分布列期望方差练习题分布列期望方差练习题在概率论与数理统计中，分布列期望方差是一个重要的概念。
它能够帮助我们了解随机变量的平均值和离散程度，进而对概率分布进行分析和应用。
本文将通过一些练习题来探讨分布列期望方差的计算和应用。
练习一：假设有一个骰子，它有六个面，每个面上的点数分别为1、2、3、4、5和6。
现在我们投掷这个骰子10次，每次投掷的结果为一个随机变量X。
请计算X的期望和方差。
解答一：首先，我们需要确定随机变量X的取值和对应的概率。
在这个问题中，X可以取到的值为1、2、3、4、5和6，且每个值的概率都是1/6。
因此，我们可以列出X的分布列如下：X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6接下来，我们可以计算X的期望。
期望是随机变量X的平均值，计算公式为E(X) = Σ(X * P(X))。
根据分布列，我们有：E(X) = 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + 1/6 * 3 + 1/6 * 4 + 1/6 * 5 + 1/6 * 6 = 3.5所以，X的期望为3.5。
然后，我们计算X的方差。
方差是随机变量X与其期望的偏离程度的平均值，计算公式为Var(X) = Σ((X - E(X))^2 * P(X))。
根据分布列和期望的计算结果，我们有：Var(X) = (1 - 3.5)^2 * 1/6 + (2 - 3.5)^2 * 1/6 + (3 - 3.5)^2 * 1/6 + (4 - 3.5)^2 * 1/6 + (5 - 3.5)^2 * 1/6 + (6 - 3.5)^2 * 1/6= 17.5/6≈ 2.92所以，X的方差约为2.92。
练习二：现在我们来考虑一个更复杂的问题。
假设有一个箱子，里面有红球和蓝球。
箱子中总共有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。
我们从箱子中随机抽取3个球，每次抽取的结果为一个随机变量Y。
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
专题 随机变量的分布列、期望、方差2020.2【知识回顾】1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．常用ηξ、、、Y X 表示. 2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n称为离散型随机变量X 的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3. 离散型随机变量的期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ 1x 2x --- n x P1p2p---n p则称n n p x p x p x E +++=Λ2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值）,简称为期望.① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定；③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值；④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态. （2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 4. 离散型随机变量的方差（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ 1x 2x --- n x P1p2p---n p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…n n p E x 2)(ξ-+为ξ 的方差.① 反映随机变量取值的稳定与波动;② 反映随机变量取值的集中与离散的程度;③ ξD 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定;④ ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散;⑤ ξD 的算术平均数ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度.（2）方差的性质： ① 0)(=C D 为常数）C (② ξξD a b a D 2)(=+ 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则npq D =ξ p q -=1其中 （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则2p qD =ξ p q -=1其中 （几何分布）⑤ 22)(ξξξE E D -=【习题训练】1. 某射手射击所得环数X 的分布列为：X 45678910P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（） A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51 【答案】 C 【解析】 略2. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P 0.5 1-2q 2q则q 等于（） A. 1 B.221± C.22-1 D.221+【答案】 C 【解析】 略3．【2017届浙江省杭州市4月二模】已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ=__________， D ξ=__________. 【答案】 112【解析】1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯= ， ()()()22211110111214242E ξ=-⨯+-⨯+-⨯= .4．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量的分布列如下表：若，则______；______．【答案】 0. .所以故答案为：0，.点睛：本题主要考查分布列的性质，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.5．【浙江省台州市2018届高三上期末】已知随机变量X 的分布列为:X 1 2 3P12 13m 则m =___________， ()D X =__________. 【答案】16 59【解析】由题意，1111,236m m ++=∴=， 11151232363EX ∴=⨯+⨯+⨯=， ()D X = 22215151551232333639⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为（1）16，（2）59.6.【2017届浙江省台州市4月一模】已知离散型随机变量的分布列为0 1 2则变量的数学期望_________，方差____________.【答案】 17．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：当时，__________，__________．【答案】【解析】分析：由分布列的性质和数学期望的公式，求得，进而求得，又因为，所以，即可求解.详解：由题意，因为，所以，则，又因为，所以.8．【2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试】随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝（）X0 2 aP pA. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C9．【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知，随机变量ξ 的分布列如下：ξ－1 0 1P当a 增大时，（）A. E(ξ)增大，D(ξ)增大B. E(ξ)减小，D(ξ)增大C. E(ξ)增大，D(ξ)减小D. E(ξ)减小，D(ξ)减小【答案】A10．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量()1,2i ξ=的分布列如表所示：ξ 0 12p 13 i p 23i p -若1212023p p <<<<，则（ ） A. ()()()()1212,E E D D ξξξξ<< B. ()()()()1212,E E D D ξξξξ C. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> D. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> 【答案】D【解析】分析：根据定义用i p 表示出()i E ξ， ()i D ξ，根据函数单调性得出结论． 详解：由题意得()24233i i i i E p p p ξ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ∵1212023p p <<<< ∴()()12E E ξξ> ∵()()()()2221201233i i i i i i D E p E p E ξξξξ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∴()222214122183333339i i i i i i i i D p p p p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()21839f x x x =--+，则()f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ∵1212023p p <<<< ∴()()12D D ξξ> 故选D.11.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】已知，随机变量的分布如下：-1 0 1当增大时，（ ） A. 增大，增大 B. 减小，增大 C.增大，减小 D.减小 ，减小【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，21)121()21()21()121()(D 222⨯-+-+-⨯+-+⨯++-=a a a a a ξ，又∵，∴故当增大时，减小，增大，故选B.12．【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==-，若203x <<，则（ ） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小 【答案】C【解析】∵ 随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==- ∴()124012333E x x x ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭∴221811139612x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∵203x <<∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 故选C13．【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量的分布列如下：-1 0 1其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.则的最大值为 .本题选择A 选项.【真题练习】【母题原题1】【2019浙江，7】设0<a<1，随机变量X 的分布列是X 0a1P31 31 31当a 在），（10内增大时， A. D （X ）增大 B. D （X ）减少 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大 【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 详解：313a 31131310)(+=⨯+⨯+⨯=a E ξΘ27)1(631)1313(31)313(31)0313()(D 2222+-=⨯-++⨯-++⨯-+=∴a a a a a a ξ D )D( (0,1)a 先减后增，选，ξ∴∈∴点睛：【母题原题2】【2018浙江，7】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ12P则当p 在（0，1）内增大时，A. D （ξ）减小B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小 【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：【母题原题3】【2017浙江，8】已知随机变量iξ满足P （iξ=1）=p i ，P （iξ=0）=1—p i ，i=1，2.若0<p 1<p 2<21，则A. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξB. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξC. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξD. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ 【答案】A【解析】∵()()1122,E p E p ξξ==，∴()()12E E ξξ<，∵()()()()1112221,1D p p D p p ξξ=-=-，∴()()()()12121210D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．。
