数学：2.5用三种方法表示二次函数同步练习(鲁教版九年级上)

2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y＝x2C．y＝2x+1D．2y＝x2．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2﹣4x+5先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2+bx+c，则b，c的值分别是（）A．0，1B．﹣8，9C．0，3D．﹣8，33．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝10（200﹣10x）B．y＝200（10+x）C．y＝10（200﹣10x）2D．y＝（10+x）（200﹣10x）4．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c ＞mx+n，则x的取值范围是（）A．0＜x＜3B．1＜x＜3C．x＜0或x＞3D．x＜1减x＞3 6．二次函数y＝ax2﹣4ax+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当x＝0时y的值是负数，已知当0≤x≤3时，y的最大值为﹣9，则c的值为（）x﹣20y7﹣■A．﹣17B．﹣9C．﹣D．﹣57．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 10．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+n（n为常数）与扇形OAB的边界总有两个公共点，则n的取值范围是（）A．n＞﹣4B．C．D．二．填空题11．函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为．12．当a＝时，函数y＝（a﹣1）+x﹣3是二次函数．13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面宽度减少m．14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有（填序号）．15．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，若抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是．16．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是．17．亮亮推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，则小明推铅球的成绩是m．18．已知函数y＝x2+2x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣2≤y≤2，则m的值为．三．解答题19．如图，已知抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）当﹣1≤x≤t时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．（1）求c的值及a，b满足的关系式．（2）结合函数图象判断抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n），N（5﹣m，n）．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．21．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，抛物线y＝ax2+bx经过点A，O，B．（1）求点B的坐标；（2）求a，b的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（﹣4，0），点B（﹣2，2）．（1）求此二次函数的表达式与对称轴；（2）在y轴正半轴上取一点P（0，m），过P作x轴的平行线，分别交抛物线于C，D 两点（点C在点D的左边），若PC＝3PD，求m的值．24．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？25．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，4）、B（5，9）两点的抛物线的顶点C在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）P（x，y）为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．26．如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的关系式；（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△P AC的周长；（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当△BCQ为直角三角形时，求出点Q坐标．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣mx+m与直线y＝﹣x+b交于点A（﹣1，5）和B．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），求点D的纵坐标y0的取值范围；（3）已知M是直线AB上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线只有一个交点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．29．已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．（1）抛物线L的对称轴为直线．（2）当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．（3）当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．（4）点M的坐标为（4，﹣1），点N的坐标为（﹣1，﹣1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．30．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B（点A 在点B的右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，点F为点C关于x轴的对称点，连接BF．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E为抛物线的对称轴上一点，在抛物线上是否存在点D，使得以点B、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．33．在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+1（a、b为常数）的图象记为G．（1）G与y轴交点的坐标为．（2）当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．（3）设k≠0，若点A（3﹣k，t）在G上，则点B（3+k，t）必在G上，且G过点C（4，9）．①求G的函数表达式．②点D（1，y1）E（4，y2）是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小；③点P（m，y3）．