2018年石景山区高三理科数学统一测试(一模) 完整版

2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．74．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm36．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+【解答】解：对于A，y＝（x≥0）是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y＝﹣x3，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y＝x，定义域是（0，+∞），是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y＝x+，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调减函数，也不满足题意．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝1，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝2，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝4，i＝4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为4．故选：C．4．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．【解答】解：∵A＝60°，b＝AC＝4，a＝，由余弦定理：cos A＝，即＝，解得：c＝2．那么△ABC的面积S＝|AB|•|AC|•sin A＝＝2．故选：C．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．6．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C（x，y），AB＝2a，则D（x，0），A（﹣a，0），B（a，0），∵线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），∴y2＝λ（x+a）（x﹣a）＝λx2﹣λa2，∴λx2+y2＝λa2．∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2＝32+（﹣1）2＝10，故答案为：10．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x＝1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y ﹣2）2＝1，其圆心C（0，2），半径r＝1．直线l截圆C所得的弦长＝2＝．故答案为．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是（0，1）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）＝k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．【解答】解：解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为＝．故答案为：．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是②③．【解答】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）＝＝＝………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x＝π时f（x）max＝1．当时，即时f（x）min＝﹣2．…………（13分）16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得m＝4，n＝2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；…………………（3分）（Ⅱ）v1＜v2，＜；…………………（6分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝30）＝，P（ξ＝140）＝，P（ξ＝170）＝．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．…………………（13分）17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）依题意，P A⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……（2分）依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．因为，，所以．……（5分）所以AF⊥PC．……（6分）（Ⅱ）取PC的中点M，连接EM．因为M（2，2，2），，，所以，所以BD∥EM．……（8分）又因为EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC．……（9分）解：（Ⅲ）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．……（10分）设平面PCE的法向量为，因为，，所以即令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．……（12分）所以，……（13分）所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．……（14分）18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣ax2的导数为f′（x）＝e x﹣2ax，由已知可得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g'（x）＝e x﹣2，故当0≤x＜ln2时，g'（x）＜0，g（x）在[0，ln2）单调递减；当ln2＜x≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（ln2，1]单调递增；所以g（x）min＝g（ln2）＝2﹣2ln2＞0，故f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．（Ⅲ）当x∈R时，y＝f（x）与y＝bx+1有两个交点．20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，所有可能的数列{a n}为1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4；（Ⅱ）由题意知数列{b n}中b k+1≥b k．又a k+b m﹣k+1＝2018，所以a k+1+b m﹣k＝2018，a k+1﹣a k＝（2018﹣b m﹣k）﹣（2018﹣b m﹣k+1）＝b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0所以a k+1≥a k，即a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）当m＝2时，由b1+b2＝b1b2得（b1﹣1）（b2﹣1）＝1，又，所以b1＝b2＝2，不满足题意；当m＝3时，由题意知数列{b n}中b n+1＞b n，又b1+b2+b3＝b1b2b3当b1≠1时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3＞6b3，所以等式成立b1＝1；当b2≠2时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3≥3b3，所以等式成立b2＝2；当b1＝1，b2＝2得b3＝3，此时数列{a n}为1，2，3．当m≥4时，b1+b2+…+b m＜mb m，而b1b2…b m≥（m﹣1）!b m＞mb m，所以不存在满足题意的数列{a n}．综上数列{a n}依次为1，2，3．。

