最新北京市五中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理

2023-2024学年北京十二中高二（上）期中数学试卷一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．直线y ＝﹣2x +1的一个方向向量是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（2，﹣1）C ．（1，2）D ．（2，1）2．以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=√5 B ．（x +1）2+（y +2）2=√5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．（x +1）2+（y +2）2＝53．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →=AA 1→+xAB →+yAD →，则x ，y 的值是（ ） A ．x =12，y =12B ．x ＝1，y =12C ．x =12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则BD 1→•AD →等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．√635．“a ＝1”是“直线ax +（a ﹣1）y ﹣1＝0与直线（a ﹣1）x +ay +1＝0垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下面结论正确的个数是（ ）①已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则c →，a →+c →，a →−c →能构成空间的一个基底； ②任意向量a →，b →，c →(a →≠0→)满足a →⋅b →=a →⋅c →，则b →=c →；③已知向量a →=(1，1，x)，b →=(−3，x ，9)，若a →与b →共线，则x ＝﹣3． A ．3B ．2C ．1D ．07．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +4y ﹣5＝0上任意一点作圆C 的切线，则切线长的最小值为（ ） A ．4B ．√15C ．√17D ．58．已知A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与射线AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≤﹣4或k ≥−15B ．−4≤k ≤34C ．−4≤k ＜−15D ．k ≤﹣4或k ＞−159．已知直线l 1：x ﹣my +1＝0过定点A ，直线l 2：mx +y ﹣m +3＝0过定点B ，l 1与l 2相交于点P ，则|P A |2+|PB |2＝（ ） A ．10B ．13C ．16D ．2010．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，OA →=(1，2，3)，OB →=(2，1，2)，OP →=(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →⋅QB →取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．(12，34，13) B ．(12，32，34) C ．(43，43，83)D ．(12，34，73)11．已知A （1，0），B （4，0），D （0，3），动点P 满足|PB |＝2|P A |，则2|PD |+|PB |的最小值是（ ） A ．8B ．√10C ．10D ．2√1012．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（ ） A ．2 B ．1或3 C ．2或4D ．2−√17或2+√17二、填空题.本题共6小题，每题5分，共30分.13．直线2x ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣y +1＝0之间的距离是 ．14．下面三条直线l 1：3x +y ＝4，l 2：x ﹣y ＝0，l 3：2x ﹣my ＝4不能构成三角形，请给出一个符合题意的m 的值 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝|AA 1|＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是 ．16．已知空间向量a →=(−1，2，4)，b →=(1，−4，2)，c →=(0，4，x)，(x ∈R)．（2）若a →，b →，c →共面，则x ＝ ．17．