第22讲 轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点(2,1)P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠，则PCD ∆外接圆半径的最小值为( ) ABC ．2413D ．1913【解答】解：如图，先固定直线AB ，设()BMf M AM=，则f （C ）f =（D ）()f P =，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD ∆外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由(2),2BP BQ AP BP r r AP AQ AP AP AQ BP +==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP =-，综上，111||r AP BP=-；当直线AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP -=，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得222(245)48(12)96(1)0k x k k x k k ++-+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由根与系数的关系有，122212248(21)24596(1)245k k x x k k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， ∴22121211111111|||||2||2||2|1|2|1r AP BP x x x k x k =-=-=----+-+，注意到12x -与22x -异号，故12122121212|2||2|411|125|||||(2)(2)2()4191x x x x k r x x x x x x k ---+-+===---+++，设125t k =+，则221112||12112261319191924191110169169()101t r t t t===-+-+，故1913r ， 又19191213>， 故选：D ．2|2|x y ++表示( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆|2|x y ++变形为：=，表示点(,)P x y 到定点(1,1)-与定直线的距离相等的点的轨迹， 由抛物线的定义可知：点P 的轨迹是抛物线． 故选：C ．3．若动圆过定点(3,0)A -且和定圆22(3)4x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹为( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R ，动圆圆心为P ，点A 在动圆上，||PA R ∴=又定圆22(3)4x y -+=的圆心为(3,0)B，半径为2， 定圆与动圆P 相外切∴圆心距||2PB R =+由此可得||||(2)2PB PA R R -=+-=（常数），∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支故选：D ．4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=【解答】解：设动圆圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得1||1MC r =+，2||3MC r =+，相减可得2112||||2||MC MC C C -=<， 故点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22a =，3c =，b ∴==故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=-．故选：B ．5．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹方程是()A ．212x y =-B ．21216x y =-C ．222x y =-D ．221x y =-【解答】解：由24x y =，得其焦点坐标为(0,1)， 设线段PF 中点为(,)x y ，1(P x ，1)y ， 由中点坐标公式得：11212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴11221x xy y =⎧⎨=-⎩，P 是抛物线上的点，∴2114x y =，即244(21)x y =-，221x y ∴=-． 故选：D ．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，动点M 的轨迹方程是 2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． ．【解答】解：设(,)M x y ，MAB α∠=，则2MBA α∠=，它们是直线MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方还是下方有关；以下讨论： ①若点M 在x 轴的上方，(0,)2πα∈，0y >，此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为2πα-， tan 1MA y k x α∴==+，tan(2)2y x πα-=-，0(290)α≠ tan(2)tan 2παα-=-，22121()1yy x y x x ⨯+∴-=--+，得：2233x y -=， ||||MA MB >，1x ∴．当290α=︒时，45α=︒，MAB ∆为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程．②当点M 在x 轴的下方时，0y <，同理可得点M 的轨迹方程为2233(1)x y x -=， ③当点M 在线段AB 上时，也满足2MAB MBA ∠=∠，此时0(12)y x =-<<． 综上所求点的轨迹方程为2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． 故答案为：2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．7．设圆22(1)36x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 22198x y +=【解答】解：如图，连接MA ，根据垂直平分线的性质，MA MQ =， 由已知得(1,0)C -，6r =，所以2AC =， 同时62MA MC MQ MC CQ r AC +=+===>=， 因此点M 的运动轨迹为椭圆，设其方程为22221x y a b +=，(0)a b >>，所以其方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=．8．已知点1(F 0)，圆222:(16F x y -+=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，则点N 的轨迹方程为 22142x y += ．【解答】解：因为1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点， 所以1NF NM =．所以1222124NF NF NM NF MF F F +=+==>= 所以点N 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a ∴=，c =222422b a c =-=-=，所以点N 的轨迹方程为：22142x y +=．故答案为：22142x y +=．9．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为 221(2)43x y x +=≠- ．