第10讲轴对称
知识点梳理：
1.轴对称概念
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。
②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3. 线段的垂直平分线的性质及判定
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 尺规作图
（1）如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点
（2）作线段的垂直平分线
①分别以点A、B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
②作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线。
【经典例题】
例1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为___________ （填序号）．
例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正前方时，镜子中的号码是（）
（A）（B）（C）（D）
例4、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是多少？
例5、如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，求∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数
例6、如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．
例7、已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．
作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；
（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．
例8.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
例9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-4，3），
C（-1，1）．作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，请直接写出点B′关于x轴的对称点的坐标．
经典练习：
1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
P 2
P
1
B
A
N
M
O
P
3．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A ．有两个角相等的三角形；
B ．有一个角是45°的直角三角形．
C ．有两个角分别是50°和80°的三角形
D ．平行四边形．
4．如图9－13所示，△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，BE ＝5厘米，△BCE 的
周长是18厘米，则BC ＝ 厘米．
5．如图9－14，在△ABC 中，∠C ＝90°．BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，若DE ＝1厘米，
BD=2厘米，则AC ＝ 厘米．
6．如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于
OA 、OB 的对称点P 1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ， 交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长是________．
7．在某一地区有居民区A 、B 、C ，如图9－15．现想 在此地区建造一牛奶站P ，使P 到A 、B 、C 三点的距离 相等．请你作出P 点．
河岸
A
8、如图，A 、B 两个村庄在河岸的同一侧，现要在河岸上开设取水口，铺设灌溉管道。 为了使管道铺设距离最短，请在图中画出取水口P 的位置。
9．已知∠AOB ，试在∠AOB 内确定一点P ，如图9－16，使P 到OA 、OB 的距离相等，并且到M 、N 两点
的距离也相等．
10．如图，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交BC 于M 、N ， (1)若△CMN 的周长为18cm ，求AB 的长。（2）若∠MCN=48°，求∠ACB 的度数。
11．点(1,3)P -关于x 轴的对称点的坐标为 ．点)0,1(-关于y 轴的对称点为 。
N
M
B
E
D
C
A