已知空间中三点A （1，0，0），B （2，1，﹣1），C （0，﹣1，2），则点C 到直线AB 的距离为 ． 18．已知点P （2，0）和圆O ：x 2+y 2＝36上两个不同的点M ，N ，满足∠MPN ＝90°，Q 是弦MN 的中点，给出下列三个结论： ①|MP |的最小值为4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点A （5，3），点B （5，5），则存在点Q ，使得∠AQB ＝90°． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题.本题共5小题，共60分.19．（12分）已知△ABC 三边所在直线方程分别为AB ：x +y +1＝0，BC ：x ﹣y +3＝0，CA ：2x +y ﹣2＝0． （1）求点B 坐标；（2）求与点B 关于直线CA 对称的点D 的坐标；（3）求在平面ABC 内，过点B 且与直线CA 无公共点的直线方程．20．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，E 为AA 1的中点，F 为DD 1的中点，AN =13NB ． （1）证明：四棱锥N ﹣EFC 1B 1为阳马； （2）求点B 1到平面NEF 的距离．21．（12分）已知点P （0，﹣2）及圆C ：x 2+y 2﹣6x +4y ﹣12＝0． （1）求圆心C 的坐标及半径r 的大小；（2）设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝8时，求以线段MN 为直径的圆C 1的方程； （3）设直线ax ﹣y +3＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点Q （1，0）的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，G 是棱CC 1上靠近点C 的三等分点．（2）从①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为1； ②直线C 1C 与底面ABC 所成的角为60°； ③异面直线BB 1与AE 所成的角为30°． 这三个条件中选择一个作为已知．（ⅰ）判断点A 是否在平面EFG 内，并说明理由； （ⅱ）求平面ACC 1与平面EFG 夹角的余弦值．23．（12分）记集合R n ＝{（x 1，x 2，⋯，x n ）|x i ∈R ，i ＝1，2，⋯，n }（n ≥2，n ∈N ），对于A(a 1，a 2，⋯，a n )∈R n ，B(b 1，b 2，⋯，b n )∈R n ，定义：AB →=(b 1−a 1，b 2−a 2，⋯，b n −a n )为由点A ，B 确定的广义向量，d(AB →)=|b 1−a 1|+|b 2−a 2|+⋯+|b n −a n |为广义向量的绝对长度， （1）已知A （1，2，﹣1，0）∈R 4，B （0，2，2，1）∈R 4，计算d(AB →)； （2）设A ，B ，C ∈R n ，证明：d(AC →)+d(CB →)≥d(AB →)；（3）对于给定A ，B ∈R n，若P(p 1，p 2，⋯，p n )∈R n满足d(AP →)+d(PB →)=d(AB →)且p i ∈Z （i ＝1，2，⋯，n ），则称P 为R n 中关于A ，B 的绝对共线整点，已知A （1，0，3），B （6，5，5）∈R 3， ①R 3中关于A ，B 的绝对共线整点的个数为_____；②若从R 3中关于A ，B 的绝对共线整点中任取m 个，其中必存在4个点（x 1，y 1，z ），（x 2，y 1，z ），（x 3，y 2，z ），（x 4，y 2，z ）（x 1≠x 2≠x 3≠x 4，y 1≠y 2），满足x 1+x 2＝x 3+x 4，则m 的最小值为_____．2023-2024学年北京十二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．直线y ＝﹣2x +1的一个方向向量是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（2，﹣1）C ．（1，2）D ．（2，1）解：因为y ＝﹣2x +1的斜率为﹣2，所以直线的一个方向向量为（1，﹣2）． 故选：A ．2．以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=√5 B ．（x +1）2+（y +2）2=√5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．（x +1）2+（y +2）2＝5解：设以（1，2）为圆心的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝r 2， 圆过原点，则有r 2＝5，则所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5． 