山西财经大学
教案
课程名称微积分（二）
课程代码
适用专业经济、管理各专业；
开课时间2015年3月* 日第1周至第16 周授课班级微积分公选班
主讲教师
职称
使用教材微积分（经管类）；隋如彬主编
二○一四年六月
教案（扉页）
共选修课、跨专业选修课、实验课等。
2.教学方法：课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，案例教学，研究性教学，当堂测试，提问式教学，课程论文，课程设计，学生讲授，师生互动等。
3.教学手段：多媒体教学，传统讲授，网络教学，远程教学，VCD，录相等。
4.考核方式：闭卷考试，开卷考试，课程论文，课程设计，科技作品，课堂答辩等。
注：。
第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分,⎰=b adx xfA)(是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数⎰=x adt tfxA)()(就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分:⎰=b adx xfA)(.一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得⎰=b adx xfU)(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=d c dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2s i n 41s i n 223[a a =++=.二、体 积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a bV )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V b a )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为 dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=.于是所求正劈锥体的体积为⎰--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==⎰ . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素 dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. 例2. 计算悬链线cx c y ch =上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 解: cx y sh =', 从而弧长元素为 dx cx dx c x ds ch sh 12=+=. 因此, 所求弧长为⎰⎰==-b b b dx cx dx c x s 0ch 2ch c b c dx c x c b sh 2]sh [20==. 2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=. 所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例3. 计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=. 所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a . §6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r q k F = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功. 例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r q k F = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q k2, 即功元素为dr r q kdW 2=. 于是所求的功为dr rkq W b a 2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=. 当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx xk , 即功元素为dx xk dW =. 于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x R R ---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(llx y a dy am G F ρ22412l a a l Gm +⋅-=ρ.。
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
