高等数理统计讲义I

第一章随机事件与概率§随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。

比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

例E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验中出现1“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。

2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。

样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。

3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) }读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。

概率论与数理统计讲义稿Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章随机事件与概率§随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。

比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验中出例1现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。

2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。

样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。

⑥ cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − EX ⋅ EY 。 （通常用此公式计算协方差） ⑦ D(a X + bY ) = a 2 DX + b 2 DY + 2ab cov ( X ， Y ) 。 推论 4.4 ？ ⑧ ρ XY = ρ YX 。 ⑨ − 1 ≤ ρ XY ≤ 1 。 （先证 P.154 定理 4.8 ，再证⑨） 例：(1)证明 cov ( X + Y , X − Y ) = DX − DY 。(2)设 DX = 25 ，
ε2
。
切比雪夫不等式用严格的数学语言揭示了方差的含义。 （例 4.20） ⑧若 DX = 0 ，则 P ( X = EX ) = 1 。 ⑨ DX = EX 2 − E 2 X 。 通常用公式⑨计算方差比较方便，无论 X 为离散型还是连续型。 X 的分布
EX np λ 1/p a+b 2 1 /λ µ
4.若 ( ξ , η ) 是二维连续型随机变量，联合密度函数为 f ( x , y ) ， 则有： Eφ ( ξ , η ) = 特例： Eξ =
∫∫R
2
φ ( x , y ) f ( x , y ) dxdy 。
R2
∫∫ R
2
x f ( x , y ) dxdy ， Eη = ∫∫
y f ( x , y ) dxdy 。
概率统计讲义第 19 页
随机变量的“独立”与“不相关”
◆ X 与 Y 独立的含义是： X 与 Y 之间没有任何联系。 ◆ X 与 Y 不相关 ⇔ ρ XY = 0 ⇔ cov( X , Y ) = 0
连续型全期望公式：设 η 为连续型随机变量，密度函数为 fη ( y ) ， 则： Eξ =
∫ − ∞ E ( ξ | η = y ) fη ( y ) dy 。 例：课本 P.164 例 4.27。

高中数学必修2《统计》知识点讲义一、引言高中数学必修2中的《统计》部分是我们在日常生活中应用广泛的数学知识。

通过学习统计，我们可以更好地理解世界，做出更明智的决策。

本篇文章将详细讲解统计部分的重要知识点。

二、知识点概述1、描述性统计描述性统计是统计学的基石，它主要研究如何用图表和数值来描述数据的基本特征。

这部分内容将介绍如何制作频数分布表、绘制条形图、饼图和折线图等。

2、概率论基础概率论是统计学的核心，它研究随机事件发生的可能性。

在本部分，我们将学习如何计算事件的概率，了解独立事件与互斥事件的概念。

3、分布论基础分布论是研究随机变量及其分布的数学分支。

本部分将介绍如何计算随机变量的期望和方差，了解正态分布的特点及其在日常生活中的应用。

三、知识点详解1、描述性统计本文1)频数分布表：频数分布表是一种用于表示数据分布情况的表格，其中每一列表示数据的一个取值，每一行表示该取值的频数。

通过频数分布表，我们可以直观地看到数据分布的集中趋势和离散程度。

本文2)图表：图表是描述数据的一种有效方式。

通过绘制条形图、饼图和折线图，我们可以直观地展示数据的数量关系和变化趋势。

2、概率论基础本文1)概率：概率是指事件发生的可能性，通常用P表示。

P(A)表示事件A发生的概率，其值在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

本文2)独立事件与互斥事件：独立事件是指两个事件不相互影响，即一个事件的发生不影响另一个事件的概率；互斥事件是指两个事件不包括共同的事件，即两个事件不可能同时发生。

3、分布论基础本文1)期望：期望是随机变量的平均值，通常用E表示。

E(X)表示随机变量X的期望，它是所有可能取值的概率加权平均值。

期望对于预测随机变量的行为非常有用。

本文2)方差：方差是衡量随机变量取值分散程度的指标，通常用D表示。

D(X)表示随机变量X的方差，它是每个取值与期望之差的平方的平均值。

方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，取值越集中。

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创立于十七世纪的一门数学学科，首创人是英国数学家牛顿（ Newton ）和德国数学家莱布尼茨（ Leibniz ）。

用有名学者的话来形容“微积分、或许数学剖析，是人类思想的伟大成就之一。

它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具” 。

“微积分的创办，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。

时到现在天，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学同样。

第1讲函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先认识几个有关的观点。

一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式Sπr2自由活体的着落距离s v0t 1 gt22在上述议论的问题中，π, v0, g是常量，S , r , s , t是变量。

变量能够视为实属会合（不只一个元素）。

二、函数的定义定义 1.1 设D是一个非空数集。

假如有一个对应规则 f ，使得对每一x D ，都能对应于独一的一个数y ，则此对应规则 f 称为定义在会合 D 上的一个函数，并把数x与对应的数 y 之间的对应关系记为y f (x)并称 x 为该函数的自变量，y为函数值或因变量，D为定义域。

实数会合Z { y ; y f ( x) , x D}称为函数 f 的值域。

看看下边几个例子中哪些是函数：X {1, 3, 6}fY{2, 6,8, 9} f是函数，且f (1) 2 ， f (3) 8 ， f (6)6定义域 D {1,3,6} ，值域 Z {2,6,8} ，一般地Z Y 。

X {1, 3, 6, 7}fY{2, 6,8, 9} f不是函数。

X {1, 3, 6}fY{2, 6,8, 9} f是函数，且f (1) 2 ， f (3) 8 ， f (6)8定义域 D {1, 3, 6} ，值域 Z {2, 8} 。

X {1, 3 , 6}fY {2, 6,8, 9}f不是函数。

由函数定义能够得出，函数的对应规则和定义域是确立函数的两个因素，用分析法表示的函数的对应规则就是由表达式确立的，而定义域就是使表达式存心义的全部 x 轴上的点。

概率论与数理统计讲义稿第⼀章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只⼀个，且都是事先可以知道的；（3）每⼀次试验都会出现上述可能结果中的某⼀个结果，⾄于是哪⼀个结果则事前⽆法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英⽂字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别⽤希腊字母ω和Ω表⽰样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的⽬的。

假设抛掷⼀枚硬币两次，出于某些⽬的，也许只需要考虑三种可能的结果就⾜够了，两次都是正⾯，两次都是反⾯，⼀次是正⾯⼀次是反⾯。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反⾯的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正⾯-正⾯、反⾯-反⾯、正⾯-反⾯、反⾯-正⾯。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使⽤⽐绝对必要的样本空间较⼤的样本空间，因为它便于使⽤。

⽐如，在前⾯的例⼦中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于⼀个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

例 1.1.1 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这⼀试验中出现“正⾯”或“反⾯”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当⽤来模拟电⼦产品旋转的⽅向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正⾯,反⾯}。

2E ：更复杂⼀些，有的随机试验会产⽣多种可能的结果，⽐如掷⼀颗骰⼦，观察出现的点数。

样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。

3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电⼦产品），可以得到Ω={（正⾯，正⾯）、（反⾯，反⾯）、（正⾯，反⾯）、（反⾯，正⾯) }读者可以将其推⼴到掷n 个硬币，样本空间⾥有多少样本点呢？4E ：再复杂⼀些，⼀名射⼿向某⽬标射击，直⾄命中⽬标为⽌，观察其命中⽬标所进⾏的射击次数。

第一 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。

§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。

通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。

若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。

注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。

中在点；为我校的学生；须有此性质。

如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。

显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。

5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。