【解答】解：由圆22:(1)1M x y ++=，可知圆心(1,0)M -；圆22:(1)9N x y -+=，圆心(1,0)N ，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(3)4PM PN R R ∴+=++-=，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆， 2a ∴=，1c =，2223b a c =-=．∴曲线C 的方程为22143x y +=（去掉点(2,0))-故答案为：221(2)43x y x +=≠-．10．方程||x y +=所表示的曲线是 双曲线 ．【解答】解：方程||x y +=意义是：平面内动点(,)x y 到定点(1,1)，与到定直线0x y +=迹，1>，(1,1)不在直线0x y +=上，∴轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点(,)P x y 到定点(5,0)F 的距离是它到直线95x =的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程是 221916x y -= ．【解答】解：点(,)P x y 到定点(5,0)F， 点(,)P x y 到直线95x =的距离是9||5x -，∴59||35x -，化简为221916x y -=．故答案为221916x y -=．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线(44)x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点11(,)P t y 、22(,)P t y ，且10y >、20y <，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为 221169x y -= ．【解答】解：由题意，直线12A P 的方程为2(4)4y y x t =++，直线21A P 的方程为1(4)4y y x t =--， 两式左右分别相乘得22122(16)16y y y x t =--① 11(,)P t y 、22(,)P t y 在椭圆221169x y +=上 ∴2211169y t +=，2221169y t += ∴2219(1)16t y =-，2229(1)16t y =-10y >，20y <2129(1)16t y y ∴=-代入①可得221169x y -=故答案为：221169x y -=三．解答题（共28小题）13．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程，并说明C 是什么曲线．【解答】解：点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-， 化简得221(2)42x y x +=≠±，即曲线C 的方程为221(2)42x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，线段AB ，点A 为C 上一点，点(11,13)B ，求AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5，得125M M MM ==，化简得2222230x y x y +---=．即22(1)(1)25x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． （2）设(,)P x y ，0(A x ，0)y ，根据题意有00112132x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所00211213x x y y =-⎧⎨=-⎩，点A 在圆C 上，所以有2200(1)(1)25x y -+-=， 所以22(212)(214)25x y -+-=， 所以2225(6)(7)4x y -+-=， 所以AB 的中点P 的轨迹方程为2225(6)(7)4x y -+-=． 15．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【解答】解：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=， 又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=， 从而||4AD =，所以||||4EA EB +=⋯（5分） 由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠⋯（10分）16．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ． 圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，1212||||()()4||PM PN R r r R r r MN ∴+=++-=+=>，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得24a =， 2a ∴=，1c =，23b ∴=，∴椭圆方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）||||2PA PB ==，以P 为圆心，||PA 为半径的圆22:(1)(1)4P x y -+-= 与圆22:(1)1M x y ++=公共弦所在直线为l 的方程为21y x =--，联立曲线22:1(2)43x y C x +=≠-与直线:21l y x =--，可得2191680x x +-=，△0>，设交点1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则121619x x +=-， ∴中点的横坐标为128219x x +=-，代入直线:21l y x =--，得中点的纵坐标为319-， ∴所求中点坐标为8(19-，3)19-． 17．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线:l y x k =+与曲线C 相切，求k 的值．【解答】解：（1）圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-； （2）由22143x y y x k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22784120x kx k ++-=， 若直线l 和曲线C 相切， 则△226428(412)0k k =--=，解得：k =18．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．【解答】解：圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=， 设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-．19．已知圆C 的方程为22(3)4x y -+=，定点(3,0)A -，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：圆P 与圆C 外切，如图，||||2PC PA ∴=+，即||||2PC PA -=， 0||||||PC PA AC <-<，∴由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中1a =，3c =，222918b c a ∴=-=-=．故所求轨方程为221(0)8y x x -=<． 20．已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=．