故选：C ．3．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →=AA 1→+xAB →+yAD →，则x ，y 的值是（ ） A ．x =12，y =12 B ．x ＝1，y =12C ．x =12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝1解：如图所示，∵AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+12A 1C 1→， 又AB →+AD →=AC →=A 1C 1→，∴AE →=AA 1→+12(AB →+AD →)=AA 1→+12AB →+12AD →， ∵AE →=AA 1→+xAB →+yAD →， ∴x =y =12．4．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则BD 1→•AD →等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．√63解：由题意可得BD 1→•AD →＝（AD 1→−AB →）•AD →＝（AD →+AA 1→−AB →）•AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式＝12+0﹣0＝1 故选：A ．5．“a ＝1”是“直线ax +（a ﹣1）y ﹣1＝0与直线（a ﹣1）x +ay +1＝0垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +（a ﹣1）y ﹣1＝0与直线（a ﹣1）x +ay +1＝0垂直， 则a （a ﹣1）+a （a ﹣1）＝0，解得a ＝0或a ＝1，故“a ＝1”是“直线ax +（a ﹣1）y ﹣1＝0与直线（a ﹣1）x +ay +1＝0垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．6．下面结论正确的个数是（ ）①已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则c →，a →+c →，a →−c →能构成空间的一个基底； ②任意向量a →，b →，c →(a →≠0→)满足a →⋅b →=a →⋅c →，则b →=c →；③已知向量a →=(1，1，x)，b →=(−3，x ，9)，若a →与b →共线，则x ＝﹣3． A ．3B ．2C ．1D ．0解：∵c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，∴c →，a →+c →，a →−c →共面，则c →，a →+c →，a →−c →不能构成空间的一个基底①错误；若a →，b →，c →（a →≠0→）是三个两两垂直的单位向量，显然满足a →⋅b →=a →⋅c →=0，但b →≠c →，②错误； 若a →与b →共线，则存在实数λ满足b →=λa →，即{−3=λ×1x =λ×19=xλ⇒{x =−3λ=−3，③正确．7．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +4y ﹣5＝0上任意一点作圆C 的切线，则切线长的最小值为（ ） A ．4B ．√15C ．√17D ．5解：圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，圆心坐标（3，4），半径为1． 圆心到直线l ：3x +4y ﹣5＝0的距离d =|9+16−5|√3+4=4，∴所得切线长的最小值为√42−12=√15． 故选：B ．8．已知A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与射线AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≤﹣4或k ≥−15B ．−4≤k ≤34C ．−4≤k ＜−15D ．k ≤﹣4或k ＞−15解：由题意得k P A =1+31−2=−4，k AB =−2+3−3−2=−15， 若直线l 过点P （1，1）且与射线AB 相交，则k ＞−15或k ≤﹣4． 故选：D ．9．已知直线l 1：x ﹣my +1＝0过定点A ，直线l 2：mx +y ﹣m +3＝0过定点B ，l 1与l 2相交于点P ，则|P A |2+|PB |2＝（ ） A ．10B ．13C ．16D ．20解：直线l 1：x ﹣my +1＝0过定点A （﹣1，0），直线l 2：mx +y ﹣m +3＝0化为m （x ﹣1）+y +3＝0，令{x −1=0y +3=0，解得{x =1y =−3，则直线l 2：mx +y ﹣m +3＝0过定点B （1，﹣3），∵直线l 1：x ﹣my +1＝0过定点A ，直线l 2：mx +y ﹣m +3＝0， k l 1⋅k l 2=−1， ∴直线l 1与l 2垂直，∴|P A |2+|PB |2＝|AB |2＝（﹣1﹣1）2+（0+3）2＝13． 