2019年石景山区高三统一测试2018年石景山区高三统一测试数学〔理科〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、 1、设集合2{|4}M x x =≤,2{|log 1}N x x =≥，那么N M 等于〔〕A 、[]2,2-B 、{}2C 、[)2+∞，D 、[)2+-∞， 2、假设复数2(-)a i 在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，那么实数a 的值是〔〕 A 、1B 、1-C 、2D 、2-3、将一颗骰子掷两次，观看出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n 、向量p =(m,n),q =(3,6)，那么向量p 与q 共线的概率为[〔〕 A 、13B 、14C 、16D 、1124、执行右面的框图，输出的结果s 的值为〔〕 A 、3-B 、2C 、12-D 、135、如图，直线AM 与圆相切于点M ，ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD AD ⊥,连接MD 、EC.那么下面结论中，错误．．的结论是〔〕 A.90ECA ∠=︒B.CEM DMA DBA ∠=∠+∠ C.2AM AD AE =⋅ D.AD DE AB BC ⋅=⋅ 6、在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为〔〕 A 、10-B 、10C 、40-D 、407、关于直线:(1)l y k x =+与抛物线2:4C y x =，k =±的〔〕条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要 8、假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称. 那么称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”〔注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”〕.函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，那么此函数的“友好点对”有〔〕对 A.0 B.1 C.2 D.3 【二】填空题共6小题，每题5分，共30分、 9、直线2sin =1ρθ与圆=2cos ρθ相交弦的长度为、 10、在△ABC 中，假设π,4B b ∠==，那么C ∠=、 AMD11.在等差数列}{n a 中，1a =-2018，其前n 项和为n S ，假设10121210S S -=2，那么 2 013S 的值等于、12、某四棱锥的三视图如下图，那么最长的一条侧棱长度是、13、如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点假设2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是、14、关于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i ⋯〔n 的p ，},,3,2,1{n q ⋯∈，当q p <时有q p i i >于2、那么数组〔5,2,4,3,1〕的逆序数等于数为n ，那么数组),,,(11i i i n n ⋯-的逆序数为【三】解答题共6小题，共80分、解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程、 15、〔本小题总分值13分〕函数()sin(2)cos26f x x x π=++、〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C 、()f A =2a =，3B π=，求△ABC 的面积、16．〔本小题总分值13分〕PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标、石景山古城地区2018年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示、 〔Ⅰ〕小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; 〔Ⅱ〕小王在此期间也有两天通过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;〔Ⅲ〕从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望.17、〔本小题总分值14分〕如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中,//,90AD BC ABC ∠=︒，P D ⊥平面ABCD ，AD =1，A B ，4B C =、〔Ⅰ〕求证：BD PC ⊥；〔Ⅱ〕求直线AB 与平面PDC 所成的角；APECDB〔Ⅲ〕设点E 在棱PC 上，P E P Cλ=，假设 DE ∥平面PAB ，求λ的值. 18、〔本小题总分值13分〕函数x ax x f ln 1)(--=,a R ∈. 〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈(0,)+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围. 19、〔本小题总分值14分〕设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =，且2AF AB ⊥、 〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率；〔Ⅱ〕假设过2F B A 、、三点的圆与直线033:=--y x l 相切，求椭圆C 的方程； 〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点)0,(m P ，求实数m 的取值范围、20、〔本小题总分值13分〕给定有限单调递增数列}{n x )2,(≥∈*n N n ,,1),{(n j i x x A j i ≤≤=且},*∈N j i .假设对任意点21OA OA ⊥〔O 为坐标原点〕，那么称数列}{n x 具有性质〔Ⅰ〕判断数列}{n x ：2,2-和数列}{n y ：3,1,1,2--是否具有性质P ，简述理由. 〔Ⅱ〕假设数列}{n x 具有性质P ，求证：①数列}{n x 中一定存在两项j i x x ,使得0=+j i x x ； ②假设11-=x ，02>x 且1>n x ，那么12=x .