】180【解答】解：如图设线段BD BE分别与线段AC交于点N M．∵∠AMB＝∠A+∠E∠DNC＝∠B+∠AMB∠DNC+∠D+∠C＝180°∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°故答案为：180．【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果不必证明）．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°∠AOD＝∠BOC ∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O形成“8字形”；故“8字形”共有6个故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P即2∠P＝∠D+∠B又∵∠D＝50度∠B＝40度∴2∠P＝50°+40°∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形像我们常见的学习用品一圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系并说明理由；（2）请你直接利用以上结论解决以下问题：①如图（2）把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C若∠A＝40°则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3）DC平分∠ADB EC平分∠AEB若∠DAE＝40°∠DBE＝130°求∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C理由是：过点A、D作射线AF∵∠FDC＝∠DAC+∠C∠BDF＝∠B+∠BAD∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2）∵∠X＝90°由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°∵∠A＝40°∴∠ABX+∠ACX＝50°故答案为：50；②如图（3）∵∠A＝40°∠DBE＝130°∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°∵DC平分∠ADB EC平分∠AEB∴∠ADC＝∠ADB∠AEC＝∠AEB∴∠ADC+∠AEC＝＝45°∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图△ABC中∠A＝30°D为CB延长线上的一点DE⊥AB于点E∠D＝40°则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∵∠D＝40°∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°∵∠ABD＝∠A+∠C∠A＝30°∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图∠BDC＝98°∠C＝38°∠A＝37°∠B 的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解答】解：如图延长CD交AB于E∵∠C＝38°∠A＝37°∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°∵∠BDC＝98°∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图点C是∠BAD内一点连CB、CD∠A＝80°∠B＝10°∠D＝40°则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E∵∠BED是△ABE的一个外角∠A＝80°∠B＝10°∴∠BED＝∠A+∠B＝90°∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°故选：C．【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线BE与CF交于G如果∠BDC＝140°∠BGC＝110°则∠A＝．【答案】80°【解答】解：连接BC∵∠BDC＝140°∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°∵∠BGC＝110°∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°∵BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°在△ABC中∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．【考点3 “风筝”模型】（2020秋•五华区期末）如图在三角形纸片ABC中∠A＝60°∠B＝70°将【典例3】纸片的一角折叠使点C落在△ABC外若∠2＝18°则∠1的度数为（）A．50°B．118°C．100°D．90°【答案】B【解答】解：在△ABC中∠A＝60°∠B＝70°∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折叠可知：∠CDE＝∠C′DE∠CED＝∠C′ED∴∠CED＝＝99°∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故选：B．【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图在△ABC中将△ABC沿直线m翻折点B落在点D的位置若∠1﹣∠2＝60°则∠B的度数是（）A．30°B．32°C．