故选：B ．10．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，OA →=(1，2，3)，OB →=(2，1，2)，OP →=(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →⋅QB →取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） 131133C ．(43，43，83)D ．(12，34，73)解：因点Q 在直线OP 上运动，则OQ →∥OP →，设OQ →=tOP →=(t ，t ，2t)，则Q （t ，t ，2t ）， 因为：OB →=(2，1，2)，OA →=(1，2，3)， 所以A （1，2，3），B （2，1，2），因此：QB →=(2−t ，1−t ，2−2t)，QA →=(1−t ，2−t ，3−2t)，于是得QA →⋅QB →=(1−t)(2−t)+(2−t)(1−t)+(3−2t)(2−2t)=6(t −43)2−23； 则当t =43时，取得最小值为−23，此时点Q (43，43，83)， 所以当QA →⋅QB →取得最小值时，点Q 的坐标为(43，43，83)． 故选：C ．11．已知A （1，0），B （4，0），D （0，3），动点P 满足|PB |＝2|P A |，则2|PD |+|PB |的最小值是（ ） A ．8B ．√10C ．10D ．2√10解：动点P 满足|PB |＝2|P A |，所以2|PD |+|PB |＝2|PD |+2|P A |≥2|AD |（当且仅当A ，P ，D 三点按顺序共线时取等号）， 又|AD |=√12+32=√10， 所以2|PD |+|PB |的最小值为2√10． 故选：D ．12．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（ ） A ．2 B ．1或3 C ．2或4D ．2−√17或2+√17解：由题意可知，满足题意时以点A 为球心，半径为1的球与以点B 为球心，半径为4的球内切， 则球心距等于半径之差，即：√m −22+22+22=4−1=3， 解得：m ＝1或m ＝3， 故选：B ．二、填空题.本题共6小题，每题5分，共30分. 13．直线2x ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣y +1＝0之间的距离是 2√55． 解：易知直线2x ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣y +1＝0平行，这两条直线间的距离为d =|−1−1|√2+(−1)=2√55． 故答案为：2√55． 14．下面三条直线l 1：3x +y ＝4，l 2：x ﹣y ＝0，l 3：2x ﹣my ＝4不能构成三角形，请给出一个符合题意的m 的值 −23（或2或﹣2） ．解：当直线l 1∥l 3时，﹣3m ＝2，得m =−23； 当直线l 2∥l 3时，﹣m ＝﹣2，得m ＝2；解方程组{3x +y =4x −y =0得直线l 1和l 2的交点为（1，1），当直线l 3过点（1，1）时，2﹣m ＝4，解得m ＝﹣2．综上，当m =−23或m ＝2或m ＝﹣2时，三条直线不能构成三角形． 故答案为：−23（或2或﹣2）．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝|AA 1|＝1，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是 √2 ．解：根据平行四边形法则可得AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，所以|AC 1→|2＝（AB →+AD →+AA 1→）2＝|AB |2+|AD |2+|AA 1|2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→=1+1+1+2×2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°＝2，所以AC 1=√2， 故答案为：√2．16．已知空间向量a →=(−1，2，4)，b →=(1，−4，2)，c →=(0，4，x)，(x ∈R)． （1）若a →⊥c →，则x ＝ ﹣2 ； （2）若a →，b →，c →共面，则x ＝ ﹣12 ．解：（1）因为a →⊥c →，所以a →⋅c →=0，即0+8+4x ＝0，解得x ＝﹣2； →→所以（0，4，x ）＝m （﹣1，2，4）+n （1，﹣4，2）＝（﹣m +n ，2m ﹣4n ，4m +2n ）， 所以{−m +n =02m −4n =44m +2n =x ，解得{m =−2n =−2x =−12．故答案为：（1）﹣2；（2）﹣12．17．