7.21-海州讲坛(新高二)数学答案

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2023-2024学年山东省滨州市联考高二下册期中质量监测数学模拟试题一、单选题1．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，送给甲、乙两人，则共有（）种不同的送法.A ．6B ．5C ．3D ．2【正确答案】A【分析】直接利用排列计数原理可得结果.【详解】从3幅不同的画中选出2幅，送给甲、乙两人，不同的选法种数为23A 6=种.故选：A.2．某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试，那么该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率为（）A ．81100B ．1825C ．45D ．35【正确答案】C【分析】利用古典概型即可求得该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率.【详解】记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A ，则29210A 4()A 5P A ==,则该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率为45故选：C3．有一散点图如图所示，在5个数据(),x y 中去掉()310D ，后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．残差平方和变小C ．变量x ，y 负相关D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【正确答案】B【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A,去掉()310D ，后，相关性变强，相关系数r 变大，对于B,残差平方和变小，故B 正确，对于C ，散点的分布是从左下到右上，故变量x ，y 正相关，故C 错误，对于D ，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故D 错误，故选：B4．已知随机变量X 服从参数为0.3的两点分布，若21Y X =+，()E Y =（）A ．0.3B ．0.7C ．1.6D ．2.4【正确答案】C【分析】计算()0.3E X =，根据()()21E Y E X =+计算得到答案.【详解】随机变量X 服从参数为0.3的两点分布，则()0.3E X =，()()()2121 1.6E Y E X E X =+=+=.故选：C5．若47270127(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则3a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【正确答案】B【分析】根据展开式的特征，将47(1)x x ++转化为47(2)1[(2)][]2x x +-++-，利用二项式展开式的通项公式即可求得答案.【详解】由题意得4747270127(1)[(2)2][(2)1](2)(2)(2)x x x x a a x a x a x ++=+-++-=+++++++ ，故1144347C (2)C (1)83527a =-+-=-+=,故选：B6．甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是0.4，乙获胜的概率是0.6，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（）A ．0.144B ．0.352C ．0.432D ．0.648【正确答案】D【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出乙获胜的概率，相加即为答案.【详解】两局结束比赛，乙获胜的概率为()222C 0.60.36=；三局结束比赛，则前两局乙胜一局，甲胜一局，第三局乙获胜，故乙获胜的概率为12C 0.60.40.60.288⨯⨯⨯=，故乙最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648故选：D.7．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为34；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为13；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为25，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（）A ．3760B ．35C ．16D ．920【正确答案】A【分析】利用条件概率公式即可求得电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率.【详解】电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为331237454360⨯+⨯=故选：A8．祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率π”精算到小数点后第七位，即3.和3.之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解π，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为（）A ．328B ．360C ．2160D ．2260【正确答案】C【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6的这7位数字的随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去不大于3.15的种数，不大于3.15的数只有小数点前两位为11，12或14，其他全排列.【详解】由于数字1，4，1，5，9，2，6中有两个相同的数字1，则进行随机排列可以得到的不同个数有7722A A ，而只有小数点前两位为11，12或14时，排列后得到的数字不大于3.15，故不大于3.15的不同个数有553A 种，所以得到的数字大于3.15的不同个数有：75752232160A A A -=种；故选：C.二、多选题9．在5道数学试题中有函数题3道，概率题2道，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则（）A ．“从5道试题中不放回的随机抽取2道”中包含10个等可能的样本点B ．第1次抽到函数题的概率25P =C ．第1次抽到函数题且第2次抽到概率题的概率310P =D ．第1次抽到函数题的条件下，第2次抽到概率题的概率12P =【正确答案】CD【分析】设事件A 为“第1次抽到函数题”，设事件B 为“第2次抽到概率题”，由条件求出样本空间的样本点的个数，即可判断A ；由古典概型概率公式即可判断B ；求出事件AB 所包含的样本点数，求出()P AB ，即可判断C ；由条件概率公式求出(|)P B A ，即可判断D ．【详解】设事件A 为“第1次抽到函数题”，设事件B 为“第2次抽到概率题”，从5道题中每次不放回地随机抽取2道题，试验的样本Ω包含20个等可能的样本点，即()20n Ω=，对于A ：“从5道试题中不放回的随机抽取2道”包含的样本点个数为25A 20=个，故A 错误；对于B ：第1次抽到函数题的概率35P =，故B 错误；对于C ：因为1132()6n AB A A =⨯=，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω，故C 正确；对于D ：在缩小的样本空间A 上求(|)P B A ，已知第一次抽到函数题，还剩下4道题，其中2道函数题，2道概率题，所以在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率21(|)42P B A ==，故D 正确；故选：CD ．