Q（m+3，y4）是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．（4）矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F（1，﹣1）、H（4，﹣1）、M（4，4）、N（1，4），当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+1（x≥0）的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．参考答案一．选择题1．解：A、y＝，是反比例函数，故A不符合题意；B、y＝x2，是二次函数，故B符合题意；C、y＝2x+1是一次函数，故C不符合题意；D、2y＝x，不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2．解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+5化为y＝2（x﹣1）2+3，∴函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x﹣1﹣1）2+3﹣2，即y＝2x2﹣8x+9，∴b，c的值分别是﹣8，9．故选：B．3．解：由题意可得，y与x的函数关系式为：y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）＝（10+x）（200﹣10x）．故选：D．4．解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），∴坐标原点可能是点A，故选：A．5．解：根据函数图象，当x＜0或x＞3时，y1＞y2，所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．故选：C．6．解：由题知二次函数y＝ax2﹣4ax+c，当x＝0时，y值为负数，即c＜0．又由图表可知，y＝ax2﹣4ax+c过（﹣2，7）点，即：4a+8a+c＝7，12a＝7﹣c，∵c＜0，∴7﹣c＞0，∴12a＞0．即：a＞0．∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c开口方向向上．其对称轴为x＝＝2，又∵当0≤x≤3时，y有最大值﹣9，∵x＝3相比于x＝0离对称轴更近，∴应该在x＝0处取得大值﹣9．∴y＝ax2﹣4ax+c过（0，﹣9）点．即c＝﹣9．故选：B．7．解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．8．解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．9．解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．10．解：∵∠AOB＝45°，∴OA所在直线为y＝x，令x2+n＝x，整理得x2﹣x+n＝0，当Δ＝1﹣4n＝0时，抛物线与线段OA只有1个交点，解得n＝，当n＜时，抛物线向下移动，当抛物线经过B（2，0）时，0＝4+n，解得n＝﹣4，∴﹣4＜n＜．故选：C．二．填空题11．解：当a＝0时，函数解析式为y＝3x+1，此函数为一次函数，函数图象与x轴有一个交点（﹣，0）；当a≠0时，当Δ＝（﹣a+3）2﹣4a＝0时，抛物线与x轴只有一个交点，解得a1＝1，a2＝9，综上所述，a的值为0或1或9．故答案为：0或1或9．12．解：根据题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，由a﹣1≠0得a≠1，由a2+1＝2得a＝±1，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．13．解：如右图建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，则﹣2＝a×22，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2，当y＝﹣1时，﹣x2＝﹣1，解得x＝±，此时水面的宽度为2m，故水面宽度减少了（4﹣2）m，故答案为：（4﹣2）．14．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，故答案为：①②④．15．解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由抛物线向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x ＝﹣1，∵A，B关于对称轴对称，A坐标为（4，0），∴点B坐标为（﹣6，0）．故答案为：（﹣6，0）．16．解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），∴3＝﹣16+4m+3，∴m＝4，∴y＝﹣x2+4x+3，∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，∴2≤a≤4．故答案为：2≤a≤4．17．解：令函数式中，y＝0，0＝﹣（x﹣5）2+3，解得x1＝11，x2＝﹣1（舍去）．即铅球推出的距离是11m．故答案为：11．18．解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2），∵y≥﹣2，∴m≤﹣1≤m+2，解得﹣3≤m≤﹣1，将y＝2代入y＝x2+2x﹣1得2＝x2+2x﹣1，解得x1＝﹣3，x2＝1，当m＝﹣3时，m+2＝﹣1，符合题意，当m+2＝1时，m＝﹣1，符合题意，∴m＝﹣3或﹣1．故答案为：﹣3或﹣1．三．解答题19．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c过点（3，0），与y轴交于（0，﹣3）．将（3，0）和（0，﹣3）代入得，解得，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，配成顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，∴x＝1时，y最小值＝﹣4，∴当﹣1＜t≤3时，当x＝﹣1或3时，y最大值＝0，∴此时最大值与最小值的差为：0﹣（﹣4）＝4＜9，∴要满足条件必有t＞3，∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，当x＝t时，，则有t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝9解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4，∴t的值为4．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．∴，∴c＝3，3a+b+1＝0．（2）若抛物线同时经过点M（﹣1+m，n）、N（5﹣m，n）．则对称轴为：x＝＝2，∵抛物线经过点A（0，3）和B（3，0），∴抛物线经过（1，0），设抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3），把A的坐标代入得，3＝3a，解得a＝1，∴符合要求的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．21．解（1）将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则∠AOB＝90°，AO＝BO，作AM⊥y轴，垂足为M，作BN⊥x轴，垂足为N．∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣2），AM＝1，OM＝2，∵∠AOB＝∠MON＝90°，即∠AOM+∠BOM＝∠BOM+∠BON＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△AOM≌△BON（AAS），∴．BN＝AM＝1，ON＝OM＝2，∴点B的坐标为（2，﹣1），（2）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A，B，∴，解得，∴a，b的值分别为﹣，．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．23．解：（1）把点A（﹣4，0），点B（﹣2，2）代入y＝ax2+bx中可得：，解得：，∴y＝﹣x2﹣2x，∴对称轴为：直线x＝﹣＝﹣2，；（2）设对称轴交直线CD于点E，∴CE＝DE＝CD，∵PC＝3PD，∴CD＝2PD，∴CE＝DE＝PD，∵对称轴为：直线x＝﹣2，∴PE＝2，∴PD＝DE＝1，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x中可得：y＝﹣+2＝，∴m＝，∴m的值为：．24．解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．25．解：（1）∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上，∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2，把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝a（x﹣h）2中可得：，解得：h＝﹣10（舍去）或h＝2，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2；（2）把y＝0代入y＝（x﹣2）2中可得：（x﹣2）2＝0，∴x＝2，∴点C的坐标为（2，0）；（3）设AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝kx+b中可得：，解得：，∴AB的解析式为：y＝x+4，∵点P为线段AB上一点，点M为抛物线y＝（x﹣2）2上一点，且1≤x≤4，PM∥y轴，∴当x＝1时，P（1，5），M（1，5），∴PM＝5﹣1＝4，当x＝4时，P（4，8），M（4，4），∴PM＝8﹣4＝4，当x＝2时，P（2，6），M（2，0），∴PM＝6﹣0＝6，设P（n，n+4），M（n，n2﹣4n+4），∴PM＝n+4﹣（n2﹣4n+4）＝﹣n2+5n＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝时，PM的最大值为：，∴PM的最大值是，最小值是4．26．解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，∴抛物线的顶点为Q（6，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，∴x＝5或7，∵点P在对称轴的右侧，∴P（7，3），∴a＝7；（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，∴平移后的顶点Q′（3，0），∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．27．解：（1）∵将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），点A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则点P为所求的点．∴AP＝BP，∴△P AC的周长＝P A+PC+AC＝PB+PC+AC≥BC+AC，当B、P、C三点共线时，△P AC周长的最小值是AC+BC，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，，∴△P AC周长的最小值是，∵y＝﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，设直线BC的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）设Q的坐标为（m，﹣m2+2m+3），如图1，当∠BCQ＝90°时，过点Q作QM⊥y轴于点M，∵∠QCM+∠BCO＝90°，∠QMC＝∠BOC＝90°，∴∠QCM+∠MQC＝90°，∴∠MQC＝∠OCB，∴△MQC∽△OCB，∵QM＝m，MC＝﹣m2+2m，∴，即，解得：m＝0（舍）或m＝1，∴Q（1，4）；如图2，当∠CQB＝90°时，过点Q作QM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥QM，交MQ 的延长线于点N，∵∠CQM+∠BQN＝90°，∠QNB＝∠CMQ＝90°，∴∠BQN+∠QBN＝90°，∴∠QBN＝∠CQM，∴△QMC∽△BNQ，∵QN＝3﹣m，BN＝﹣m2+2m+3，∴，即，解得：或（舍），∴Q；当∠QBC＝90°时，显然不成立；综上所述，点Q的坐标为（1，4）或．28．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx+m与直线y＝﹣x+b交于点A（﹣1，5），∴5＝（﹣1）2+m+m，5＝1+b，∴m＝2，b＝4，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2，直线的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点为（1，1），∵D为抛物线上一点，且在点A（﹣1，5）和点B之间（不包括点A和点B），∴点D的纵坐标y0的取值范围为：1≤y0＜5；（3）解方程组，解得或，∴A（﹣1，5），B（2，2），由题意设点M的坐标为（n，﹣n+4），则点N（n，﹣n+2），∵线段MN与抛物线只有一个公共点，∴n2﹣2n+2≥﹣n+2，且﹣1≤n≤2，解得：﹣1≤n≤0或1≤n≤2，∴点M的横坐标x M的取值范围为：﹣1≤n≤0或1≤n≤2．29．解：（1）∵y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，故答案为：x＝2；（2）∵抛物线开口向下，∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，∴﹣3＜4+a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；（3）由题意可知A（a，﹣a2+5a），B（﹣3a，﹣a2+5a），C（﹣3a，﹣9a2﹣11a），D（a，﹣9a2﹣11a），由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣，当a＝﹣时，AB＝﹣4a＝，AD＝﹣9a2﹣11a+a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，∴矩形ABCD的周长＝2×（+）＝；当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，∴矩形ABCD的周长＝2×（4+8）＝24；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；（4）当a＞0时，界点（﹣1，﹣5+a）在点N处或下方满足条件，此时﹣5+a≤﹣1，所以0＜a≤4 当a＜0时，若界点（4，a）在x轴下方，MN上方，且界点（﹣1，﹣5+a）在点N处或其下方满足条件，解得﹣1＜a＜0，若顶点（2，4+a）与MN相切，满足条件，此时4+a＝﹣1，解得a＝﹣5．