动圆M 与两圆都相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切， 12||||MC MC ∴=，即M 点在线段1C ，2C 的垂直平分线上又1C ，2C 的坐标分别为(4,0)-与(4,0)∴其垂直平分线为y 轴，∴动圆圆心M 的轨迹方程是0x =；②若一内切一外切，不妨令与圆221:(4)2C x y ++=内切，与圆222:(4)2C x y -+=外切，则M 到2C 的距离减去M 到2C 的距离的差是M 的轨迹是以(4,0)-与(4,0)为实半轴长的双曲线左支，故可得22214b c a =-=，故此双曲线的方程为221(0)214x y x -=<．同理与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，此双曲线的方程为221(0)214x y x -=>． ∴此双曲线的方程为221214x y -=．综①②知，动圆M 的轨迹方程为221214x y -=或0x =．21．在三角形ABC 中，||4BC =，ABC ∆的内切圆与BC 相切于点D ，||||2BD CD -=，求顶点A 的轨迹方程． 【解答】解：如图，设E 、F 分别为圆与AB 、AC 的两个切点， 则||||BE BD =，||||CD CF =， 又||||AE AF =，||||||||||||2AB AC BE CF BD CD ∴-=-=-=，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(0)y ≠，且1a =，2c =，b ∴∴轨迹方程为221(1)13x y x -=>．故答案为：221(1)13x y x -=>．22．直角三角形ABC 的直角顶点A 为动点，(B ，0)C 0)，作AD BC ⊥于D ，动点E 满足(1AE AD =，当动点A 运动时，点E 的轨迹为曲线G ， （1）求曲线A 的轨迹方程；（2）求曲线G 的轨迹方程；（3）设直线L 与曲线G 交于M 、N 两点，坐标原点O 到直线L，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）直角三角形ABC 的直角顶点A的轨迹为圆：223(x y x +=≠；（2）设(,)E x y ，0(A x ，0)y ，则0(D x ，0)，2203x y +=， 动点E满足(1AE =AD ，∴0000)x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得0x x =，0y =， 代入曲线A 的轨迹方程可得2233x y +=，化为221(3x y x +=≠．（3）当直线L 的斜率不存在时，直线L的方程为：x =，||MN = 当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为：y kx m =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 坐标原点O 到直线L，∴=22433m k =+． 联立2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(13)6330k x kmx m +++-=， 则122613kmx x k-+=+，21223313m x x k -=+． 又22433m k =+．12||32666MN ∴=++，当且仅当213k =时取等号． 综上可得：||MN 的最大值为2．23．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，求动点P 的轨迹方程． 【解答】解：由抛物线的定义知点P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，其开口方向向右，且22p=， 解得4p =，所以其方程为28y x =．故答案为：28y x =．24．若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切，又与直线10x +=相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解答】解：设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ， 圆22:(2)1C x y -+=，∴定圆圆心为(2,0)C ，半径1r =，两圆外切， ||1MC R ∴=+，又动圆M 与直线10x +=相切，∴圆心M 到直线10x +=的距离d R =，||1MC d ∴=+，即动点M 到定点(2,0)C 的距离等于它到直线20x +=的距离，由抛物线的定义可得，点M 的轨迹是以C 为焦点，20x +=为准线的抛物线，且22p=，即4p =，故动圆圆心的轨迹方程为28y x =．25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．求点P 的轨迹方程．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由题意可得0(N x ，0)， 设(,)P x y ，由点P 满足2NP NM =．可得0(x x -，0))y y =，可得00x x -=，0y =， 即有0x x =，0y =代入椭圆方程2212x y +=，可得22122x y +=，即有点P 的轨迹方程为圆222x y +=； 故答案为：222x y +=．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(P a ，)(0)b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．由题得212||||PF F F =2c ，整理得22()10c c a a +-=，得1ca=-（舍)，或12c a =， 所以12e =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线方程为)y x c =-． A ，B的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨-⎪⎩， 消y 并整理得2580x xc -=，解得0x =，85x c =，得方程组的解为0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，85x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设8(5A c)，(0,)B ．设点M 的坐标为(,)x y ，则8(5AM x c =-，)y -，(,)BM x y =+由)y x c =-得c x y =①， 由2AM BM ⋅=-即8()()()25x c x y y -+-+=-．将①代入化简得218150x --=，2y ⇒=代入①化简得2105016x c x +=>．所以0x >，因此点M的轨迹方程为218150x --=(0)x >．27．设0λ>，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足，BQ QA λ=经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．【解答】解：由QM MP λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，0(,)Q x y ，2(,)M x x 则220()x y y x λ-=-即20(1)y x y λλ=+-①再设1(B x ，1)y 由BQ QA λ=得()()11011x x y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩② 将①代入②式得()()12211(1)1x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎪⎨=+-+-⎪⎩③ 又点B 在抛物线2y x =将③代入得222(1)(1)((1))x y x λλλλλλ+-+-=+-整理得2(1)(1)(1)0x y λλλλλλ+-+-+=因为0λ>所以210x y --= 故所求的点P 的轨迹方程：21y x =-28．