中考数学专题复习——分类讨论问题
一、教学目标
使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分
类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点
对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点
对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计
1：分式方程无解的分类讨论问题；
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；
4：分类问题在动点问题中的应用；
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；
4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题
例题1：（20PP 武汉）=+=-+-a 3
49332无解，求x x ax x 解：去分母，得：
1
.6,801a 31
-a 21-31-a 21-21
1-a )
3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？68-==a a 或
例题2：（20PP 郴州）==--+a 21
12无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3：（20PP 上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02
=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程G+1=0，有实数根G=1-
（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：4
1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，4
1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
A C
2 p 例题4：（20PP 益阳）当m 是什么整数时，关于G 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02≠m ，0≠m ， 1.m ,01≤≥∆解得
同理，.45m ,02-≥≥∆解得1m 4
5≤≤-∴且0≠m ，又因为m 为整数.11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为222±-=x 不是整数，所以m=—1舍去。
（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2
=++-x x m 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m 450
01≠≤⇒⎩⎨⎧≥∆≠-且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5：（20PP 青海）方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
Ａ12 Ｂ12或15 Ｃ15 Ｄ不能确定
例题6：（20PP 武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
例题8：（20PP 四校联考）一条绳子对折后成右图A 、B,A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题
4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；
例题9：（20PP 永州）正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。 解：点P 从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所用时间是秒，
秒，秒，秒，即5秒，10
秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5时，点P 在线段AB
上，
|PD|=|P 1D|=(cm)
（2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，
|PD|=|P 2D|=
（3）当10≤t<15
时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t
（4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30 综上得：|PD|=
总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
M
E A B C D N 例题10：（20PP 福建）已知一次函数333
3+-
=x y 与G 轴、P 轴的交点分别为A 、B ，试在G 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB
1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。先可以求出B A 点坐标（9，0）。设P 点坐标为)0(，x ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，
分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，
-+-。（不适合条件的解已舍去） 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会
引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(20PP 湖北)如图，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE
，MN=1，
线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似。
分析与解答勾股定理可得ABE 与以D 、M 、N
为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与
AB 是
对应边，所以本题分两种情况：
（1
） 当DM 与BE 是对应边时，
DM MN AB AE =， 即1
DM DM =
．（2）当DM 与AB 是对应边时，
DM MN AB AE =
，即2DM DM =DM 例题12：（20PP 湘潭）如图，直线P=3G+3交G 轴于A 点，交P 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交G 轴于另一点C （3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使三角形ABQ
是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不
存在，请说明理由。 说明从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广
泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，
要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识
的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．