综上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．30．解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝，综上所述，m的值为或﹣；（4）P（4，2）、Q（4，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m，①当m＞1时，如图1，∵2m＞2，2﹣2m＜0，∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；②当m＝1时，如图2，∵2m＝2，2﹣2m＝0，∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m的顶点在边PM边上，即抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；③当≤m＜1时，如图3，∵1≤2m＜2，0＜2﹣2m≤1，P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C 在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（不合题意，应舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；④当0≤m＜时，如图4，∴点B在PM边上，点C在NQ边上，∴B（m+，2），C（m+，2﹣2m），则2﹣2m＝m+，解得：m＝，∵0≤m＜，∴m＝，⑤当m＜0时，如图5，∵2m＜0，2﹣2m＞2，∴点B在NQ边上，点C在PM边上，B（m+，2﹣2m），C（m+，2）则|m+|＝2，当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解；当m+＝﹣2时，得m2+6m+3＝0，解得：m＝﹣3﹣或m＝﹣3+，当m＝﹣3+时，|m+|＝|﹣3++|＝2﹣4≠2，不符合题意，舍去，综上所述，m的值为或或﹣3﹣．31．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，∴C（0，3），即OC＝3．又∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A（1，0），B（﹣3，0），将点A（1，0）、B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）∵抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，故抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣1．∵点F为点C关于x轴的对称点，∴F（0，﹣3）．①当BE为平行四边形的对角线时，如图．∴BD1可看成是由FE1平移得到．∵点B是由点F向左平移3个单位，再向上（或向下）平移一定长度得到，∴点D1是由点E1向左平移3个单位，再向上（或向下）平移相同长度得到，∴x F﹣x B＝x﹣x，∵x F＝0，x＝﹣1，x B＝﹣3，∴x＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，∴点D1的坐标为（﹣4，﹣5）；②当BF为平行四边形的对角线时：如图，∴BD2可看成是由E2F平移得到．∴x B﹣x＝x﹣x F，∵x F＝0，x＝﹣1，x B＝﹣3，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点D2的坐标为（﹣2，3）；③当BD为平行四边形的对角线时，∴E3D3可看成是由BF平移得到．∴x B﹣x＝x F﹣x，．∵x F＝0，x＝﹣1，x B＝﹣3，∴x＝2，当x＝2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，∴点D3的坐标为（2，﹣5）．由点B和点F的坐标易得l BF：y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，即点D在直线BF上，∴此时B、F、D3、E3共线，无法构成平行四边形．综上可知，点D的坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）．32．解：（1）m＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16（x≤﹣4），∴抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，16），∵﹣4＜﹣2，∴x＝﹣4时，y＝﹣16+16+12＝12为函数最大值，∴图象G的最高点坐标为（﹣4，12）．（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣6m，∴抛物线对称轴为直线x＝m，将x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，∴抛物线过定点（3，﹣9），∴2m≥3，解得m≥．（3）将x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，∴点A坐标为（2m，﹣6m），∵C（﹣2，﹣2），∴|x A﹣x C|＝|y A﹣y C|，∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，解得m＝0或m＝1，∴点A坐标为（0，0）或（2，﹣6）．（4）点A为抛物线与矩形交点，当m＞0时，抛物线对称轴在线段AD左侧，y轴右侧，当﹣6m＜﹣2时，AB在CD下方，m＞，∴当抛物线顶点（m，m2﹣6m）在CD下方时满足题意，∴m2﹣6m＜﹣2，解得3﹣＜m＜3+，当﹣1＜m≤0时，AD在BC右侧，抛物线对称轴在AD右侧，抛物线在矩形内部的部分y随x增大而增大，满足题意，当m＜﹣1时，图象G与矩形只有1交点为A，综上所述，3﹣＜m＜3+或﹣1＜m≤0．33．解：（1）将x＝0代入y＝ax2+2bx+1得y＝1，∴G与y轴交点的坐标为（0，1）；（2）当b＝2时，y＝ax2+4x+1，①当a＝0时，一次函数y＝4x+1与x轴只有一个交点．②若a≠0，由抛物线y＝ax2+4x+1与x轴只有一个交点可得：ax2+4x+1＝0中Δ＝0，即16﹣4a＝0，解得a＝4．∴a＝0或a＝4；（3）①∵＝3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，∴b＝﹣3a，将点C（4，9）代入y＝ax2﹣6ax+1得：9＝16a﹣24a+1，解得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+6x+1；②把x＝1，x＝4分别代入抛物线解析式y＝﹣x2+6x+1得y1＝6，y2＝9，∴y1＜y2；③∵抛物线y＝﹣x2+6x+1开口向下，对称轴为直线x＝3，∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越小，∴|m﹣3|＝|m+3﹣3|时，y3＝y4，解得m＝，|m﹣3|＞|m+3﹣3|时，y3＜y4，解得m＞，|m﹣3|＜|m+3﹣3|时，y3＞y4，解得m＜；综上所述，当m＝时，y3＝y4，当m＞时，y3＜y4，当m＜时，y3＞y4；（4）函数y＝﹣x2+2bx+1（x≥0）图象，开口向下，对称轴为直线x＝b，抛物线y＝﹣x2+2bx+1（x≥0）与NF所在直线x＝1交点坐标为（1，2b），与MN所在直线x＝4交点坐标（4，﹣15+8b），当b≤1时，如图，抛物线经过点F（1，﹣1）时，2b＝﹣1，解得b＝﹣，b增大满足题意，b＝1时抛物线顶点落在NF上，∴﹣＜b≤1满足题意．b增大，抛物线对称轴在NF右侧，当抛物线过点N（1，4）时，2b＝4，解得b＝2，。