35°D．60°【答案】A【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B∠3＝∠2+∠D∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°故选：A．【变式3-2】（2018•聊城）如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC 外的A'处折痕为DE．如果∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【答案】A【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'∵∠BDA'＝∠A+∠AFD∠AFD＝∠A'+∠CEA'∵∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β故选：A．【典例4】（2021春•高州市期末）如图小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后再将纸片沿着BA′对折一次使得点C落在BN上的C′处已知∠CMB＝68°∠A＝18°则原三角形的∠C的度数为（）A．87°B．84°C．75°D．72°【答案】A【解答】解：如图由题意得：△ABN≌△A′BN△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2 ∠2＝∠3 ∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．【变式4-1】（2021春•济南期中）如图△ABC中∠B＝40°∠C＝30°点D为边BC上一点将△ADC沿直线AD折叠后点C落到点E处若DE∥AB则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解答】解：∵∠B＝40°∠C＝30°∴∠BAC＝110°由折叠的性质得∠E＝∠C＝30°∠EAD＝∠CAD∠ADE＝∠ADC∵DE∥AB∴∠BAE＝∠E＝30°∴∠CAD＝40°∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°故选：B．【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示将△ABC的∠C沿DE折叠点C 落在点C'处若设∠C＝α∠AEC′＝β∠BDC'＝γ则下列关系成立的是（）A．2α＝β+γB．α＝β+γC．α+β+γ＝180°D．α+β＝2γ【答案】A【解答】解：由折叠的性质知：∠C＝∠C′＝α．∵∠AEC′+∠CEC′＝180°∠BDC′+∠CDC′＝180°∴β＝180°﹣∠CEC′γ＝180°﹣∠CDC′．∴β+γ＝360°﹣∠CEC′﹣∠CDC′．∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°∴2α＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．∴β+γ＝2α．故选：A．【变式4-3】（2021春•通许县期末）如图所示将△ABC沿着DE折叠使点A与点N重合若∠A＝65°则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°【答案】D【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成∴∠AED＝∠NED∠ADE＝∠NDE∠A＝∠N＝65°∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．故选：D．12．（2021秋•广州期中）如图三角形纸片ABC中∠A＝65°∠B＝75°将∠C沿DE对折使点C落在△ABC外的点C′处若∠1＝20°则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解答】解：∵∠A＝65°∠B＝75°∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°由折叠的性质可知∠C′＝∠C＝40°∴∠3＝∠1+∠C′＝60°∴∠2＝∠C+∠3＝100°故选：C．13．（2022春•晋江市期末）如图把三角形纸片ABC沿DE折叠当点A落在四边形BCDE 外部时则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到∴∠A′＝∠A又∵∠ADA′＝180°﹣∠1 ∠3＝∠A′+∠2∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°整理得2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2）即2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．18．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1 ∠A+∠F＝∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．19．（2021秋•海珠区校级期中）如图则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：连接AD在△AOD和△BOC中∵∠AOD＝∠BOC∴∠B+∠C＝∠1+∠2∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠F AD∵∠EDA+∠F AD+∠E+∠F＝360°∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°故答案为：360°．