2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 四种命题学案 苏教版选修1-1

1．1.1 四种命题 学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一 命题的概念 思考 给出下列语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)3＋6＝7； (3)偶函数的图象关于y轴对称； (4)5能被4整除． 请你找出上述语句的特点．

梳理 (1)定义：能够判断________的语句． (2)分类 ①真命题：判断为________的语句． ②假命题：判断为________的语句． (3)形式：____________. 知识点二 四种命题的概念 思考 给出以下四个命题： (1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0； (2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2； (3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0； (4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2. 你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

梳理 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q. 2

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________． (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________． (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________． 知识点三 四种命题的关系 思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？

思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？

梳理 (1)四种命题之间的关系如下所示：

(2)四种命题的真假关系 ①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性； ②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．

类型一 命题及其真假的判定 例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由． 3

(1)求证5是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (3)你是高一学生吗？ (4)一个正整数不是质数就是合数； (5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数； (6)60x＋9>4.

反思与感悟 判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． 跟踪训练1 下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由． (1)x>1或x＝1； (2)如果x＝1，那么x>3； (3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2； (4)x2－5x＋6＝0.

类型二 四种命题及其相互关系 命题角度1 四种命题的概念 例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： (1)若x∈A，则x∈A∪B； (2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数； 4

(3)在△ABC中，若a>b，则A>B. 反思与感悟 四种命题的转换方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题． (2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题． (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题． 跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________．(填序号) ①若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数； ②若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数； ③若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数； ④若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数．

命题角度2 四种命题真假的判断 例3 下列命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题． 其中是真命题的是________． 反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①“正三角形都相似”的逆命题； ②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题； ③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题． 类型三 等价命题的应用

例4 已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于13. 5

反思与感悟 (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假． (2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题． 跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

1．下列语句是命题的是________． ①若a>b，则a2>b2； ②a2>b2； ③方程x2－x－1＝0的近似根； ④方程x2－x－1＝0有根吗？

2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________． 3．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为__________________________________．

4．下列命题： ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题． 其中真命题的个数是________． 5．已知命题“若m－1

1．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真 6

命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可． 2．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p和结论q； (2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q； (3)按照四种命题的结构写出所有命题． 3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

提醒：完成作业 第1章 §1.1 1.1.1 7 答案精析 问题导学 知识点一 思考 上述语句能够判断真假． 梳理 (1)真假 (2)①真 ②假 (3)若p则q 知识点二 思考 命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定． 梳理 (1)结论和条件 互逆命题 原命题 逆命题 (2)互否命题 否命题 (3)结论的否定 条件的否定 互为逆否命题 逆否命题 知识点三 思考1 逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p. 思考2 互逆、互否、互为逆否． 梳理 (1)q p 逆否 互否 非p 非q 互逆 非q 非p(2)①相同 ②没有 题型探究 例1 解 (1)是祈使句，不是命题． (2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立． (3)是疑问句，不是命题． (4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数． (5)是假命题，如x＝2，y＝－2. (6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 跟踪训练1 解 (1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断． (2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值． (3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3. (4)不是命题，因为x的值不确定． 例2 解 (1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A； 否命题：若x∉A，则x∉A∪B； 逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A. (2)逆命题：若a＋b是偶数， 8

则a，b都是偶数； 否命题：若a，b不都是偶数， 则a＋b不是偶数； 逆否命题：若a＋b不是偶数， 则a，b不都是偶数． (3)逆命题：在△ABC中，若A>B， 则a>b； 否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B； 逆否命题：在△ABC中，若A≤B， 则a≤b. 跟踪训练2 ② 例3 ①②③ 跟踪训练3 ②③

例4 证明 原命题的逆否命题：已知a，b，c∈R，若a，b，c都大于或等于13，则a＋b＋c≥1.

由条件知a≥13，b≥13，c≥13，三式相加得a＋b＋c≥1. 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于13.

跟踪训练4 证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”． ∵a＝2b＋1， ∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0. ∴命题“若a＝2b＋1， 则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确． 当堂训练

1．① 2.若tan α≠1，则α≠π4 3．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行 4．2 5.[1,2]