已知空间中三点A （1，0，0），B （2，1，﹣1），C （0，﹣1，2），则点C 到直线AB 的距离为 √63． 解：空间中三点A （1，0，0），B （2，1，﹣1），C （0，﹣1，2）， 可得AB =√(2−1)2+(1−0)2+(−1−0)2=√3 AC =√(0−1)2+(−1−0)2+(2−0)2=√6 BC =√(0−2)2+(−1−1)2+(2+1)2=√17． cos B =2⋅3⋅17=51，sin B =√1−(7√51)2=√2√51， 点C 到直线AB 的距离为：BC sin B =√17×√2√51=√63．故答案为：√63． 18．已知点P （2，0）和圆O ：x 2+y 2＝36上两个不同的点M ，N ，满足∠MPN ＝90°，Q 是弦MN 的中点，给出下列三个结论： ①|MP |的最小值为4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点A （5，3），点B （5，5），则存在点Q ，使得∠AQB ＝90°． 其中所有正确结论的序号是 ①② ．解：点M 在圆O ：x 2+y 2＝36上，设M （6cos θ，6sin θ）（θ∈[0°，360°））， 则|MP |=√(6cosθ−2)2+(6sinθ)2=√40−24cosθ， 当cos θ＝1时，|MP |取得最小值，最小值为4，①正确； 设点Q （x ，y ），则由题意得：|PQ |2＝|QM |2＝|OM |2﹣|OQ |2， 则（x ﹣2）2+y 2＝36﹣（x 2+y 2），整理得：（x ﹣1）2+y 2＝17， 所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；以AB 为直径的圆，圆心为（5，4），半径为1，方程为：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1， 下面判断此圆与点Q 的轨迹方程（x ﹣1）2+y 2＝17是否有交点， 由于√(5−1)2+42=4√2＞√17+1，两圆相离， 故不存在点Q ，使得∠AQB ＝90°，③错误．故答案为：①②．三、解答题.本题共5小题，共60分.19．（12分）已知△ABC 三边所在直线方程分别为AB ：x +y +1＝0，BC ：x ﹣y +3＝0，CA ：2x +y ﹣2＝0．（1）求点B 坐标；（2）求与点B 关于直线CA 对称的点D 的坐标；（3）求在平面ABC 内，过点B 且与直线CA 无公共点的直线方程．解：（1）联立方程组{x +y +1=0x −y +3=0，解得{x =−2y =1， ∴B （﹣2，1）；（2）设D （m ，n ），则BD ⊥CA ，且BD 的中点在直线CA 上，∴{n−1m+2⋅(−2)=−12⋅m−22+n+12−2=0，解得{n =3m =2． ∴D （2，3）；（3）记过点B 且与直线CA 无公共点的直线为l ，则l ∥CA ，∴k l ＝k CA ＝﹣2，∴直线l 的方程为：y ﹣1＝﹣2（x +2），即2x +y +3＝0，∴过点B 且与直线CA 无公共点的直线方程为2x +y +3＝0．20．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，E 为AA 1的中点，F 为DD 1的中点，AN =13NB ．（1）证明：四棱锥N ﹣EFC 1B 1为阳马；（2）求点B 1到平面NEF 的距离．解：（1）证明：因为E 为AA 1的中点，F 为DD 1的中线，所以EF ∥AD ∥B 1C 1，EF ＝AD ＝B 1C 1，EF ⊥面ABB 1A 1，所以四边形EFC 1B 1为矩形，因为A 1E ＝AE =12A 1B 1＝2，AN =13NB =14AB ＝1=12A 1E ，A 1B 1⊥AA 1，AA 1⊥AB ，所以△ANE ∽△A 1EB 1，NE ⊥B 1E ，又因为EF ⊥面ABB 1A 1，所以EF ⊥EN ，又B 1E ∩EF ＝E ，所以EN ⊥面EFC 1B 1，所以四棱锥N ﹣EFC 1B 1为阳马．（2）如图建立空间直角坐标系：因为正方体棱长为4，所以A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0），D （0，0，0），A 1（4，0，4），B 1（4，4，4），C 1（0，4，4），D 1（0，4，4），E （4，0，2），F （0，0，2），N （4，1，0），B 1N →=（0，﹣3，﹣4），EF →=（﹣4，0，0），NE →=（0，﹣1，2），设平面NEF 的法向量为n →=（x ，y ，z ），所以{n →⋅EF →=−4x =0n →⋅NE →=−y +2z =0，解得x ＝0，令z ＝1，则y ＝2，所以n →=（0，2，1），所以n →•B 1N →=（0，2，1）•（0，﹣3，﹣4）＝﹣10， 所以点B 1到平面NEF 的距离为|n →⋅B 1N →|n →||=5=2√5． 21．