20．（2020•开福区校级开学）如图∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B∠EPC＝∠C+∠D∠AOE＝∠E+∠F∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．故答案为：360°．21．（2020春•昌黎县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：如右图所示∵∠AHG＝∠A+∠B∠DNG＝∠C+∠D∠EGN＝∠E+∠F∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．22．（2017秋•磴口县校级期中）如图∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°则∠BDC＝度∠BOC＝度．【答案】78°110°【解答】解：∵∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．23．（2021春•江都区校级期末）如图三角形纸片ABC中∠A＝63°∠B＝77°将纸片一角折叠使点C落在△ABC的内部若∠2＝50°则∠1＝．【答案】30°【解答】解：设折痕为EF连接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C∠1＝∠FCC′+∠FC′C∠ECF＝∠EC′F∴∠1+∠2＝2∠ECF∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°∴∠1＝80°﹣50°＝30°故答案为：30°24.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示按规定∠A应等于90°∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°根据李叔叔量得的结果你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．【解答】解：（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．25．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：（1）如图1 已知△ABC为直角三角形∠A＝90°若沿图中虚线剪去∠A则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2 已知△ABC中∠A＝40°剪去∠A后成四边形则∠1+∠2＝（3）如图2 根据（1）与（2）的求解过程请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是（4）如图3 若没有剪掉而是把它折成如图3形状试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A（4）∵△EFP是由△EF A折叠得到的∴∠AFE＝∠PFE∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．26．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1 三角形ABC求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°证明：过点A作EF ∥BC．（2）如图2 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N得到图3 请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC∴∠EAB＝∠B∠F AC＝∠C又∠EAB+∠BAC+∠F AC＝180°∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°又∠AOD＝∠BOC∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①∠P AB+∠P＝∠B+∠PCB②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B∴2∠P＝∠D+∠B．27．（2021春•邗江区月考）如图1 已知线段AB、CD相交于点O连接AC、BD则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示∠1＝130°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3 若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P且与CD AB分别相交于点M N．①若∠B＝100°∠C＝120°求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB”试直接写出∠P与∠B∠C之间存在的数量关系并证明理由．【解答】解：（1）证明：在图1中有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC∠B+∠D＝180°﹣∠BOD∵∠AOC＝∠BOD∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示∵∠DME＝∠A+∠E∠3＝∠DME+∠D∴∠A+∠E+∠D＝∠3∵∠2＝∠3+∠F∠1＝130°∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°∵∠B+∠C＝∠1＝130°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP 以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC∴∠BAP＝∠CAP∠CDP＝∠BDP∴2∠P＝∠B+∠C∵∠B＝100°∠C＝120°∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C其理由是：∵∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB∴∠BAP＝∠CAB∠BDP＝∠CDB以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B∴4∠P＝∠B+3∠C．。