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP AF =，BQ BF =及//AP BQ ，得90AFP BFQ ∠+∠=︒， 90PFQ ∴∠=︒，R 是PQ 的中点，RF RP RQ ∴==，PAR FAR ∴∆≅∆，PAR FAR ∴∠=∠，PRA FRA ∠=∠，1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=︒-∠=∠=∠，FQB PAR ∴∠=∠， PRA PQF ∴∠=∠， //AR FQ ∴．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(2F ，0)，准线为12x =-， 1211||||22PQF S PQ y y ∆==-， 设直线AB 与x 轴交点为N ， 121||||2ABF S FN y y ∆∴=-， PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍， 2||1FN ∴=，1N x ∴=，即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ，由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2212122()y y x x -=-，又12121y y yx x x -=--， ∴11y x y=-，即21y x =-． AB ∴中点轨迹方程为21y x =-．29．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12F F 为1PF 和2PF 的等差中项． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过1F 作直线L 交C 于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ， 12||2F F ∴=，12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项， 12122||||||F F PF PF ∴=+，即12||||4PF PF +=，∴点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，24a =， 2a ∴=，又1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的方程是22143x y +=；（2）设AB 中点(M x ，)(22)y x -<<， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 在椭圆C 上，∴2211143x y +=①， 2222143x y +=②， ①-②得：12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-， 即12121212123323()4424y y x x x xx x x x y y y y-+=-=-=-≠-+． ∴03(1)4y xx y-=---，整理得：223430(22)x y x x ++=-<<． 而1(1,0)F -适合上式，AB ∴的中点M 的轨迹方程为223430(22)x y x x ++=-<<．30．已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程．【解答】解：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=， 所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--． 由题设知0CM MP =，..⋯（6分）故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．..⋯（12分）31．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，点1(,0)2M ，并且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈，整理得曲线C 的普通方程221(1)4y x x +=≠-．（2）直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，代入2214y x +=；得到213120t +-=，所以12t t +=，121213t t =-；故1211||||MA MB +==． 32．如图，椭圆22022:1(0x y C a b a b+=>>，a ，b 为常数），动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点1A ，2A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交A '，B '，C '，D '四点，其中2b t a <<，12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【解答】()I 解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21x x =，21y y =-， 1(,0)A a -，2(,0)A a ，则直线1A A 的方程为11()y y x a x a=++①直线2A B 的方程为11()y y x a x a-=--② 由①⨯②可得：22221221()y y x a x a -=--③ 1(A x ，1)y 在椭圆0C 上，∴2211221x y a b += 222112(1)x y b a∴=-代入③可得：2212222221(1)()x b a y x a x a --=-- ∴22221(,0)x y x a y a b-=<-<； ()II 证明：设3(A x '，3)y ，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 11334||||4||||x y x y ∴=22221133x y x y ∴=A ，A '均在椭圆上，222222311322(1)(1)x x b x b x a a∴-=-4422311322x x x x a a∴-=-222441313()a x x x x ∴-=-12t t ≠，13x x ∴≠．22213x x a ∴+=222112(1)x y b a =-，222332(1)x y b a=-22213y y b ∴+=∴222212t t a b +=+为定值． 33．已知P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-． （1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由； （2）设点M 是PAB ∆的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点， 故点P 的坐标为(0,3)-，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx b =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 故1122(,3),(,3)PA x y PB x y =+=+， 因为4PA PB ⋅=-，则1212(3)(3)4x x y y +++=-， 因为A 、B 是C 上的两个动点， 则有211134y x =-，222134y x =-， 故212121416x x x x +=-， 整理可得22121216640x x x x ++=，解得128x x =-， 由2134y kx b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得241240x kx b ---=， 则有124x x k +=，12124x x b =--， 所以1248b --=-，解得1b =-， 故直线AB 的方程为1y kx =-， 所以直线经过一个定点(0,1)-．