〔Ⅲ〕假设数列}{n x 只有2018项且具有性质P ，11-=x ，23=x ，求}{n x 的所有项和2013S .2018年石景山区高三统一测试高三数学〔理科〕参考答案【二】填空题：本大题共6个小题，每题5分，共30分、【三】解答题：本大题共6个小题，共80分、应写出文字说明，证明过程或演算步骤、15、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕()sin(2)cos26f x x xπ=++sin2cos cos2sin cos266x x xππ=++32cos22x x=+…………1分1sin2)2x x=+)3xπ=+…………3分令+22+2232k x kπππππ-≤+≤5++1212k x kππππ-≤≤…………5分函数()f x的单调递增区间5++()1212k k k Zππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，.…………6分〔Ⅱ〕由()f A=，1sin(2)=32Aπ+，因为A为ABC∆内角，由题意知23Aπ<<，因此52333Aπππ<+<因此5236Aππ+=，解得4Aπ=、…………8分由正弦定理BbAasinsin=，得b=10分由4Aπ=，由3π=B，可得sin C=，…………12分∴11sin222s ab C==⨯=、…………13分16、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,243()105P A +==.…………2分 〔Ⅱ〕记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B,1124268()15C C P B C ⋅==.…………5分 〔Ⅲ〕ξ的可能值为0,1,2,3，363101(0)6C P C ξ===；21643101(1)2C C P C ξ⋅===； 12643103(2)10C C P C ξ⋅===343101(3)30C P C ξ===…………9分 其分布列为：1131601+2+3=6210305E ξ=⨯+⨯⨯⨯…………13分17、〔本小题总分值14分〕证明：〔I 〕在直角梯形ABCD中，1,AD AB ==因此2,BD CD ==BD CD ⊥.…………2分 又因为ABCD PD ⊥面，因此PD BD ⊥由PD BD D ⋂=，因此PCD BD ⊥面因此BD PC ⊥…………4分 〔II 〕如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF//AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由条件知A 〔1，0，0〕，B 〔10〕，设P D a =，那么(1,3,0),(3,)B D P C a =--=--，…………5分 由〔I 〕知BD PDC DB PDC ⊥面就是平面，(0,3,0),(1,30)A B D B ==. 设A B P D C 与面所成角大小为，那么||si n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅…………7分 B09060,θθ︒<<︒∴=︒，即直线A B P D C 与平面所成角为60︒.…………8分 〔III 〕由〔2〕知C 〔－3，0〕，记P 〔0，0，a 〕，那么A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--）， 而P E P Cλ=，因此P E a =-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)()a a =+-，3,.aa λ--）…………10分设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，那么00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.1z x a ==取，得，进而,,n a =（01），…………12分由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而，…………14分 18、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕在区间()0,+∞上,11()ax f x a x x-'=-=.……………………1分 ①假设0a ≤,那么()0f x '<,()f x 是区间()0,+∞上的减函数；……………3分 ②假设0a >,令()0f x '=得1x a=. 在区间1(0,)a上,()0f x '<,函数()f x 是减函数; 在区间1(,)a+∞上,()0f x '>,函数()f x 是增函数;综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递减区间是()0,+∞，无递增区间； ②当0a >时，()f x 的递增区间是1(,)a +∞，递减区间是1(0,)a.…………6分 〔II 〕因为函数)(x f 在1=x 处取得极值，因此(1)0f '= 解得1=a ，经检验满足题意.…………7分 由()2,f x bx ≥-那么1ln ()2,1x f x bx b x x≥-+-≥…………………8分令x xx x g ln 11)(-+=，那么22211ln ln -2()x x g x x x x -'=--=…………………10分 易得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，…………………12分 因此22min 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-、…………13分 19、〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，因此112AF F F =，即2a c =，故椭圆的离心率21=e 、、、、、、、、、、、、、、、、3分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,21=a c 得a c 21=因此21(,0)2F a ,3(,0)2a B -，Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -〕，半径21||2r F B a ==、、、、、、、、、、、、4分 由圆心到直线的距离为a ，因此a a =--2|321|，解得2,1,a c b =∴==所求椭圆方程为13422=+y x .、、、、、、、、、、、、、、、、6分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知)0,1(2F ,设直线l 的方程为：(1)y k x =- ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k 、、、、、7分 因为l 过点2F ，因此0∆>恒成立设),(11y x M ，),(22y x N ，那么2221438k k x x +=+，121226(2)34ky y k x x k -+=+-=+MN 中点22243(,)3434k kk k-++、、、、、、、、、、、、、、、9分 当0k =时，MN 为长轴，中点为原点，那么0m =、、、、、、、、、、、、、、10分当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k +=--++、 令0y =，43143222+=+=∴k kk m 、、、、、、、、、12分 230k >，2144k +>，可得410<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1[0,)4、、、、、、、、、、、、、、、14分20、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕数列}{n x 具有性质P ，数列}{n y 不具有性质P .关于数列}{n x ，假设)2,2(1-A 那么)2,2(2A ；假设)2,2(1--A 那么)2,2(2-A ；因此具有性质P .