专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

导角模型专项突破突破17 导角模型(一) 余角与补角类型一 互余导角1.如图，脊柱侧弯测量示意图，cobb 角∠O 的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中，若测得某人 cobb 角∠O=45°，则图中与∠O 相等的角有()A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个类型二 互补导角2.如图,在四边形ABCD 中, ∠A +∠C =136°,,点 E 在边AD 上,连接 BE,若∠D 与∠EBC 互补,则∠EBA 的度数为 .类型三 等角导互余3.如图,在四边形ABCD 中,. ∠B =90°,,点E 在AB 上,连接CE,DE.(1)若 ∠1=35°,∠2=25°,,则∠CED 的度数是 ;(2)若∠1=∠2,求证: ∠3+∠4=90°.类型四 等角导互补4如图,在四边形 ABCD 中,点 E 和点 F 和分别在边CD 和 BC 上,并且 ∠ABC =∠1,∠A +∠2=180°.(1)请判断直线 AD 和直线BE的位置关系，并证明你的结论；C(2)若BE 是∠ABC 的平分线, AD⊥CD,∠FEC=55°,求∠C的度数.突破18 导角模型(二) 一线三等角类型一一线三垂直1.如图,点C 在BD 上,∠B=∠D=∠ACE=90°.若∠A=50°,求∠DCE 和∠E 的度数.类型二同侧一线三等角2.如图,P 是∠BAC 内一点,∠B=40°,∠C=30°,过点P 作直线EF,分别交AB,AC 于点E,F.若∠BEP=∠BPC=∠PFC,求∠A 的度数.3如图,∠ABC 的平分线BE交AD 于点E,连接CE,若∠A=∠D=∠BEC,且∠BCD=70°,求∠BCE 的度数.C类型三异侧一线三等角4.如图,点E,F 在BC 的延长线上,∠DEF=∠ACF=∠ABD,∠A=20°,∠D=50°,求∠ABD 的度数.突破19 导角模型(三) 8字形类型一8字形∠B.1.如图,AC,BD 交于点E,∠ACD 的平分线交BA 的延长线于点F,若∠B=∠ACD,求证: ∠D−∠F=12类型二8字形+角分线2.如图,直线AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE,则∠P与∠B,∠D 的数量关系是( )A.2∠P--∠B+∠D=180°B.2∠P-∠B-∠D=180°C.2∠P+∠B-∠D=180°D.2∠P+∠B+∠D=360°3. AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.(1)如图1,若BE 平分∠ABD 交CD 于点F,CE 平分∠ACD 交AB 于点G,求∠BEC 的度数;(2)如图2,若直线BM 平分∠ABD 交CD 于点F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点M,求∠BMC 的度数.突破20导角模型(四) 燕尾形类型一单燕尾形1.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图，是一个燕尾形，已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠A=22°,则∠C 的度数为.类型二双燕尾形2.小茗同学设计了如图所示的一个零件,如果∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F 的度数是.类型三燕尾形+双角平分线3.如图,∠ABD 和∠ACD 的平分线交于点E,∠A+∠D=220°,求∠BEC 的度数.4.如图,点D 为∠BAC 内一点,连接BD,CD,∠B>∠C,0°<∠BDC≤180°,∠BAC,∠BDC 的平分线交于点E.(1)若∠B=50°,∠C=20°,求∠E;(2)直接写出∠B,∠C,∠E 之间的数量关系是.参考答案突破17 导角模型(一)余角与补角1. D 解:∵BD⊥OA,AC⊥OB,∴∠ACO = ∠ACB = ∠BDO =∠BDA=90°.∵∠O=45°,∴∠CAO=90°-∠O=45°,∠DBO=90°-∠O=45°,∴∠APD=90°-∠CAO=45°,∴∠APD=∠BPC=45°,∴图中与∠O 相等的角有:∠CAO,∠DBO,∠APD,∠BPC,共有 4 个.故选 D.2.44° 解:∵∠A+∠C=136°,∴∠ABC + ∠D = 360°— 136°=224°.∵∠D 与∠EBC互补,∴∠D+∠EBC=180°,∴∠EBA=224°-180°=44°.故答案为44°.3.解:(1)∵∠1=35°,∠2=25°,∠B=90°,∴∠BEC=180°-∠B-∠2=180°—90°—25°=65°,∠CED=180°-∠1-∠CEB=180°-35°-65°=80.故答案为80°;(2)∵∠1=∠2,∠B=90°,∴∠2+∠BEC=90°,∴∠1+∠BEC=90°,∴∠CED=180°-90°=90°,∴∠3+∠4=180°-∠CED=180°-90°=90°.4.