例题讲授
例1 已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，－6），
并且该图象经过点（2，3），求这个二次函数 的表达式. 解：设所求的二次函数表达式为 y=a(x＋1)2-6 因为该图象经过点（2，3), 将坐标代入上式得
3=a(2+1)2-6
解得 a=1
所以这个二次函数的表达式为 y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
（1）已知图象的顶点是原点，且图象经过点（2，－5）. （2）已知图象的顶点坐标是（ －1， － 2），且图象经
过点（1，10）. （3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（ －1， － 1），
（ －4，0）两点.
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出合适的函数表达式； 2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于 待定系数的方程或方程组； 3、 解方程（组）求出待定系数的值； 4、 写出一般表达式。
y= -(x-1)2+4
例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示， 图中的折线近似于抛物线的一部分。
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； （2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函 数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； 解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别 代入表达式，得
课堂小结
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设 顶点式较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。

章节测试题1.【题文】分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）y＝1﹣x2．【答案】见解答.【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】（1）二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、0；（2）二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣1、0、1．2.【题文】已知函数y＝（m2+m）．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值.【答案】（1）m＝2；（2）m＝1.【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．3.【题文】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【答案】（1）k＝2；（2）.【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，解得k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，．4.【答题】下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220-a）；②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，选C.5.【答题】下列函数的自变量的取值范围不是任意实数的是（）A. y＝-3xB. y＝4x＋2C. y＝D. y＝x2-2x【答案】C【分析】本题考查二次函数、一次函数以及反比例函数的定义域.【解答】选项A、B、D中的函数自变量x的取值范围都为任意实数，选项C中的函数自变量的取值范围是x≠0，选C．6.【答题】半径是3的圆，如果半径增加2x，那么面积S和x之间的函数关系式是（）A. S＝2π（x＋3）2B. S＝9π＋xC. S＝4πx2＋12x＋9D. S＝4πx2＋12πx＋9π【答案】D【分析】本题考查二次函数的应用——图形问题.【解答】根据题意得，S＝π（2x＋3）2＝4πx2＋12πx＋9π.选D．7.【答题】若函数y＝（2-m）·是关于x的二次函数，则m的值是（）A. 2B. -2C. ±2D. ±1【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】根据二次函数的定义可得，解得m＝-2.选B．8.【答题】用一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A. y＝-x2＋50xB. y＝x2-50xC. y＝-x2＋25xD. y＝-2x2＋25 【答案】C【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题用到的等量关系为：长方形的面积=长×宽．【解答】设这个长方形的一边长为x cm，则另一边长为（25-x）cm，根据长方形的面积公式可得y=x（25-x）=-x2＋25x，选C．9.【答题】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，那么商品所赚钱数y元与售价x元之间的函数关系式为（）A. y＝-10x2-560x＋7350B. y＝-10x2＋560x-7350C. y＝-10x2＋350xD. y＝-10x2＋350x-7350【答案】B【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x-21）（350-10x）=-10x2＋560x-7350，选B．10.【题文】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．（1）y＝x2＋（x＋1）2；（2）y＝（2x＋3）（x-1）＋5；（3）y＝4x2-12x（1＋x）；（4）y＝（x＋1）（x-1）．【答案】见解答.【分析】本题考查二次函数的定义.（1）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（3）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（4）根据平方差公式计算后即可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可．【解答】（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1．（2）∵y＝（2x＋3）（x-1）＋5＝2x2-2x＋3x-3＋5＝2x2＋x＋2，∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2．（3）∵y＝4x2-12x（1＋x）＝4x2-12x-12x2＝-8x2-12x，∴一般形式为y＝-8x2-12x，二次项系数为-8，一次项系数为-12，常数项为0．（4）∵y＝（x＋1）（x-1）＝x2-1，∴一般形式为y＝x2-1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1．11.