关于数列}{n y ，当)3,2(1-A 假设存在),(2y x A 满足21OA OA ⊥,即032=+-y x ,即32=x y ，数列}{n y 中不存在如此的数y x ,，因此不具有性质P .………………3分 〔Ⅱ〕〔1〕取),(1k k x x A ，又数列}{n x 具有性质P ，因此存在点),(2j i x x A 使得21OA OA ⊥，即0=+j k i k x x x x ，又0≠k x ，因此0=+j i x x .………………5分〔2〕由〔1〕知，数列}{n x 中一定存在两项j i x x ,使得0=+j i x x ；又数列}{n x 是单调递增数列且02>x ，因此1为数列}{n x 中的一项.假设12≠x ，那么存在),2(*∈<<N k n k k 有1=k x ，因此102<<x如今取),(21n x x A ，数列}{n x 具有性质P ，因此存在点),(2s t x x A 使得21OA OA ⊥，因此02=+s n t x x x x ；只有01<x ，因此当1-=t x 时22x x x x x s s n ≥>=，矛盾；当1-=s x 时12≥=tnx x x ，矛盾.因此12=x .…………9分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，12=x .假设数列}{n x 只有2018项且具有性质P ，可得44=x ，85=x 猜想数列}{n x 从第二项起是公比为2的等比数列.〔用数学归纳法证明〕.因此222122242112012201220112013-=--=+++++-= S …………13分【注：假设有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列各式计算正确的是（ ）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷= D ．235()a a =2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）12–1–2abA ．0a b +=B ．b a <C ．b a <D ．0ab >3．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）4．下列博物院的标识中不是．．轴对称图形的是（ ）5．如图，AD ∥BC ，AC 平分∠BAD ，若∠B ＝40°， 则∠C 的度数是（ ）ABCDA ．40°B ．65°C ．70°D ．80° A B C D D .D .　C .　D .　C .　B .　A .　D .　C .　B .　A B C D6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B ，，OD=2，则这种变化可以是（）的坐标为(01)A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度7．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）A．两车同时到达乙地B．轿车在行驶过程中进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等8．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（）A．①B．②C．①③D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．对于函数6y x=，若2x >，则y 3（填“>”或“<”）． 10．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_______．11．如果5x y +=，那么代数式221+y x x y x y ÷--()的值是_______． 12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，依题意，可列方程组为____________．13．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．14． 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点， DE ∥BC ．若6AD =，2BD =， 3DE =，则BC = ．15．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m 的点B 处，用高为0.8m 的测角仪测得筒仓顶点C 的仰角为63°，则筒仓CD 的高约为____________m ．（精确到0.1m ，sin 630.89≈°，cos630.45≈°，tan 63 1.96≈°）16．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =；（2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，交点为P ； （3）画射线OP ．则射线OP 为AOB ∠的平分线．请写出小林的画法的依据 ．三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．17．计算：012sin 455()1833---++°18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，．19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x=（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点(3,2)A a -．（1）求a ，b 的值；（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC 6≥，求m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O的半径是D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．24．某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选（填“甲”或“乙），理由为．25．如图，半圆O的直径5cmAM=，点P是半圆O上的动点，过点B作AB=，点M在AB上且1cm=.（当点P与点A或点B重合时，=，cmBQ yBQ PM⊥交PM（或PM的延长线）于点Q.设cmPM xy的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60︒时，PM的长度约为cm.26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2123G y mx =+：（0m ≠）向右平移3个单位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点03（，）且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y =+ 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．北京市石景山区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．<． 10．八． 11．5． 12．100,3100.3x y xy +=+=⎧⎪⎨⎪⎩13． 2． 14．4． 15． 40.0．16．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等．