天津市新四区2016-2017学年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
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天津市新四区2016-2017学年高考一模试卷
（理科数学）
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|2x﹣1＞0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
2．设实数x，y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．﹣3 B．11 C．15 D．不存在
3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．10 B．13 C．﹣10 D．﹣13
4．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的
正方形，则该几何体的体积为（ ）
A． m3 B． m3 C． m3 D． m3 5．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞|a﹣2|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，OB与⊙O相交于点E，AC=4，CD=3，∠BOD=∠A，则BE=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
7．双曲线﹣=1（a．b＞0）的右焦点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F重合，两条曲线在第一象限的交点为M，若MF⊥x轴，则该双曲线的离心率e=（ ）
A． B． +1 C． D．﹣1
8．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分
9．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a=______．
10．已知（2x﹣）7的展开式中含的项的系数是84，则实数a=______．
11．任取x，y∈[0，1]，则点（x，y）落在抛物线y2=x和x2=y围成的封闭区域内的概率为______．
12．在等腰△ABC中，已知BC=4，∠BAC=120°，若点P是BC边上的动点，点E满足=3，则•的最大值和最小值之差是______．
13．在△ABC中，若A=，cosB=，BC=2，D是AB的中点，则CD=______．
14．已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（1﹣m）﹣f（m）＞1﹣2m，则实数m的取值范围是______．
三、简答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．设函数f（x）=sinxcsox+cos2x+m
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 16．某学校社团招聘工作人员，设置A、B两组测试项目供应聘人员选择，甲、乙、丙、丁四人参加应聘，其中甲、乙、丙三人各自独立参加A组测试，已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙通过测试的概率为．丁参加B组测试，已知B组共有6道试题，丁会做其中的4道题．丁只能且必须选择4道题作答，答对3道题则竞聘成功．
（Ⅰ）求丁应聘成功的概率；
（Ⅱ）记测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，平面PAD⊥底面ABCD，BC=AD，PA=AD=AB=2，Q为AD的中点
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若直线PA与平面ABCD所成的角为60°，M是棱PC上的点．
①经过M，B作平面α，使直线CD∥α并说明理由；
②若PM=tMC，二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，求AM的长．
18．等差数列{an}的首项a1=，前三项和为，点Pn（an，bn）（n∈N*）在函数y=log32x的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=3bn+2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值；
（Ⅲ）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程．
20．已知函数f（x）=lnx﹣+2a（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤ax+1在[1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若n∈N*，证明：ln（n+1）＜1+++„+﹣．
天津市新四区2016-2017学年高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|2x﹣1＞0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】解出关于集合B的不等式，从而求出其和A的交集即可．
【解答】解：A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，
则A∩B={1，2}，
故选：D．
2．设实数x，y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．﹣3 B．11 C．15 D．不存在
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，9），
化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，
由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值3×2+9=15．
故选：C．
3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．10 B．13 C．﹣10 D．﹣13
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=﹣1，k=2，满足继续循环的条件；
第二次执行循环体后，S=3，k=3，满足继续循环的条件；
第三次执行循环体后，S=﹣6，k=4，满足继续循环的条件；
第四次执行循环体后，S=10，k=5，不满足继续循环的条件；
故选：A
4．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的
正方形，则该几何体的体积为（ ）
A． m3 B． m3 C． m3 D． m3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体两个大小相同的正四棱锥的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出该几何体的体积． 【解答】解：由三视图知几何体为两个大小相同的正四棱锥的组合体，
∵正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1m的正方形，
∴正四棱锥的高是正视图、侧视图中边长为1m的正三角形的高（m），
∴该几何体的体积V=2×=（m3），
故选：C．
5．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞|a﹣2|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】a2＞|a﹣2|，化为，或，分别解出即可得出．
【解答】解：a2＞|a﹣2|，化为，或，
解得a≥2，或1＜a＜2，或a＜﹣2．
∴“a＞1”是“a2＞|a﹣2|”的充分不必要条件．
故选：A．
6．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，OB与⊙O相交于点E，AC=4，CD=3，∠BOD=∠A，则BE=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】先判定△OAC∽△BOD，根据线段成比例求得BD=9．取CD的中点为F，勾股定理求得OF=，可得 OB= 的值，再根据BE=OB减去半径，求得BE的值．
【解答】解：∵OC=OD=6，∴∠OCD=∠ODC，又∠BOD=∠A，∴∠AOC=∠OBD，
∴△OAC∽△BOD，∴=，即=，∴BD=9．
取CD的中点为F，则OF⊥CD，∵CD=3，∴FD=，则OF==，
∴OB===12，∴BE=OB﹣6=6， 故选：C．
7．双曲线﹣=1（a．b＞0）的右焦点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F重合，两条曲线在第一象限的交点为M，若MF⊥x轴，则该双曲线的离心率e=（ ）
A． B． +1 C． D．﹣1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|MF|=p．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF'|=p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．
【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），
由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，
双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，
由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即c=，可得双曲线的焦距|FF'|=2c=p，
由于△MFF'为直角三角形，则|MF'|=p，
根据双曲线的定义，得2a=|MF'|﹣|MF|=p﹣p，
可得a=p．
因此，该双曲线的离心率e===+1．
故选：B．
8．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
【考点】分段函数的应用．
【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，
0＜x3＜1＜x4，
则|log2x3|=|log2x4|，
