高数空间解析几何学向量及其运算共32页

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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3.两个向量的平行关系
定 理 设 向 a 量 0， 向 b 平 量行 a 的 于充
分必要条件 一是 的： 实 ，存 数 b 使 在 a . 唯
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三、空间直角坐标系
1.坐标轴：给定一个点和单位向量就确
定了一个坐标轴。
o i P
x
x1
连接点 O 与 点 P 得向量 OP , OP x1i
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2.空间直角坐标系： 原点 O ,
三个两两垂直的坐标轴, 坐标轴正方向符合右手法则.
z竖轴
k
定点 o•
j
y纵轴
i
横轴 x
以i , j , k 分别表示 x, y, z轴正向的单位向量.
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3.空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅲ
uuuur 则向量 OM = ( x, y, z) 的模为 uuuur OM x2 y2 z2 .
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例1
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量.
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例1
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量. 解:所求向量有两个，一个与 ar 同向，一个与 ar 反向.
|a |6 2 7 2 ( 6 ) 2 11,
d OM x2y2z2.
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小结：
设 M1= x1，y1，z1 ，M2= x2，y2，z2 为空间两点
uuuuuur
则向量 M1M2= x2 x1，y2 y1，z2 z1 的模为
uuuuuur M1M2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
高等数学
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
高等数学
思考题
已试知 用平aA,行Cb 表四示边a,平形行ABB四DC边D的形b对四角边线上对应的向量.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
高等数学
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
高等数学
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
a
取
与 a 同向时 取正值，
b a
,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
a
同向.
且 a
a
b
a
的b.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a
0，
a
0， 故
0，
即
.
高等数学
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|

( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :

|a|
非零向量a与三个坐标轴正向的夹角 , ,
称为非零向量 a的方向角.
z
P1

a


P2
0 0
O
y
0
x
方向角的余弦 cos , cos , cos
叫做向量
a
的方向余弦.
非零向量
a

(a1 ,
a1
,
a3
)
的方向余弦为
cos
a1
a12 a22 a32
cos
a2
a12

a
2 2

a32
cos
a3
a12 a22 a32
且 cos2 cos2 cos2 1.
例1 设已知两点 P1(2,2, 2), P2(1,3,0), 计算向量 P1P2 的模、方向余弦和方向角.
解 P1P2 (1 2,3 2,0 2) (1,1, 2),
a

b
称为
向量
a 与
b 的向量积.
向量积的几何意义：
|
a

b
|
表示以 a和b
为邻边的平行四边形的面积.
b

| b | sin
a
(a

b)

c
表示以
a,
b,
c为棱的平行六面体的体积.
因此,
三向量
a,b,c
共面

(a b) c 0
故
a b a1b1 a2b2 a3b3 数量积的坐标表达式
设向量
a (a1, a1, a3 ),