一、选择题（每小题3分共15分）
1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).
(A) x 2a +c ； (B) a a x
ln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.
2. F(x)= dt te 1x t
⎰--, 则 F'(x)= ( ).
(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.
3. ⎰10xdx ( ) ⎰102
dx x .
(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.
4. 级数∑∞
=+-1n n
1n n )1( (
) .
(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.
5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).
(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.
1 (B)；
2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).
二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）
1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).
2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰b
a
dx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).
3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞
=1n n
n
a 也收敛. ( ).
4. 级数∑∞
=13sin 2n n n π
收敛. ( ).
5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )
y ,x (f ∂∂∂=x y )
y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (
). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f
∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.
( ).
7. ⎰π
-0
2xdx sin <⎰π20
xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).
三、填空题（每小题3分共18分）
1.
dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1
123)3(= -2 .
3. 0x lim →x tdt
cos x
02⎰ = 1 .
4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1
-.
5. 级数∑∞
=-1n n
)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.
四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）
1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.
解： ∵ (x)
...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)
x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨
⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 2
1dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n n
x 2
n 1-∞
=∑的收敛半径，并求和函数
解：收敛半径R=n )
1n (n 2
n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 2
1-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2
/x 1121x
0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 2
1)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且
4. 把函数x cos )x (f 2
=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。 解：x cos )x (f 2
==(1+cos2x)/2=∑∞=-+0n n
2n )!n 2(2)x 2()1(21 故 f(x)= ()∑∞=+1n n 2n )!n 2(2x 21-1）（, +∞<<∞-x .
5. 某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q 对P 的函数关系。(注：需求量Q 对价格P 的偏弹性定义为E p =Q
P P Q P P /Q Q lim 0P ∂∂=∆∆→∆, P331) 解：依题得 Q P dP dQ =-Pln3, 故dP
Q ln d =-ln3, lnQ=lnc3-P , Q=c3-P . 由于 1200=c, 故 Q=1200∙3-p . 6. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为P )31(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=，求需求量Q 与价格P 的函数关系。
解：∵P )31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-= ∴P )31(1000Q =+c. Q(0)=1000=0)3
1(1000+c, c=0,故 P )3
1(1000Q =. 7.
求曲线82-=x y 与直线2x+y+8=0, y=-4所围成的
图形的面积.
解：面积S=48(y /24))dy ----⎰ = = 16/3-12+16=28/3.