三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每 小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分 20．解：（1）∵24b ac ∆=- 2(32)24m m =-+ 2(32)0m =+≥∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分（2）解方程，得： 12x m=,23x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数, ∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分① ②21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分 22．解：（1）∵函数()0a y x x=>的图象过点()3,2A a -，∴23aa -=，解得3a =． ………………1分∵直线1l y x b =+：过点()3,1A ,∴2b =-． ………………2分 （2）设直线2y x =-与x 轴交于点D ，则(2,0)D ， 直线y x m =-+与x 轴交于点(,0)B m ， 与直线y x b =+交于点22(,)22m m C +-． ①当S △ABC =S △BCD +S △ABD =6时，如图1. 可得211(2)(2)1642m m -+-⨯=， 解得2m =-，8m =（舍）.图1 图2yx123456789123456789BC AD Oyx 123456123456B C A D O②当S △ABC =S △BCD -S △ABD =6时，如图2.可得211(2)(2)1642m m ---⨯=， 解得8m =，2m =-（舍）.综上所述，当8m ≥或2m -≤时，S △ABC 6≥. ………………5分 23．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF .∴190F ∠+∠=°.∵FD ⊥OC ，∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠， ∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°，∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O的半径是D 是OC 中点，∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3ODOH∠=，∴2OH =. ………………3分∴2HE =. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴6EF ==- ………………5分 24．解:（1） 0，1，4，5，0，0 ………………1分（2） 14，84.5，81 ………………4分 （3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定;两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小. （写出其中一条即可）或：乙，理由：在90≤x ≤100的分数段中，乙的次数大于甲.………………6分 （答案不唯一，理由须支撑推断结论）25.解：（1）4；0. ………………2分（2）分（3）1.1或3.7. ………………6分26．解:（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x=+，如图所示，由题意可得AD=-=∵=90BAC∠°，AB AC=，∴=45ABD∠︒.∴BD AD==∴点B的坐标为.∵点B在抛物线2G上，可得3m=-.∴抛物线2G的表达式为3y x=-即223y x x=++………………… 5分②m<<-. ………………… 7分27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分C图1（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°．∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =．………………… 7分 证明：过点A 作AE ⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证）∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线 ∴∠AEP=90°，AE=PE ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45° ∠AEP+∠ABC=180°∴A ，B ，C ，E 四点共圆 ∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45° ∴∠AEB=∠CEB=45° ∵BE=BE∴△ABE ≌△PBE (SAS) ∴BP=AB28．解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限．过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限． 同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（或22-． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分。

2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B ．C．D ．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x＜40 2B 40≤x＜80 9C 80≤x＜120 mD 120≤x＜160 3E 160≤x＜200 n（Ⅰ）写出m，n（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B B C D A A B题号9 10 11 12 13 14答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区 2018 年 高 三 统 一 测 试数学试题（理科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于 （ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示， 那么函数)(x f 的图象最有可能的是 （ ）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2017-2018北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．44．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（x2+）6的展开式中x3的系数是_______．（用数字作答）10．在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为_______．11．如图，圆O的直径AB=4，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若∠ABC=30°，则AD的长为_______．12．若，，是单位向量，且•=0，则（﹣）•（﹣）的最大值为_______．13．已知函数f（x）=|log2x|．