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习题2
2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为
6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。当2s
t =时，求：
(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。 解：由 x x f a m =
，有：x a 263m /168s =
=，27
m /16
y y f a s m -== （1）2
0035
22m /84
x x x
v v a dt s =+=-+⨯=-⎰， 20077
2m /168
y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。
于是质点在2s 时的速度：57
m /s 48
v i j =--
（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++1317
(224)()428216
i j -=-⨯+⨯⨯+⨯
137
m 48
i j =--
2-2 质量为2kg 的质点在xy 平面上运动，受到外力2424=-F i t j 的作用，t =0时，它的初速度为034=+v i j ，求t =1s 时质点的速度及受到的法向力n F 。 解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。
由：d v F m
d t
=，有：2
4242d v i t j dt -=⋅，两边积分有：
0201(424)2
v t v d v i t j dt =-⎰⎰，∴3024v v t i t j =+-， 考虑到034v i j =+，s t 1=，有15v i =
由于在自然坐标系中，t v v e =，而15v i =（s t 1=时），表明在s t 1=时，切向
速度方向就是i 方向，所以，此时法向的力是j 方向的，则利用2424F i t j =-，将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-，∴24n F N =-。
2-3．如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？
解：分别对A ，B 进行受力分析，可知：
A A A m g T m a -=
2B B T m a =
12
B A a a =
则可计算得到：4
5
A a g =
。
2-4．如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间
的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？
解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使
板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。 即：max 212222
f m
g f F
a m m m m m μ=
=<=
+
可得：12()F m m g μ<+
解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ，列式有：
max 2122F m g m a
m
g m a
μμ-==
联立得：max 12()F m m g μ=+， 有：12()F m m g μ<+。
2-5．如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范
围。
解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，
木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：
sin cos N N mg μθθ+=
1s i n c o s N N m
a
θμθ-
= 可计算得到：此时的θμμ
θtan 1tan 1+-=
a g （2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图
b ），列式为：
sin cos N mg N μθθ+=
2sin cos N N ma θμθ+=
可计算得到：此时的θ
μμθtan 1tan 2-+=a g ，所以：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ
μθμθ-+≤≤+-。
解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解，如图示，同时
考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： 'x 方向：sin cos 0mg ma f θθ-±=
'y 方向：cos sin 0N mg ma θθ--=
考虑到f N μ=，有：sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=，
解得：sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμ
θμθμθ
±±=
=。 ∴a 的取值范围：
tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ
μθμθ
-+≤≤+-。
2-6．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv =- 又由牛顿第二定律可得：dv f m
dt =，则dv
kv m dt
-=
