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期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1.△ABC中，“cos A＞cos B”是“sin A＜sin B”的（）条件
A. 充要
B. 充分不必要
C. 必要不充分
D. 既不充分也不必要
2.已知函数f（x）=sin x-sin3x，x∈[0，2π]，则函数f（x）的所有零点之和等于（）
A. 0
B. 3π
C. 5π
D. 7π
3.在△ABC中，，则△ABC的形状是（）
A. 等腰三角形但一定不是直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形但一定不是等腰三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
4.已知函数，g（x）=2x，若f[g（x）]≥0，对x∈
（-∞，0]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. （-∞，-1] D. [-1，+∞）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5.已知α是第一象限角，那么是第______象限角．
6.半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是______
7.函数y=sin x cosx的最小正周期是______．
8.已知角α满足，其终边上有一点P（x，y），若y=4，则x=______
9.三角方程满足x∈[0，2π]的解构成的解集为______（用反正弦表示）
10.在△ABC中，若b=2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是______．
11.若2sinα=1+cosα，则tanα=______．
12.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，
则函数g（x）的图象的对称轴方程为x=______
13.△ABC中，AB=5，BC=4，CA=3，D为AB边上的中点，则△ACD与△BCD的外接
圆的面积之比为______
14.下列是有关△ABC的几个命题：
①若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC是锐角三角形；
②若a cos A=b cos B，则△ABC是等腰三角形；
③若a cos B+b cos A=b，则△ABC是等腰三角形；
④若cos A=sin B，则△ABC是直角三角形，
其中所有正确命题的序号是______
15.已知函数y=a sin x+cos x，，其最小值为a，则实数a的取值范围是______
16.设a1、a2∈R，且，则|10π-a1-a2|的最小值等于______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.设α，β∈（0，π），且，．
（Ⅰ）求cosα的值；
（Ⅱ）求cosβ的值．
18.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部
分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），
当时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的值域．
19.如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长
线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为
边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
（1）若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示
成θ的函数并写出定义域；
（2）求出四边形OPDC面积的最大值，并写出面积
取得最大值时的θ的值．
20.若函数f（x）满足且，则称f（x）为“M函数”．
（1）试判断是否为“M函数”，并说明理由；
（2）函数f（x）为“M函数”，且当时，f（x）=sin x，求y=f（x）的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在（2）条件下，当（k∈N）时，关于x的方程f（x）=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，请求出S．
21.若函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，，f（x）+f（-x）的最大值为1．
（1）求φ的值；
（2）若函数f（x）在[1，2]内没有对称轴，求ω的取值范围；
（3）若函数f（x）满足f（x）=f（x+12）恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：解：充分性：在△ABC中，“cos A＞cos B”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A＜B，
若B不是钝角，显然有“sin A＜sin B”成立，
若B是钝角，因为A+B＜π，故有A＜π-B＜，故有sin A＜sin（π-B）=sin B，
综上，“cos A＞cos B”可以推出“sin A＜sin B”，
必要性：由“sin A＜sin B”，
若B是钝角，在△ABC中，显然有0＜A＜B＜π，可得，“cos A＞cos B”，
若B不是钝角，显然有0＜A＜B＜，此时也有cos A＞cos B，
综上，“sin A＜sin B”推出“cos A＞cos B”成立，
故，“cos A＞cos B”是“sin A＜sin B”的充要条件，
故选：A．
本题考查充分条件必要条件的判断，由“cos A＞cos B”推出“sin A＜sin B”证充分性，“sin A＜sin B”推出“cos A＞cos B”证必要性．
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．
2.【答案】D
【解析】解：f（x）=sin x-sin3x=sin x-（sin x cos2x+cos x sin2x）=sin x-（sin x cos2x+2sin x cosxcosx）=sin x-sin x（cos2x+2cos2x）
=sin x（1-cos2x-2cos2x）=sin x（-cos2x-cos2x）=-2sin x cos2x，
由f（x）=0，得sin x=0或cos2x=0，
由sin x=0得x=kπ，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，∴x=0或x=π或x=2π，
由cos2x=0得2x=kπ+=，k∈Z，
即x=，
∵x∈[0，2π]，∴x=或x=或x=或x=，
则所有零点之和为0+π+2π++++=7π，
故选：D．
利用两角和差的正弦公式将sin3x展开，结合f（x）=0，利用三角函数值进行求解即可．本题主要考查函数零点的求解，利用两角和差的正弦公式将sin3x展开，结合三角函数的性质求出所有的零点是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由，，得
（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）•sin（A+B）（a≠b），
∴（a2+b2）（sin A cos B-cos A sin B）=（a2-b2）（sin A cos B+cos A sin B）（a≠b），
∴（a2+b2）（a cos B-b cos A）=（a2-b2）（a cos B+b cos A）（a≠b），