若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则2a+b的取值范围是_______．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_______，第n（n∈N*）行中白圈与黑圈的“坐标”为_______．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．中国天气网2017-20183月4日晚六时通过手机发布的3月5日石景山区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3°的概率．17．如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD；（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在求出BP的长，若不存在请说明理由．18．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．19．已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）设O为坐标原点，A，B，C为椭圆M上的三个动点，若四边形OABC为平行四边形，判断△ABC的面积是否为定值，并说明理由．20．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，其中n∈N*，p是不为1的常数．（Ⅰ）证明：若{a n}是递增数列，则{a n}不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{a n}是递减的等比数列，则{a n}中的每一项都大于其后任意m（m∈N*）个项的和；（Ⅲ）若p=2，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．2017-2018北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x ﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．10．在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】先利用三角形面积公式和AC，∠A求得AB，进而利用余弦定理求得BC．【解答】解：由三角形面积公式可知AB•ACsin60°=∴AB=4由余弦定理可知BC==故答案为：11．如图，圆O的直径AB=4，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若∠ABC=30°，则AD的长为1．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出．【解答】解：圆O的直径AB=4，若∠ABC=30°，则AC=2，若直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，则∠ACD=30°，∴AD=1，故答案为：1．12．若，，是单位向量，且•=0，则（﹣）•（﹣）的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由，，是单位向量，且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），将（﹣）•（﹣）的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到（﹣）•（﹣）的最大值．【解答】解：由题意设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），则（﹣）•（﹣）=（1﹣cosθ，﹣sinθ）•（﹣cosθ，1﹣sinθ）=﹣cosθ+cos2θ﹣sinθ+sin2θ=1﹣（sinθ+cosθ）=1﹣sin（），∴（﹣）•（﹣）的最大值为1+，故答案为：1+．13．已知函数f（x）=|log2x|．若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则2a+b的取值范围是，则2x∈[]，则sin（2x）∈．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为0和．16．中国天气网2017-20183月4日晚六时通过手机发布的3月5日石景山区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3°的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）由最高气温与最低气温的折线图得到最高气温越高，相应地最低气温也越高．（Ⅱ）由最高气温曲线波动较小，得到最高气温方差小于最低气温方差．（Ⅲ）由最高气温与最低气温的折线图列表求出连续两个整点时刻（基本事件）共有15个，其中满足“”恰好有一个时刻的温差不小于3°”的事件（记为A）共有3个，由此能求出在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3°的概率．【解答】解：（Ⅰ）由最高气温与最低气温的折线图得到：最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．（Ⅱ）由最高气温与最低气温的折线图得到：最高气温曲线波动较小，∴最高气温方差小于最低气温方差．（Ⅲ）由最高气温与最低气温的折线图可得下表：由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（8：00，9：00），（9：00，10：00），（10：00，11：00），（11：00，12：00），（12：00，13：00），（13：00，14：00），14：00，15：00），（15：00，16：00），（16：00，17：00），（17：00，18：00），（18：00，19：00），（19：00，20：00），（20：00，21：00），（21：00，22：00），（22：00，23：00），其中满足“”恰好有一个时刻的温差不小于3°”的事件（记为A）共有3个，（11：00，12：00），（15：00，16：00），（20：00，21：00），∴在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3°的概率：P（A）=．17．如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD；（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在求出BP的长，若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）AC∩BD=O，连接HO，FO，推导出四边形EHOF为平行四边形，由此能证明EH ∥平面FAC．（Ⅱ）推导出EH⊥AD，AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥平面AED，由此能证明EH⊥平面ABCD．（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BC上是存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为，且BP=0．【解答】证明：（Ⅰ）AC∩BD=O，连接HO，FO，因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，又H是AD中点，所以OH∥CD，OH=，EF∥AB，EF=，所以EF∥OH且EF=OH，所以四边形EHOF为平行四边形，所以EH∥FO，又因为FO⊂平面FAC，EH⊄平面FAC．