全国高考历年 概率与统计

概率与统计（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）数学考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释(共31题；共350分)1．（15分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）（5分）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）（5分）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20，70)的概率；（3）（5分）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40，50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）解：平均年龄x̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+ 55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9（岁）（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89（3）设B={任选一人年龄位于区间[40，50)}，C={任选一人患这种族病}，则由条件概率公式，得P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A= {一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．2．（10分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）（5分）求甲学校获得冠军的概率；（2）（5分）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】（1）解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.16+0.16+ 0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．3．（10分）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：附： K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， （1）（5分）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）（5分）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？【答案】（1）解：由表中数据可知，A 共有班次240+20=260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ， 则 P(M)=240260=1213； 则A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 共有班次210+30=240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则 P(N)=210240=78. B 家公司长途客车准点的概率为 78 .（2）解：列联表K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 500×(240×30−210×20)260×240×450×50≈3.205>2.706 ，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.4．（15分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得∑x i2i=1=0.038，∑y i2i=1=1.6158，∑x i y ii=1=0.2474．附：相关系数r=∑(x i−x̅)ni=1(y−y̅)√∑(x i−x̅)2ni=1∑(y i−y̅)2ni=1√1.896≈1.377．（1）（5分）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）（5分）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）（5分）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．【答案】（1）解：样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x̅=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y̅=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3（2）解：r=∑(x i−x̅)10i=1(y−y̅)√∑i=1(x i−x̅)2∑i=1(y i−y̅)2=∑10i=1i i̅̅√∑10i=1i2̅2∑10i=1i2̅2=√(0.038−10×0.06)(1.6158−10×0.39)=√0.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r≈0.97（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39=186Y，解之得Y=1209m3．则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3【解析】【分析】（1）计算出样本中10棵这种树木根部横截面积的平均值及10棵这种树木材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）根据相关系数公式计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．5．（10分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P（B）=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P（C）=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4（III）甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1= 9.479乙的平均数：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数：(9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差：S2=[(9.8−9.479)2+⋯+(9.25−9.479)2]÷10=0.172乙的方差：S2=[(9.78−9.457)2+⋯+(9.23−9.457)2]÷6=0.0329丙的方差：S2=[(9.85−9.465)2+⋯+(9.16−9.465)2]÷4=0.086在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.6．（10分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）（5分）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）（5分）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B∣A)P(B̅∣A)与P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R=P(A∣B)P(A̅∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A∣B̅)；(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A∣B̅)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.625所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i) R=P(B∣A)P(B̅∣A)÷P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)=P(B∣A)⋅P(B̅∣A̅)P(B̅∣A)⋅P(B∣A̅)=P(AB)P(A)⋅P(B̅A̅)P(A̅)P(B̅A)P(A)⋅P(BA̅)P(A̅)=P(AB)⋅P(B̅A̅)P(B̅A)⋅P(BA̅̅̅̅̅)=P(AB)P(B)⋅P(B̅A̅)P(B̅)P(B̅A)P(B̅)⋅P(BA̅)P(B)=P(A∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A̅∣B)⋅P(A∣B̅)(ii) P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100，P(A∣B̅)=P(A̅B̅)P(B̅)=n(A̅B̅)n(B̅)=90100P(A∣B)=P(A̅B)P(B)=n(A̅B)n(B)=60100，P(A∣B̅)=P(AB̅)P(B̅)=n(AB̅)n(B̅)=10100R=40×9060×10=6故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅰ)由条件概率的计算公式分别求得P(A∣B)，P(A∣B̅)，P(A∣B)，P(A∣B̅)，再代入R，求解即可.7．（15分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．（1）（5分）已知p=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；（2）（5分）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p 1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；（3）（5分）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.（2）设f(x)=p3x3+p2x2+(p1−1)x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f(x)=p3x3+p2x2−(p2+p0+p3)x+p0，若E(X)≤1，则p1+2p2+3p3≤1，故p2+2p3≤p0.f′(x)=3p3x2+2p2x−(p2+p+p3)，因为f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞，x1)，(x2，+∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，若x2=1，因为f(x)在(x2，+∞)为增函数且f(1)=0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)=f(1)=0，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)=0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p=1.若E(X)>1，则p1+2p2+3p3>1，故p2+2p3>p0.此时f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(−∞，x3)∪(x4，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞，x3)，(x4，+∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，而f(1)=0，故f(x4)<0，又f(0)=p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1.（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得E(X).（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.8．（10分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）（5分）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）（5分）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可. 9．（10分）甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）（5分）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）（5分）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附： K 2=n(ad−bc)2（a+b ）（c+d ）（a+c ）（b+d ）【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是： 150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是：120200=35（2）由于 K 2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。

高考数学概率与统计历年真题精炼2024年集近年来，数学一直是高考中备受关注的科目之一，其中概率与统计更是作为数学中的重要分支，广受考生关注。

为了帮助考生更好地准备高考数学概率与统计部分，本文将精选2024年高考数学概率与统计的历年真题，进行精炼版整理和详细解析，以便考生们更好地备考。

第一部分：概率1. 2019年高考真题题目：某产品在生产过程中有10个关键环节，第i个环节发生故障的概率为p(i)，i=1,2,...,10，若每个环节发生故障是相互独立的，且p(1)=p(2)=⋯=p(10)=0.2，则该产品完好的概率为多少？解析：根据题目所给条件，每个环节发生故障的概率为0.2，故未发生故障的概率为1-0.2=0.8。

由于每个环节的故障是否发生是相互独立的，故完好的概率为0.8的10次方，即(0.8)^10≈0.1074。

2. 2018年高考真题题目：一袋中有5只白球和3只黑球，从中依次取2只，不放回，每次取出1只。

若已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的是白球的概率是多少？解析：当已知第一次取出的是黑球时，袋中剩下的球就是4只白球和3只黑球。

所以第二次取出白球的概率为4/7。

第二部分：统计1. 2023年高考真题题目：某学校学生的体重数据分布近似服从正态分布，均值为65kg，标准差为5kg。

已知体重小于55kg的学生占总人数的5%，求体重大于75kg的学生占总人数的百分比。

解析：正态分布曲线呈对称分布，均值两侧的面积分别为50%。

根据标准正态分布表，体重小于55kg的学生占总人数的5%，即左侧面积为5%。

由于对称性质，体重大于75kg的学生占总人数的百分比也是5%。

2. 2022年高考真题题目：某市共有80%的家庭有小汽车，每个家庭平均拥有1.5台小汽车。

求该市家庭拥有小汽车台数的期望值和标准差。

解析：假设该市家庭总数为N，则有小汽车的家庭数为80%N。

每个家庭平均拥有1.5台小汽车，所以该市的总小汽车台数为(1.5)(80%N)。

问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明 能正确回答 A 类问题的概率为 0．8，能正确回答 B 类问题的概率为 0．6，且能正确回答问题的概率与 回答次序无关．
(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
PK2 k
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
5．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第 21 题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为 第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相 互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数， P(X i) pi (i 0,1, 2,3) ． (1)已知 p0 0.4, p1 0.3, p2 0.2, p3 0.1 ，求 E(X ) ； (2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程： p0 p1x p2 x2 p3x3 x 的一个最小正实根，求证：当 E(X ) 1时， p 1 ，当 E( X ) 1时， p 1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
位： m3 )，得到如下数据：
样
本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
号
ｉ
根 部 横 截
0．04 0．06 0．04 0．08 0.08
面 积 xi
0．05 0．05 0．07 0．07 0．06 0．6