10．下列关于变量间的线性相关系数r 说法正确的是（）A ．相关系数r 的取值范围为[]1,1-B ．|r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上C ．两个变量正相关的充要条件是0r >D ．相关系数r 越小，则变量间的线性相关性越弱【正确答案】ABC【分析】利用相关系数r 的取值范围判断选项A ；利用|r |=1的充要条件判断选项B ；利用两个变量正相关的充要条件判断选项C ；利用变量间的线性相关性与r 的关系判断选项D.【详解】选项A ：相关系数r 的取值范围为[]1,1-.判断正确；选项B ：|r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.判断正确；选项C ：两个变量正相关的充要条件是0r >.判断正确；选项D ：相关系数r 的绝对值越小，则变量间的线性相关性越弱.判断错误.故选：ABC11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =(例如10100)，其中A 的各位上的数字()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时()A ．X 服从二项分布B ．()8281P X ==C ．83EX =D ．83DX =【正确答案】AC【分析】分别写出X 的可能值，并计算其概率，然后判断X 的概率分布类型，并通过数学期望和方差公式计算期望和公差即可.【详解】由二进制数A 的特点，知后4位上的数字的填法有5类：①后4位上的数字均为0，则X 0=，()4110381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；②后4位上的数字中只出现1个1，则1X =，()13142181C =3381P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③后4位上的数字中出现2个1，则2X =，()22242182C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；④后4位上的数字中出现3个1，则3X =，()313421323C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤后4位上的数字均为1，则4X =，()42164381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.由上述可知2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 正确；易知B 错误；28433EX =⨯=，故C 正确；2184339DX =⨯⨯=，故选:AC.12．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（）A ．()1132P X ==B ．()72E X =C ．当P 最大时，3X =D ．()54D X =【正确答案】ABD【分析】令1Y X =-，分析可知1~(5,)2Y B ，利用独立重复试验的概率公式可判断AC 选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B 选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D 选项．【详解】记事件A =“向右下落”，则事件A =“向左下落”，且1()()2P A P A ==，令1Y X =-，因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数Y 加上1，而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则1~(5,)2Y B ，对于A ，511(1)(0)(1)232P X P Y ====-=，故A 正确；对于B ，17()()151,22E X E Y =+=⨯+=故B 正确；对于C,511(1)(0)(1)232P X P Y ====-=，145115(2)(1)C (1)2232P X P Y ====⨯-=，22351110(3)(2)C (1)2232P X P Y ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，33251110(4)(3)C (1)2232P X P Y ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭，445115(5)(4)C (1)2232P X P Y ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，55511(6)(5)C (1)232P X P Y ====⨯-=，故当2X =或3X =时，概率最大，故C 错误，对于D ，115()()5(1)224D X D Y ==⨯⨯-=，故D 正确．三、填空题13．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，恰好出现3次正面朝上的概率为_______________．【正确答案】15128【分析】先求得正面向上的概率，再求得恰好出现3次正面向上的概率即可．【详解】设“正面向上”为事件A ，则()12P A =，则()11122P A =-=，所以恰好出现3次正面向上的概率为3731011115C 120221024128P ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故15128．14．某超市热销的一种袋装面粉质量X （单位：kg ）服从正态分布2(15)N σ,且满足(15.5)0.8P X <=，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在14.515.5 kg 之间的概率为_________.【正确答案】0.6/35【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案.【详解】由于袋装面粉质量X （单位：kg ）服从正态分布2(15)N σ,且满足(15.5)0.8P X <=，故()15.510.80.2P X ≥=-=，则()14.50.2P X ≤=，故从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在14.515.5 kg 之间的概率为10.20.20.6--=，故0.615．已知两个离散型随机变量,ξη，满足31,ηξξ=+的分布列如下：ξ012Pab16当()23E ξ=时，()D η=______________________.【正确答案】5【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解11,23a b ==，由方差的公式以及性质即可求解.【详解】由题意可知：116a b +=+，且()1233E b ξ=+=，解得11,23a b ==，所以()2221211115122333639D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()5319959D D D ηξξ=+==⨯=,故5四、双空题16．Poisson 分布是常见的离散型概率分布，其概率分布列为()e!k P X k k λλ-==(0,1,2,)k = ，其中e 为自然对数的底数，λ是Poisson 分布的均值.