高中数学均值不等式和数列总结题型

授课教案教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。

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专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。

在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解析：－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案：D点评：注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（2007年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。

《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知，求函数的最大值。

54x <14245y x x =-+-技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。

(82)y x x =-技巧三： 分离例. 求的值域。

2710(1)1x x y x x ++=>-+技巧四：换元例. 求的值域。

2710(1)1x x y x x ++=>-+技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

高考数学压轴数列的最值题型分类专题题型一、求数列n a 的最大项、最小项求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.1. 基本不等式法例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a2.解不等式组例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a变式练习：（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（4）已知数列}{n a 的通项公式nn n n a 11)1(10+=，试求出该数列的最大项.3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）例 1 数列}{n a 中，20172016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是__________例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f na==（1）求n a 。

（2）求{}n a 的最小项变式练习： （1）已知)N n (98n 97n a n*∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。

（2） 已知)N n (n131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。

（3） 已知数列)N n (156n n a 2n*∈+=，则该数列中的最大项是第几项？（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式nn n 10)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。