【答题】下列函数是二次函数的是（）A. y=2x+2B. y=﹣2xC. y=x2+2D. y=x﹣2【答案】C【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】A.y=2x+2是一次函数，此选项错误；B.y﹣2x是正比例函数，此选项错误；C.y=x2+2是二次函数，此选项正确；D.y=x﹣2是一次函数，此选项错误；选C.12.【答题】若函数y=（k2-4）x2+（k+2）x+3是二次函数，则k______．【答案】≠±2【分析】本题考查二次函数的定义.一个函数是二次函数需满足两个基本条件：（1）自变量的最高次数是2；（2）二次项的系数不能为0.【解答】∵函数y=（k2-4）x2+（k+2）x+3是二次函数，∴，解得．13.【答题】若函数是二次函数，则m＝______．【答案】-1【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．【解答】由二次函数的定义可知解得m=-1．故答案为-1．14.【答题】下列函数中是二次函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】A．，是一次函数；B．，是三次函数；C．=2x+1，是一次函数；D．，是二次函数．选D．15.【答题】函数y=（m–n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A. m、n是常数，且m≠0B. m、n是常数，且m≠nC. m、n是常数，且n≠0D. m、n可以为任何常数【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】根据二次函数的定义可得m–n≠0，即m≠n．选B．16.【答题】下列关系中，是二次函数关系的是（）A. 当距离s一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系D. 正方形的周长C与边长a之间的关系【答案】C【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】A.由题意可得：t=是反比例函数，故此选项错误；B.y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；C.S=πR2，是二次函数，正确；D.C=4a，是正比例函数，故此选项错误．选C．17.【答题】函数是二次函数，那么m的值是（）A. 2B. –1或3C. 3D. ±1【答案】C【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】由题意，有且，故符合条件的解是，选C．18.【答题】函数是二次函数时，则a的值是（）A. 1B.C.D. 0【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】依题意得a2+1=2且a–1≠0，解得a=–1．选B．19.【答题】已知函数y=（m–1）x2+2x–m中，y是关于x的二次函数，则写一个符合条件的m的值可能是______．【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】∵函数y=（m–1）x2+2x–m是二次函数，∴m–1≠0．解得m≠1．∴m=0是符合条件的一个可能的值．故答案为：0（答案不唯一）．20.【题文】若函数y=是二次函数，求m的值．【答案】m=3．【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】依题意：m2–2m–1=2，解得m1=3，m2=–1．∵m+1≠0，∴m=3．。

二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1.二次函数的定义．【例1】（2014•山东沂水县中学期末）函数y=3x2+x﹣4是（）A．一次函数B．二次函数C．正比例函数D．反比例函数练1.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5练2.下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22.二次函数求值．【例2】（2015•辽宁抚顺二中月考）若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．练3.若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=．3．根据实际问题列二次函数关系式．【例3】（2015•吉林四平中学月考）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s与t之间的函数关系式是s=．时间t/s 1 2 34 …距离s/m 2 8 18 32 …练4.在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是．4．二次函数的顶点、对称轴．【例4】（2015•天津南开中学月考）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是．练5.抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．练6.抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是直线．5．二次函数的变化趋势；【例5】（2014•陕西安康黄冈中学期末）函数y=（x﹣1）2+3，当x时，函数值y随x的增大而增大．练7．已知抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是．1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系3．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．D．4．下列函数中，不是二次函数的是（）A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4）D．y=（x﹣2）2﹣x25．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．当m=时，函数y=（m﹣1）是关于x的二次函数．2．在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是．3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．4．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是．5．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣6 0 4 6 6 …容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为．6．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=．7．已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x 轴的交点的坐标．8．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．9．已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．10．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．课程顾问签字： 教学主管签字：。