当二项分布的n 很大(20)n ≥而P 很小(0.05)P ≤时，Poisson 分布可作为二项分布的近似，假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用20.05J /m 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，则λ=________；已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率为_________.【正确答案】331e --/31e --+【分析】利用二项分布均值公式求得λ的值，利用对立事件概率求得致死率.【详解】由题意得，1000020n =≥，0.00030.05P =≤，此时Poisson 分布可作为二项分布的近似，此时100000.00033λ=⨯=故不致死的概率为033(0)e 0!P X λ--===，则致死率为31(0)1e P X --==-故3，31e --五、解答题17．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，求它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.【正确答案】(1)0.0525(2)37【分析】（1）利用全概率公式即可求得任取一个零件是次品的概率；（2）利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率.【详解】（1）设B =“任取一个零件是次品”，A 甲=“零件为甲车床加工”，A 乙=“零件为乙车床加工”，A 丙=“零件为丙车床加工”，则A A A Ω=甲乙丙U U ，且A 甲，A 乙，A 丙，两两互斥，根据题意得()0.25,()0.3,()0.45,P A P A P A ===甲乙丙()|0.06,(|)(|)0.05P B A P B A P B A ===甲乙丙.由全概率公式得()()()|()(|)()((|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++甲甲乙乙丙丙0.250.060.30.050.450.050.0525.=⨯+⨯+⨯=（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”就是计算在B 发生的条件下事件A 丙发生的概率.()()(|)0.450.053(|).()()0.05257P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====丙丙丙丙18．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：月份x 12345不戴头盔人数y120100907565(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡1510不伤亡2550参考数据和公式：511215i i i x y ==∑，121ˆ,ni i i nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++()2P k χ≥0.100.050.010.005k 2.7063.8416.6357.879【正确答案】(1)ˆ13.5130.5yx =-+；(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关【分析】（1）先求得ˆˆ,ba ，进而求得不戴头盔人数y 与月份x 之间的回归直线方程；（2）求得2χ的值并与3.841进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【详解】（1）由题意知，1234535x ++++==，120100907565905y ++++==，5152221512155390ˆ13.555535iii ii x yxybxx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ9013.53130.5a y bx =-=+⨯=所以，回归直线方程为ˆ13.5130.5yx =-+（2）22100(15502510)4012560756 3.84χ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关19．（1）计算：3477747842+-A A A A ．（2）已知56711710m m m C C C -=，求1236678++++++m m m m C C C C 的值．【正确答案】（1）34；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据组合数的计算公式即可得解.【详解】（1）347774784247652765476543218765+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯A A A A 76543123765(43218)164⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-．（2）由56711710m m m C C C -=可得!(5)!!(6)!7(7)!5!6!107!--⨯⨯--=⨯m m m m m m 即!(5)!(6)(5)!7(7)(6)(5)!5!65!10765!-⨯-⨯-⨯⨯----=⨯⨯⨯⨯m m m m m m m m m ，可得(6)(7)(6)16106----=⨯m m m ，整理可得：223420m m -+=，解得2m =或21m =，因为05m ≤≤，可得2m =，所以23453454556678778889126+++=++=+==C C C C C C C C C C ．20．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.①第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12；②展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大.已知2⎛+ ⎝nx 的展开式中，(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.【正确答案】(1)2187，128(2)114【分析】（1）利用二项式定理，计算第4项和倒数第4项的系数，得到3333C 21C 22n n n n --⋅=⋅，解得答案，或根据第四项和第五项的二项式系数相等且最大，得到展开式共有8项，得到答案.（2）确定展开式共有8项，有理项共4项，根据插空法得到概率为844548A A A ⋅，计算得到答案.【详解】（1）选择①：展开式的通项为1522221C ()(2)C 2n rn rr nrrr rnTx x x---+=⋅⋅⋅=⋅，展开式中第4项的系数为33C 2n ⨯，倒数第4项的系数为33C 2n n n --⨯，3333C 21C 22n n n n--⋅=⋅，即61122n -=，7n =，令1x =可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为72128=.选择②：展开式的通项为1522221C ()(2)C 2n rn rr nrrr r nTx x x---+=⋅⋅⋅=⋅，由展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大，则展开式共有8项，所以7n =.令1x =可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为72128=.