解:(1)AD∥BE.理由:∵∠ABC=∠1,∴AB∥EF,∴∠ABE=∠2.∵∠2+∠A=180°,∴∠ABE+∠A=180°,∴AD∥BE;(2)∵AD⊥CD,∴∠D=90°.∵AD∥BE,∵∠BEC=∠D=90°.∵∠FEC=55°,∴∠2=∠BEC-∠FEC=35°.由(1)知∠ABE=∠2,∴∠ABE=35°.∵BE 是∠ABC 的平分线,∴∠EBF=∠ABE=35°,∴∠C=90°-∠EBF=55°.突破18 导角模型(二)一线三等角1.解:∵∠B=∠ACE=90°,∴∠DCE+∠ACB=∠A+∠ACB=90°,∴∠DCE=∠A=50°.∵∠D=90°,∴∠E=90°-∠DCE=40°,∴∠DCE=50°,∠E=40°.2.解:∵∠BPF=∠BPC+∠CPF=∠B+∠BEP,∠BEP=∠BPC,∴∠CPF=∠B=40°.同理可得∠BPE=∠C=30°,∴∠BPC=180°-∠BPE-∠CPF=180°-30°-40°=110°,易知∠BPC=∠A+∠B+∠C,∴∠A=110°-30°-40°=40°.3.解:由∠A=∠BEC 可得∠CED=∠ABE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CED=∠CBE.又∵∠D = ∠BEC, ∠CBE +∠BEC+∠BCE=∠CED+∠D+∠DCE=180°,∴∠BCE=∠DCE,∴∠BCE=12∠BCD=12×70∘=35°.4.解:∵∠ACF =∠ABD,∠ACF =∠A+∠ABC,∠ABD=∠DBE+∠ABC,∴∠DBE=∠A=20°,∴∠DEF =∠DBE+∠D=20°+50°=70°.∵∠ABD=∠DEF,∴∠ABD=70°.突破19 导角模型(三) 8字形1.证明:∵∠BAC +∠B =∠AED,∠ACD+∠D=∠AED,∴∠BAC+∠B=∠ACD+∠D.∵∠B=∠ACD,∴∠BAC=∠D,∴∠D --∠F =∠BAC - ∠F =∠ACF.∵CF 平分∠ACD,∴∠ACF=12∠ACD=12∠B,∴∠D−∠F=12∠B.2. B 解:设∠PAB =∠OAP =x,∠ECP=∠PCB=y,设AD,PC 交于点G.∵∠AOB=∠COD,∠AGP=∠CGD,∴∠B +∠BAO=∠D +∠OCD,∠P+∠PAG=∠D+∠PCD,∴∠B+2x=∠D+180∘−2y,∠P+x=∠D+180∘−y,①②由①-2×②,得∠B-2∠P=-∠D-180°,∴2∠P-∠B-∠D=180°.故选B.3.解:(1)∵∠D +∠OBD =∠A+∠ACD=∠BOC,又∵∠A=48°,∠D=46°,∴∠OBD=∠ACD+2°.∵BE 平分∠ABD, CE 平分∠ACD,∴∠DBF=12∠OBD=12∠ACD+1°,∠OCG=12∠ACO.∵∠D+∠DBF+∠BFD=180°=∠BEC+∠OCG+∠CFE,∠BFD=∠EFC,∴∠D+12∠ACD+1∘=∠BEC+12∠ACD,∴∠BEC=∠D+1°=47°;(2)∵∠ACD+∠DCH=180°,CM平分∠DCH 交直线BF 于点M, ∴∠DCM=12∠DCH=12(180∘−∠ACD)=90∘−12∠ACD.∵∠MFC=∠D+∠DBF=∠D+ 12∠ACD+1°,∠MFC+∠DCM+∠BMC=180°,∴∠BMC=180°-∠MFC-∠DCM =180∘−∠D+12∠ACD+1∘−90∘−12∠ACD=89∘−∠D=43∘.突破20 导角模型(四) 燕尾形1.20° 解:连接BD 并延长至点E.∵∠1=∠A+∠ABD,∠2=∠C+∠CBD,∴∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC.∵∠ADC = 105°,∠ABC = 63°,∠BAD=22°,∴∠C=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°—63°—22°=20°.故答案为20°.2.70° 解:连接AD,连接AE 并延长到点M，连接AF 并延长到点N.∵∠BEM=∠BAE+∠B,∠DEM=∠DAE+∠ADE,∠DFN = ∠DAF + ∠ADF,∠CFN=∠CAF+∠C,∴∠BEM +∠DEM +∠DFN +∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE + ∠DAF + ∠ADF +∠CAF+∠C,即∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C,∴72°+∠CFD=52°+25°+35°+30°,∴∠CFD=70°.故答案为70°.3.解:延长BE 交AC于点F.∵BE 平分∠ABD, CE 平分∠ACD,∴可设∠ABE = ∠DBE = x,∠ACE=∠DCE=y,则∠BEC=∠EFC+∠ACE,∠EFC=∠A +∠ABE,∴∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE=∠A+x+y,∴∠A=∠BEC-(x+y).同理可得∠D=∠BEC+∠DBE+∠DCE=∠BEC+x+y,∴∠A+∠D=∠BEC-(x+y)+∠BEC+x+y=2∠BEC=220°,∴∠BEC=110°.4.解:(1)设AE,BD 交于点F,延长ED 交AC 于点G.∵AE 平分∠BAC, DE 平分∠BDC,∴可设∠BAE=∠CAE=x,∠BDE=∠CDE=y.∵∠B+∠BAE=∠BDE+∠E=∠BFE,∴50°+x=y+∠E①.∵∠E+∠CAE=∠DGC,∠CDE=∠DGC+∠C,∴∠CDE=∠E+∠CAE+∠C,∴y=∠E+x+20°②,将②代入①,得50°+x=∠E+x+20°+∠E,解得∠E=15°;(2)∠E=1(∠B−∠C).2同(1)可得∠B+x=y+∠E①,y=∠E+x+∠C②.将②代入①，得∠B+x=∠E+x+∠C+∠E,∴∠B-∠C=2∠E,∴∠E=1(∠B−∠C).2。