第一章练习题答案

  • 格式:pdf
  • 大小:77.67 KB
  • 文档页数:3

函数、极限、连续练习题
A
一、填空题
1. 函数()cossinfxxxx=+的奇偶性为 奇函数 ;有界性为 无界函数 ;

2、已知函数11()1xfxx−=+,则()fx=11xx−+;已知函数1()1xfxx−=+,则1()fx=11xx−+;
3. 已知函数()fx的定义域为(0,1),则函数2()fx的定义域为(1,0)(0,1)−∪,(ln)fx的定义域为(1,)e;
4. 写出下列函数的复合过程
(1)
2cos(12)yx=+ 2
yu=

、cosuv=、12vx=+ ;

(2)2sinxye= uye=、2uv=、sinvx=;
5. 函数
2
2
23

()

2

xxfxxx−−
=

−−
的间断点及其类型为1x=−,可去间断点 ,2x=,第二类间断点;

6. 当a=2,b=2时,函数ln(12), 0(), 0sin, 0xxxfxaxbxxx+⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<⎩连续;
7. 当
0x→
时,将无穷小21cosx−、11x+−、2tanxx、2ln(1)x+、33xx+ 按从高阶到低阶排

列,21cosx−、2tanxx、2ln(1)x+、11x+−、33xx+;

8. 函数1xye= 的渐近线及其类型为1y=,水平渐近线;0x=,铅直渐近线.
二、求下列极限

解:(1)
2
2
44434(4)(1)15limlimlim28(4)(2)26xxxxxxxxxxxxx→→→

−−−++
===

−−−++

(2)22211lim(1)limlim21111xxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞+−===++++;

(3)88813(8)(42)422limlimlim342(8)(13)13xxxxxxxxxxx→→→+−−−+−+===−−−++++;(分子分母分别有理化)
(4)4134340014lim()lim(1)lim(1)lim[(1)](1)33xxttxxttxtttexx+→∞→∞→→+=+=+=++=−−;(重要的极限)

(5)00sin1sin112limlim(1)ln(1)()2xxxxxxxexxx→→+−==−−−−;(等价无穷小的替换)
三、有一身高为
a(m)的人在距路灯杆b(m)处沿直线以速度c
(m/s)远离灯杆匀速运动,假设路灯高

h(m)(ha>),求人影的影长s
与时间t 的函数关系.

解:因为ashsbct=++,所以()abctsha+=−,0t>.

B
一、填空

1. 已知函数1()1fxx=+,则1(())ffx=121xx++;
2. 已知(cos)1cos2xfx=−,则()fx=222x−;
3. 已知21lim21xxaxbx→−+=− ,则a=0、b=1−;
4. 已知21lim()21xxaxbx→∞+−−=−,则a=1、b=1−;
二、计算或证明
1. 2,1()1,1xexfxxx⎧<⎪=⎨−≥⎪⎩,21,0()2,0xxxxxϕ⎧−≥=⎨+<⎩,求(())fxϕ;

解:
2
2()12222,1,()1,02(())()1,()1(2)1,10(1)1,2xxxexexexfxxxxxxxϕϕϕϕϕ+


<−



<
≤<


==
⎨⎨

−≥
+−−≤<



−−≥

2. 已知
0
ab<<

,求1lim()xxxxab→+∞+,1lim()xxxxab→−∞+;

解:因为01ab<<,所以lim()0xxab→+∞=,所以11lim()lim(()1)xxxxxxxaabbbb→+∞→+∞+=+=;
111
11111lim()lim[(()())]lim[(1())]xxtttxttxttaabaabab−−

→−∞→+∞→+∞
+=+=+=

3. 已知10xπ<<,1sinnnxx+=,求证limnnx→∞存在,并求该极限;求211limnxnnnxx+→∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠;
证明:当1n=时,因为10xπ<<,所以2110sinxxxπ<=<<,
设当nk=时,0nxπ<<,则当1nk=+时,10sinkkkxxx+<=<,
所以数列{}nx单调递减且有下界,所以limnnx→∞存在;


limnnxa→∞=,则1limlimsinsinnnnnaxxa+→∞→∞===
,所以0a=;

3
22

sin11sin1sinsinlimlimlim1nnnnnnnnxxxxxxxxnnnnnnnnnnxxxxxxx−


+

→∞→∞→∞

⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞

⎢⎥

==+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

32
sincos11limlim36nnnnnnnxxxxxeee→∞→∞−−

===
.

4. 已知30sin6()lim0xxxfxx→+=,求206()limxfxx→+;

解:因为30sin6()lim0xxxfxx→+=,所以3sin6()xxfxxα−=,其中0lim0xα→=,(极限与无穷小的关系)

所以33223000sin666()6sin6limlimlimxxxxxfxxxxxxxxαα→→→−+++−==
332
0006sin66sin66(1cos6)lim()limlim3xxxxxxxxxxxα→→→

−−−
=+==
2
2
0(6)22lim36xxx→

==
.

5. 已知函数()fx在闭区间[,]ab上连续,()()fafb=,求证存在点[,]cab∈,使得()()2bafcfc−=+.
证明:设()()()2bagxfxfx−=−+,[,]2abxa+∈,则()gx在闭区间[,]2aba+上连续,
且()()()2abgafaf+=−,()()()()()()222abababgffbffaga+++=−=−=−,
如果()0ga=,则取ca=,则()()2bafcfc−=+,
如果()0ga≠,由介值定理,存在(,)[,]2abcaab+∈⊂,使得()0gc=,即()()2bafcfc−=+,
故存在点[,]cab∈,使得()()2bafcfc−=+.