（2）线段PA 的中点坐标为311(,3)28x x -，又直线PA 的斜率为2111144PAx x k x ==， 所以线段PA 的垂直平分线的方程为211143()82x x y x x -+=--，① 同理，线段PB 的垂直平分线的方程为222243()82x x y x x -+=--，② 由①②解得21212(),28x x x x x y ++==， 设点(,)M x y ，则有122122()8x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消去12x x +，得到212x y =， 所以点M 的轨迹方程为212x y =． 34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4M y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线2:4M y x =的焦点为(1,0)， 可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线与椭圆方程22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以21224234x x k k +=+，212122243(1)(1)223434y y x x k kk k k k ++-=-=-=++， 所以224(34k P k +，23)34k k -+，直线3:4OP y x k=-③，直线AB 的方程(1)y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以(0,)E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43ky x k =-④， 将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239()864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(8，0)为圆心，38为半径的圆，所以存在定点3(8H ，0)，使得QH 的长为定值38．35．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且12||2B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当1k =时，求OMN ∆的面积；（Ⅲ）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为12||2B B =， 所以22b =，即1b =，因为离心率为2，所以2c a =，设c m =，则a =，0m >， 又222c a b =-，即2222m m b =-， 解得1m =或1-（舍去），所以a =1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）联立22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(2)20x x ++-=，所以23860x x ++=， 所以△284360=-⨯⨯<， 所以直线与椭圆无交点， 所以OMN ∆的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)860k x kx +++= 则22122122(8)46(12)0821621k k k x x k x x k ⎧⎪=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩因为直线和椭圆有两个交点， 所以△22(8)24(21)0k k =-+>，则232k >， 设(,)T m n ，因为1B ，T ，N 在同一条直线上， 则111111313y kx n k m x x x +++===+， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+， 由于21212283()3()11213440621kx x n n k k k m m x x k ⋅-++-++⋅=+=+=+， 所以12n =， 所以交点T 恒在一条直线12y =上， 所以交点T 的纵坐标为定值为12．36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线2x =-被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 与坐标轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，交y 轴于点E ，P 为线段AB 的中点，EQ OP ⊥且Q 为垂足．问：是否存在定点H ，使得QH 的长为定值？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：c e a ==，222a b c -=，化简得222a b =， 故C 的方程为：22221(0)2x y b b b+=>，将2x =-代入椭圆C的方程得：||y =，所以=24b =，所以2228a b ==，所以椭圆C 的方程：22184x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，直线AB 的方程为(2)y k x =-， 则直线AB 与y 轴的交点为(0,2)E k -，由2211184x y +=，2222184x y +=，得212121214182y y y y x x x x -+⨯=-=--+ 又2121y y k x x -=-，021021OP y y y k x x x +==+，所以12OP k k =-，故OP 的方程为12y x k=-， 由EQ OP ⊥得：2EQ k k =，所以直线EQ 的方程为22y kx k =-，即2(1)y k x =-， 所以直线EQ 过定点(1,0)M ，所以Q 在以OM 为直径的圆220x y x +-=上， 所以存在定点1(,0)2H ，使QH 的长为定值12．37．已知椭圆E 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．点M 在E 上，212MF F F ⊥，△12MF F的周长为6+13c ．（1）求E 的方程．（2）设E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点3(,0)2的直线l 与E 交于C ，D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线AC 和BD 交点的轨迹方程； ②是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；③过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结C '，D 得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点． 【解答】解：（1）依题意，222222611223a c b c c a a b c⎧+=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为：2219x y +=．