（12分）已知点P （0，﹣2）及圆C ：x 2+y 2﹣6x +4y ﹣12＝0．（2）设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝8时，求以线段MN 为直径的圆C 1的方程；（3）设直线ax ﹣y +3＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点Q （1，0）的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为x 2+y 2﹣6x +4y ﹣12＝0，所以（x ﹣3）2+（y +2）2＝25，所以圆C 的圆心坐标为 （3，﹣2），半径r ＝5．（2）由（1）知C （3，﹣2），P （0，﹣2），由两点之间距离得|CP |＝3，设圆心C 到直线l 的距离为d ，由圆的弦长公式得2√25−d 2=8，解得d ＝3，即d ＝|CP |＝3， 所以P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆Q ，即圆心坐标为（0，﹣2），半径为12|MN|=4， 故以MN 为直径的圆Q 的方程为x 2+（y +2）2＝16．（3）假设过点Q （1，0）的直线l 2垂直平分弦AB ，则直线l 2必过圆心（3，﹣2），k 2=−2−03−1=−1， 直线ax ﹣y +3＝0的斜率为1，即x ﹣y +3＝0，所以圆心C （3，﹣2）到直线x ﹣y +3＝0的距离d 1=|3+2+3|23， 此时直线ax ﹣y +3＝0与圆C 相离，与题设矛盾，故假设不成立，所以不存在实数a 使得过点Q （1，0）的直线垂直平分弦AB ．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，G 是棱CC 1上靠近点C 的三等分点．（1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）从①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为1；②直线C 1C 与底面ABC 所成的角为60°；③异面直线BB 1与AE 所成的角为30°．这三个条件中选择一个作为已知．（ⅰ）判断点A 是否在平面EFG 内，并说明理由；（ⅱ）求平面ACC 1与平面EFG 夹角的余弦值．解：（1）证明：取AB中点H，连接HA1，HF，又F是BC中点，则FH∥AC∥A1E，又E是A1C1中点，所以HF=12AC＝A1E，所以HF A1E是平行四边形，所以EF∥A1H，A1H⊂平面ABB1A1，EF⊄平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1；（2）（i）选①②③都有：点A不在平面EFG内，G∈平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C，F∉平面AA1C1C，G∉AE，所以FG与AE是异面直线，即F，A，E，G四点不共面，因此点A不在平面EFG内；（ii）选①，作C1O⊥AC于点O，因为平面ACC1A1⊥平面ABC，C1O⊂平面ACC1A1，所以C1O⊥平面ABC，S△ABC=√34×22=√3，V C1−ABC =13CO1⋅S△ABC=13C1O×√3=1，所以C1O=√3，又CC1＝AC＝2，所以CO=√22−(√3)2=1=12CA，即O是AC中点，而△ABC是等边三角形，连接OB，所以OB⊥AC，分别以OB，OC，OC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则B （√3，0，0），C （0，1，0），F （√32，12，0）， C 1（0，0，√3），A 1（0，﹣2，√3），E （0，﹣1，√3），CG →=13CC 1→=13(0，−1，√3)=(0，−13，√33)，所以FG →=FC →+CG →=(−√32，12，0)+(0，−13，√33)=(−√32，16，√33)， EF →=(√32，32，−√3)，设平面EFG 的一个法向量是m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅EF →=√32x +32y −√3z =0m →⋅FG →=−√32x +16y +√33z =0， 取y =√3，得x ＝2，z =52，故m →=(2，√3，52)，显然平面ACC 1A 1的一个法向量是n →=（1，0，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=2√4+3+254=4√5353， 所以平面ACC 1与平面EFG 夹角的余弦值为4√5353； 选②：因为平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，所以CC 1在平面ABC 内的射影是AC ， 所以∠C 1CA 是CC 1与平面ABC 所成的角，即∠C 1CA ＝60°，作C 1O ⊥AC 于点O ，则CO ＝C 1C cos ∠C 1CA ＝2cos60°＝1，所以O 是AC 中点，以下同选①；选③：因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AE 是异面直线BB 1与AE 所成角或其补角，所以∠A 1AE ＝30°，由余弦定理可得：A 1E 2=AA 12+AE 2﹣2AA 1•AE cos30°，即1＝4+AE 2﹣2√3AE ，解得AE =√3，所以AE 2+A 1E 2=AA 12，所以AE ⊥A 1C 1，取AC 中点O ，连接C 1O ，OB ，则由C 1E 与AO 平行且相等，得AOC 1E 是平行四边形，C 1O ∥AE ，所以C 1O ⊥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，所以C 1O ⊥AC ，以下同选①．n ，，，a n )∈R n ，B(b 1，b 2，⋯，b n )∈R n ，定义：AB →=(b 1−a 1，b 2−a 2，⋯，b n −a n )为由点A ，B 确定的广义向量，d(AB →)=|b 1−a 1|+|b 2−a 2|+⋯+|b n −a n |为广义向量的绝对长度，（1）已知A （1，2，﹣1，0）∈R 4，B （0，2，2，1）∈R 4，计算d(AB →)；（2）设A ，B ，C ∈R n ，证明：d(AC →)+d(CB →)≥d(AB →)；（3）对于给定A ，B ∈R n ，若P(p 1，p 2，⋯，p n )∈R n 满足d(AP →)+d(PB →)=d(AB →)且p i ∈Z （i ＝1，2，⋯，n ），则称P 为R n 中关于A ，B 的绝对共线整点，已知A （1，0，3），B （6，5，5）∈R 3， ①R 3中关于A ，B 的绝对共线整点的个数为_____；②若从R 3中关于A ，B 的绝对共线整点中任取m 个，其中必存在4个点（x 1，y 1，z ），（x 2，y 1，z ），（x 3，y 2，z ），（x 4，y 2，z ）（x 1≠x 2≠x 3≠x 4，y 1≠y 2），满足x 1+x 2＝x 3+x 4，则m 的最小值为_____． 解：（1）因为A （1，2，﹣1，0）∈R 4，B （0，2，2，1）∈R 4，所以d(AB →)=|0−1|+|2−2|+|2−(−1)|+|1−0|，所以d(AB →)=5；（2）由已知设A （x 1，x 2，⋯，x n ），B （y 1，y 2，⋯，y n ），C （z 1，z 2，⋯，z n ），则d(AB →)=|y 1−x 1|+|y 2−x 2|+⋯+|y n −x n |，d(AC →)=|z 1−x 1|+|z 2−x 2|+⋯+|z n −x n |，d(CB →)=|y 1−z 1|+|y 2−z 2|+⋯+|y n −z n |，由绝对值三角不等式可得|z i ﹣x i |+|y i ﹣z i |≥|z i ﹣x i +y i ﹣z i |＝|y i ﹣x i |，i ＝1，2，3…，n ，当且仅当（z i ﹣x i ）（y i ﹣z i ）≥0时等号成立，所以d(AC →)+d(CB →)=|z 1−x 1|+|z 2−x 2|+⋯+|z n −x n |+|y 1−z 1|+|y 2−z 2|+⋯+|y n −z n |， d(AC →)+d(CB →)=|z 1−x 1|+|y 1−z 1|+|z 2−x 2|+|y 2−z 2|+⋯+|z n −x n |+|y n −z n |，d(AC →)+d(CB →)≥|y 1−x 1|+|y 2−x 2|+⋯+|y n −x n |，当且仅当（z i ﹣x i ）（y i ﹣z i ）≥0，i ＝1，2，…，n 都成立时等号成立；所以d(AC →)+d(CB →)≥d(AB →)；（3）①设P （t 1，t 2，t 3），t 1，t 2，t 3∈Z 为R 3中关于A ，B 的绝对共线整点，则d(AP →)+d(PB →)=d(AB →)； 因为A （1，0，3），B （6，5，5）∈R 3，所以t1∈{1，2，3，4，5，6}，t2∈{0，1，2，3，4，5}，t3∈{3，4，5}，所以R3中关于A，B的绝对共线整点的个数为6×6×3＝108，②先考虑A，B的绝对共线整点中z坐标都为3的点，考虑取出x坐标分别为1，2，3，5，z坐标为3的点的所有点共24个，因为1，2，3，5中任意两个数的和都不等于另两个数的和，故不存在满足要求的四个点，若取出x坐标分别为1，2，3，5，z坐标为3的点的所有点共24个，加入x坐标为4，z坐标为3的任意点（4，k，3），则存在k∈{0，1，2，3，4，5}，则存在（1，k，3），（4，k，3），（2，h，3），（3，h，3），h≠k，满足要求；同理加入x坐标为6，z坐标为3的任意点都存在满足要求的四个点，由此可证在z坐标都为3的点中取24个点不一定存在满足要求的4个点，但取25个点则一点存在满足要求的4个点，故要满足给定要求，m得最小值为73．。

