课程设计报告 题目：MATLAB 及控制系统仿真课程设计 学 院 电子信息工程学院 学科门类 电气信息类 专 业 自动化 学 号 姓 名 陈文华
指导教师 姜萍
2016年 1 月 16 日装
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目录
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一引言
实验目的
（1）加强学生对控制理论及控制系统的理解，熟练应用计算机仿真常用算法和工具，完成控制系统计算机辅助设计的训练。
（2）提高学生对控制系统的综合及设计技能，扩大学生的知识面，培养学生独立分析问题及解决问题的能力，为以后从事实际控制系统的设计工作打下基础。
实验内容与要求
（1）基于观测器的倒立摆控制系统设计及仿真
（2）锅炉过热汽温控制系统设计及仿真
（1）系统分析及数学模型建立
（2）开环系统仿真及动态特性分析
（3）控制方案设计及闭环系统仿真实验
（4）实验结果分析
二倒立摆控制系统
倒立摆的简介
倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
由于倒立摆本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程关系。
在此，我们首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型；采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型；然后应用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律；最后应用状态观测器实现倒立摆系统的稳定控制。
倒立摆的数学模型
倒立摆示意图如图2-1所示，通过对小车施加一定的驱动力，使倒立摆保持一定的位姿。
图2-1倒立摆示意图
小车质量M ；m ：小球的质量；l ：倒摆的杆长；g ：重力加速度；θ：表示倒摆偏离垂直方向的角度；u 是小车受到的水平方向的驱动力；
小球受力分析如图2-2所示，其中),(c c y x 表示小球的重心坐标
图2-2小球受力分析示意图
通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程：
x 轴方向：u x dt
d m x dt d M G =+22
22 小球的重心坐标满足：u l x dt
d m x dt d M =++)sin (22
22θ 整理后得：u ml ml x m M =+-+..
.2..)(cos )(sin )(θθθθ
小球的力矩平衡方程：l mg l F l coos F y x )sin ()sin ()(θθθ=-
θθθθθθθθθθθθsin )(sin )cos (sin )(cos )cos (sin cos ..2.2..2.2..mg ml ml ml ml x m =+++-整理可得：θθθsin cos ..
..mg ml x m =+
最后得到倒立摆系统的动力学方程：
显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位(θ＝0)附近进行线性化处理。 模型转化
微分方程→状态方程
由倒摆系统的动力学模型
取如下状态变量：.
3.43.1.21,,,z x z x z z z z ======θθ
可得到倒摆系统的状态方程： 22111122142121121cos ()sin (cos sin )cos ()(sin )cos sin cos z u z M m g z ml z z z ml z M m l d d z z dt dt x x u ml z z mg z z M m m z θθ⎡⎤⎢⎥⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦
&&状态方程的线性化：
采用Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为： 假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x 轴坐标，则系统的输出方程为：
三 基于状态反馈的倒立摆系统设计
系统的开环仿真
开环仿真的系统Simulink 结构图如图3-1所示
图3-1开环仿真Simulink 结构图
运行后观察小车位置响应曲线如图3-2所示，小球角度响应曲线如图3-3所示。
图3-2cart pos 响应曲线
图3-3rod abgle 响应曲线
由图3-2和图3-3所示，小球的角度会随着小车的位移的增大而增大，并不能自动调整在平衡点附近来回摆动。可见开环系统并不能维持系统的稳定性。 输出反馈设计方法
输出反馈结构Simulink 结构图如图3-4所示
图3-4输出反馈Simulink 结构图
运行后系统波形倒摆的角度的响应曲线如图3-5，小车的位置的响应曲线图3-6所示。
图3-5倒摆的角度响应曲线
图3-6小车的位置响应曲线
通过反复的调整和研究增益k1、k2对于系统误差的敏感性，最终能够稳定系统。然而系统的动态性能远不能让人满意，对于k1=-50,k2=-2，系统只是临界稳定，它仍在新的参考点附近反复震荡。
状态反馈设计
（1）系统能控性判别，应用可控性判别矩阵CM=ctrb （A,B ），再判断该矩阵的秩rank （CM ）=4，由开环系统分析部分已经得知系统状态完全能控。
（2）闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭环系统的期望几点clp ，clp=[+ -5 -4]。
（3）确定反馈增益。应用MATLAB 的place 函数Ks=place （A,B,clp ），确定反馈增益Ks ，Ks=[ ]。
（4）系统设计。由状态反馈方框图可得系统的状态空间表达式为
此时，系统矩阵为S BK A -，(其中s K 为反馈增益矩阵)，控制矩阵为r BN （其中B BK A c N s r 12)(/1--⋅-=）,因为对小车的控制要求静态终值1)(lim 3=∞
→t x t ，所以1)(lim 120
=⋅+--→r S s BN K B A sI c 。此时的系统设计),,*,*(D C N B K B A ss sys r s -= 状态反馈结构Simulink 结构图如图3-7所示
图3-7状态反馈Simulink 结构图
小车位置和状态变量的响应曲线如图3-8所示
图3-8小车位置和状态变量的响应曲线
从响应曲线可以看出，小车开始沿x 轴正向移动，大约3s 后静止在x=1m 处。并且此时所有的状态变量都趋于0，x(t)趋于平衡点。
全维状态观测器的倒立摆控制系统设计与仿真
（1）系统能观性判别。应用客观性判别矩阵N=obsv （A,C ），判别该矩阵的秩rank （N ）=4，所以系统状态完全能观。
（2）状态观测器闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器的动态速度是系统的两倍以上，所观测的极点op=2*clp 。
（3）指定极点的观测器增益L 。同样应用place 函数：G=place （A ’,B ’,op ），G=G ’,G=+00.*[ ]。
（4）系统设计。