（2）设直线l 的方程为32x ty =+，选择①，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+，直线AC 的方程：11(3)3y y x x =++；直线BD 的方程：22(3)3y y x x =--， 联立方程，得1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得121222112122122122121121121122112199()2()93(3)293()63(3)32433933(3)233()23()2()324ty y y y y y x x y ty y y y y y y y x x x y x y ty y y y y y y y ty y y y y ++++++++++=⋅=======----+-+-+-，即333x x +=-，解得6x =， 所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择②联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+于是211211212112211212121212212122121239393()2()3(3)3(3)231242229992793(3)293()2()9(3)24222ty y y y y y y y y k y x x y ty y y k x y x y ty y y ty y y y y y y y y -⋅+-++---=⋅=======++++⋅++++，故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立．选择③：设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，1(C x '，1)y -，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，说明C '，D ，M 三点共线，于是C M DM k k '=， 假设(,0)M m ，即1212y y m x x m=--，亦即1212y y x m x m -=--， 则1221()()y x m y x m --=-， 所以12211221121221121212223332733()()()()()()2()()2()02224(9)29ty x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ty y m y y t m t t ---+-=+-+=+++-+=+-+=+-⋅=++，即9(32)()0t m t -+-⋅-=，解得6m =， 所以直线C D '恒过定点(6,0)M ．38．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线:2pl y x =-交于抛物线E 于A 、B 两点，||8AB =． （1）求抛物线E 的方程．（2）互相垂直的直线1l 、2l 分别切抛物线E 于C 、D 两点，试求两切线交点的轨迹方程． 【解答】解：（1）联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22304p x px -+=， ||348A B AB x x p p p p ∴=++=+==，即2p =．∴抛物线E 的方程为24y x =．（2）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由于12l l ⊥，故120y y <，不妨设10y >，20y <， 由24y x =可得y =±∴当0y >时，y '=，即1k =0y <时，y '=，即2k =．又1(C x ，1)y 在抛物线24y x =上，2114y x ∴=，∴故直线1l的方程为：11)y y x x -=-，即1122y y x y =+，即21122y y y x =+，①同理可得直线2l 的方程为：22222y y y x =+．②由①②可得：1y ，2y 是关于t 的方程222t ty x =+，即2240t yt x -+=的两根．124y y x ∴=， 1l ，2l 互相垂直，∴121()1x -=-，即121x x =．1212(2)4y y x ∴=-=-，44x ∴=-，即1x =-．∴两切线交点的轨迹方程为1x =-．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,3)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，过点A ，B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点． 双曲线221916x y -=的焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，222512a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，52c =，2754b =， ∴椭圆C 的标准方程为：22412575x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设在1(A x ，1)y 处切线方程为111()y y k x x -=-， 与椭圆224:12575x y C +=联立11122()412575y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得22211111111(43)8()4()750k x k k x y x k x y ++-++-+-=， 由△0=，得22211111111[8()]4(43)[4()75]0k k x y k k x y -+-+-+-=， 化简，得222111111(4100)84750x k x y k y --+-=，由2211412575x y +=，得22111641003x y -=-，22114753y x -=-， ∴上式化为222111111168303y k x y k x ---=， 2111(43)0y k x ∴+=，11134x k y =-， ∴椭圆在点A 处的切线方程为11412575xx yy +=，① 同理，得椭圆在点B 处的切线方程为22412575xx yy +=，② 联立①②，消去x ，得：112241754175yy x yy x -=-，解得21211275()4()x x y x y x y -=-，A 、B 都在直线l 上，∴221133y kx y kx =+⎧⎨=+⎩，21122133x y x y x x ∴-=-， 21212112217(5)7(5)254()12()4x x x x y x y x y x x --∴===--，即此时的交点的轨迹方程为254y =． 当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为0x =，则A，(0,B ， 则椭圆在点A处的切线方程为y ，椭圆在B处的切线方程为y =，此时无交点． 综上所述，过点A ，B 所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为254y =． 40．(1,0)F 为一定点，(0,)P b 是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足0PM PF ⋅=，若点N 满足20PN NM +=，求： （1）点N 的轨迹曲线C 的方程；（2）曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1）20PN NM +=，∴点M ，N 关于点P 对称， 设(,)N x y ，则(,2)M x b y --，M 在x 轴上，2y b ∴=，即2yb =． (,)PM x b =--，(1,)PF b =-，0PM PF ⋅=，20x b ∴-+=，204y x ∴-+=，即24y x =．∴点N 的轨迹曲线C 的方程是24y x =．（2）设曲线C 的两条互相垂直的垂线的交点坐标为0(x ，0)y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，联立方程组002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消元得：20004ky y y kx -+-=，∴△001()0k y kx =--=，即20010x k y k -+=．12011k k x ∴==-，01x ∴=-． 曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线1x =-．。