班级姓名学号成绩一、选择题在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

（每题1.5分，共计45分）在人类追索智慧的过程中，出现了各种各样的哲学派别。

它们在相互辩难中发展，在湍急的思想河流中曲折前进。

回答1～4题。

1．有人说哲学应该研究宇宙中的大问题，有人说哲学应该研究人生问题，也有人说哲学应该研究人类的认识问题。

哲学研究的问题有许多，但_______的关系问题是哲学的基本问题。

A．世界观和方法论 B．唯物主义和唯心主义C．思维和存在 D．辩证法和形而上学2.我们的思想能不能认识现实世界？我们能不能在我们关于现实世界的表象和概念中正确地反映现实？用哲学的语言来说，这个问题叫做A．思维和存在的同一性问题B．思维和存在何为本原的问题C．物质存在是否依赖意识的问题D．物质和意识是否均是本原的问题3．唯物主义和唯心主义是哲学上的两大阵营。

划分唯物主义和唯心主义的标准是A．物质和意识的关系问题B．重视物质生活还是重视精神生活C．对物质和意识哪个是世界本原的不同回答D．承认物质的决定作用，又承认意识的能动作用4．古希腊哲学家泰勒斯提出：“水是万物的始基。

”中国春秋时期《管子》一书中也指出：“水者，何也？万物之本源也。

”他们的观点属于A．唯心主义观点 B.朴素唯物主义观点C．科学的物质观 D.辨证唯物主义观点据《列子·天瑞》记载：“杞国有人忧天地崩坠，身亡所寄，废寝食者。

”因为害怕天地崩坠而不吃不睡固然可笑，但是每一个正常的人从童年时代起，往往会自觉或不自觉地进行着类似的追问和思考。

追问和思考这样的问题，实际上已经不自觉地与哲学发生了联系。

回答5、6题。

5. 人们认识世界，改造世界，都需要智慧，学习哲学可以使人们拥有智慧。

哲学的只会产生于A. 人类的大脑B. 人类的意识C.人类的生理状况D.人类的实践活动6．下列关于哲学的说法中，正确的是①哲学是关于世界观的学问②哲学是系统化理论化的世界观③哲学是科学的世界观和方法论④哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④马克思主义哲学诞生，实现了哲学史上的伟大变革，标志着哲学发展进入了一个崭新时代。

北京市日坛中学2011—2012学年度高二年级 数学（文）学科第 一 学期期 中 练习试题一、选择题（每小题4分，共40分.每题有且只有一个正确选项.） 1.设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是 A ．()()sin f x f x x '+=- B ．()()cos f x f x x '+=-C ．()()sin f x f x x '-=D ．()()cos f x f x x '-= 2.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是A ．1B ．2C ．3D ．43.圆2240x y y +-=在点)P处的切线方程为A ．0x -=B ．0x +=C 20y --=D 20y -+=4.设a b c 、、是空间不同的直线，αβγ、、是空间不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若//,//a b ββ，则 //a b B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若m α⊥，n ⊥m ，n α⊄，则//n α 5.圆C 1: 22(2)(2)1x y ++-=与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交 D. 内切6.函数()xe f x x=在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴，则0()f x =A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 7.如果质点按规律2()s t t t =-（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，则质点在3s 时的瞬时速度为A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s8.直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在9. ()f x '是函数()y f x =的导函数，若()y f x ='的 图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是10.已知1213243()cos ,()(),()(),()()f x x f x f x f x f x f x f x '''====，…1()(),n n f x f x -'=则)(2011x f 等于A ．sin xB ．sin x -C ．cos x D. cos x - 二、填空题（每小题4分，共24分.）11.以点(1,2)C -为圆心的圆被直线30x y ++=截得的弦长为C 的方程是 . 12.曲线1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为 .13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 .14.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = .15. 函数32()35f x x x =-+在区间[]2,2-上的最大值是 . 16.如右图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象， 则 12x x += .三、解答题（共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆C 过点)1,2(-A ，与直线1=+y x 相切，且圆心C 在直线x y 2-=上， 求圆C 方程．18.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线 方程为670x y -+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2ABPB PD ===，PC =，AC 与BD 交于点O ，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD .20.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.。

北京市十一学校 2022-2023 学年高二上学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 x2 8y 的焦点到准线的距离是（ ）．
A． 1 32
B． 1 16
C．2
D．4
2．已知双曲线的上、下焦点分别为 F1(0,4) ， F2(0,4) ，P 是双曲线上一点且
①曲线 C 关于坐标原点对称； ②y 的取值范围是[1,1]；
③曲线 C 是一个椭圆；
④曲线 C 围成区域的面积小于椭圆 E : x2 y2 1围成区域 4
的面积．
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三、解答题 19．设抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的顶点为 O ，焦点为 F ．过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与
A x1, y1 , B x2, y2 (x1 x2 ) 两点，且 AB 6 .
(1)求该抛物线 C 的方程；
(2)已知抛物线上一点 M t, 4 ，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ME ，判
断直线 DE 是否过定点？并说明理由.
试卷第 3 页，共 3 页
PF1 PF2 6 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． x2 y2 1 79
B． x2 y2 1 97
C． y2 x2 1 97
3．双曲线
x2 a
y2 2
1与椭圆
x2 4
y2 a2
1 的焦点相同，则 a 等于（
A．1
B． 2
C．1 或 2
D． y2 x2 1 79
） D．2
4．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C : y2 ax(a 0) 上点 M (1,m) 到焦点的距离为 3，