（2）展开式共有8项，当522rn -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，由插空法可得有理项不相邻的概率为844548A A 1A 14=⋅.21．某学校高一年级上学期有3次英语素养测评，测评结果为一等奖和二等奖，已知甲同学每次测评获一等奖的概率为13，乙同学每次测评获一等奖的概率为12．(1)求甲同学在3次测评中恰有1次获得一等奖且第2次测评未获得一等奖的概率；(2)由于客观因素，这个学期第一次测评成绩作废，后两次成绩作为评价学生的依据.每次测评获得一等奖记5分，二等奖记3分，甲同学英语素养测评得分为X ，乙同学得分为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求ξ的分布列与期望．【正确答案】(1)827(2)分布列见解析，23-【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）由题意可得ξ的可能取值有4-，2-，0，2，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【详解】（1）记“甲同学在3次测评中恰有1次获得一等奖且第2次测评未获得一等奖”为事件A ，甲同学第i 次测试获得一等奖为事件i A ，则123123=+A A A A A A A ，因为1A ，2A ，3A 相互独立，()()()1231===3P A P A P A ，()()()1232===3P A P A P A ，所以()()123123A A P A P A A A A =+()()()()()()123123122221833333327P A A A P A P A P P P A =+=⨯⨯+⨯⨯=.（2）由题意可得ξ的可能取值有4-，2-，0，2，4，所以()()()2221414610()()32369P P X P Y ξ=-======，()()()()()268810P P X P Y P X P Y ξ=-===+==22222211212111(()(()233232(C C C 3==+，()()()()()()()066881010P P X P Y P X P Y P X P Y ξ====+==+==22212122221113C ()332362111(()C +()()3232=+=⨯⨯，()()()()()210886P P X P Y P X P Y ξ====+==22121226111()C ()C 321133()22==⨯+，()()()221114106(()3236P P X P Y ξ======，所以ξ的分布列为ξ4-2-024P1913133616136所以()1113112(4)(2)02493663336E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=-.22．某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分．(1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第n 次回答的是甲的概率是n P ，若11P =．①求3P 和4P ；②写出n P 与1n P -之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小．【正确答案】(1)310(2)①313P =，429P =；②11133n n P P -+=，甲的可能性的大【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接计算即可；（2）①根据题意可直接得出3P 和4P ；②当2n ≥时，可得1110(1)3n n n P P P --=⋅+-⨯，化简即可得出n P 与1n P -之间的关系式；由n P 与1n P -之间的关系式得出14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，13-为公比的等比数列，写出通项公式，分别计算出9P 和10P 即可得出答案．【详解】（1）该小组抽中会操作的实验题目的情况有23C 种，该小组抽取实验题目的所有情况有25C 种，故该小组在第一轮得20分的概率为2325C 3C 10P ==．（2）①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以20P =，则313P =，431112(1)(1)3339P P =-⨯=-⨯=；②由第n 次回答的是甲的概率是n P ，得当2n ≥时，第n 1-次回答的是甲的概率为1n P -，第n 1-次回答的不是甲的概率为11n P --，则111110(1)(1)33n n n n P P P P ---=⋅+-⨯=-，则n P 与1n P -之间的关系式11133n n P P -+=，以上关系式可化为1111()434n n P P --=--，且11344P -=，所以14n P ⎧⎫-⎨⎩⎭是以34为首项，13-为公比的等比数列，所以，1311()434n n P -=⨯-+，89311()434P =⨯-+，910311(434P =⨯-+，所以910P P >，所以第9次回答的是甲的可能性比第10次回答的是甲的可能性的大．。

面α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助___集合 __中的符号语言来表示，___点___为元素，直 线、平面都是点构成的__集合 __．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与
直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符 号“ ”，“ ”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下： 点 P 在直线 a 上，记作 P_ ___a； 点 Q 不在直线 a 上，记作 Q a； 点 A 在平面α内，记作 Aα； 点 B 不在平面α内，记作 B__ _α； 直线 a 在平面α内，记作 a_ _α； 直线 l 不在平面α内，记作 l α；
符号语言：若点 A直线 a，则 A 和 a 确定一个平面 ．如图所示：
（2）推论 2：经过两条__相交直线___，有且只有一个平面．
符号语言： a b P ⇒有且只有一个平面 ，使 a ， b ．如图所示：
（3）推论 3：经过两条__平行直线___，有且只有一个平面．
符号语言： a∥b ⇒有且只有一个平面 ，使 a ， b ．如图所示：
例 2．平面 内的直线 a、b 相交于点 P，用符号语言概述为“ a b P ，且 P∈ ”，
是否正ห้องสมุดไป่ตู้？ 【答案】不正确
【解析】不正确．应表示为： a ， b ，且 a∩b=P．相交于点 P 的直线 a、b 都在平 面 内，也可以说，平面 经过相交于点 P 的直线 a、b．题中的符号语言只描述了直线 a、 b 交于点 P，点 P 在平面 内，而没有描述直线 a、b 也都在平面内，下图也是题中的符号
语言所表示的情形．
【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏． 立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们强须准确 地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出 来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三 种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性 的培养． 【变式 1】指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． （1）如图 1，直线 a 在平面α内．