所以EH∥平面FAC．（Ⅱ）因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD，又因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面AED，因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH，所以EH⊥平面ABCD．解：（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，∵AB=2EF=2，∴B（0，，0），C（﹣，0，0），F（0，0，1），D（0，﹣，0），设P（a，b，0），，0≤λ≤1，即（a，b﹣，0）=λ（﹣，﹣，0），∴a=﹣，，P（﹣，，0），=（0，﹣，﹣1），=（﹣，，﹣1），平面BDF的法向量=（1，0，0），设平面PDF的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2）∵二面角B﹣FD﹣P的大小为，∴cos=|cos＜＞|=||=，解得λ=0，∴线段BC上是存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为，且BP=0．18．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x），令f（x）=0，解出即可；（Ⅱ）先求出f′（x）=0的值，讨论a的范围，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；（Ⅲ）根据函数的单调性从而求出f（x）的最小值，使min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=时，f（x）=（x2﹣x﹣2），令f（x）=0，即x2﹣x﹣2=0，解得：x=﹣1或x=2；（Ⅱ）f'（x）=e ax（ax+2）（x﹣1），令f′（x）=0则x=1或﹣，①当a＜﹣2时，﹣＜1，f（x）在（﹣∞，﹣）和（1，+∞）上单调递减，在（﹣，1）上单调递增；②当a=﹣2时，﹣=1，f′（x）≤0，f（x）在R上减函数；③当﹣2＜a＜0时，﹣=1，f（x）在（﹣∞，1）和（﹣，+∞）上单调递减，在（1，﹣）上单调递增；④a＞0时，﹣＜1，f（x）在（﹣∞，﹣）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；（Ⅲ））由（Ⅱ）得：a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）和（1，+∞）上单调递减，在（﹣，1）上单调递增；x→﹣∞时，f（x）→0，∴f（1）=﹣e a为最小值，∴﹣e a+≥0对x∈R恒成立，解得：a∈（0，ln2]．19．已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）设O为坐标原点，A，B，C为椭圆M上的三个动点，若四边形OABC为平行四边形，判断△ABC的面积是否为定值，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）椭圆M化为标准方程，由此能求出椭圆M的离心率．（Ⅱ）若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC垂直平分OB，求出△OAC的面积为；若B不是椭圆的左右顶点，设AC：y=kx+m，k≠0，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出△ABC的面积，从而得到△ABC的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M：x2+2y2=2，∴椭圆M的标准方程为：，∴a=，b=1，c=1，∴椭圆M的离心率e=．（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC垂直平分OB，∴A（，），C（，﹣），B（，0），|AC|=，|OB|=，∴△OAC的面积=．②若B不是椭圆的左右顶点，设AC：y=kx+m，k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣20=0，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，，，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∵四边形OABC为平行四边形，∴OB=OA+OC=（x1+x2，y1+y2）=（﹣，），∴B（﹣，），代入椭圆方程，化简，得2k2+14=m2，∵|AC|====•=，点O到直线AC的距离d=∴△OAC的面积S△OAC===．综上，△OAC的面积为定值，∵△OAC的面积=△ABC的面积，∴△ABC的面积为定值．20．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，其中n∈N*，p是不为1的常数．（Ⅰ）证明：若{a n}是递增数列，则{a n}不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{a n}是递减的等比数列，则{a n}中的每一项都大于其后任意m（m∈N*）个项的和；（Ⅲ）若p=2，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）利用反证法即可证明；（Ⅱ）通过令n=1、2两种情况即可求出公比q，进而计算可得结论；（Ⅲ）通过在|a n+1﹣a n|=2n中令n=1可知a2=3或a2=﹣1，分两种情况讨论，在每一种情况中分别求出数列{a2n﹣1}、{a2n}的通项公式即可．【解答】（Ⅰ）证明：假设数列{a n}是等差数列，则a n+1﹣a n为一个常数d，∵数列{a n}是递增数列，∴|a n+1﹣a n|=a n+1﹣a n=p n，又∵p是不为1的常数，∴d=p n不是常数，矛盾，故数列{a n}不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：∵数列{a n}是递减的首项为1、公比为q的等比数列，∴0＜q＜1，，|a n+1﹣a n|=a n﹣a n+1=q n﹣1﹣q n=p n，又∵p是不为1的常数，∴p＜1，令n=1、2可知：1﹣q=p，q﹣q2=p2，联立，可知2q2﹣3q+1=0，解得：q=或q=1（舍），∴a n=，S n=2﹣，∴S n+m﹣S n=（2﹣）﹣（2﹣）=﹣=（1﹣），∵m∈N*，∴1﹣＜1，S n+m﹣S n＜=a n，于是数列{a n}中的每一项都大于其后任意m（m∈N*）个项的和；（Ⅲ）解：依题意，|a n+1﹣a n|=2n，令n=1可知，|a2﹣1|=2，解得：a2=3或a2=﹣1，①当a2=3时，有|3﹣a3|=4，解得：a3=7或a3=﹣1（舍），∴|7﹣a4|=8，解得：a4=﹣1或a4=15（舍），∴|﹣1﹣a5|=16，解得：a5=15或a5=﹣17（舍），∴|15﹣a6|=32，解得：a6=﹣17或a5=47（舍），∵{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，∴|a2n+1﹣a2n|=a2n+1﹣a2n=4n，|a2n+2﹣a2n+1|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，两式相减得：a2n+2﹣a2n=﹣4n，由累加法可知a2n=a2n﹣a2（n﹣1）+a2（n﹣1）﹣a2（n﹣2）+…+a2×2﹣a2×1+a2=﹣4n﹣1﹣4n﹣2﹣…﹣4+3=3﹣=，同理|a2n+1﹣a2n+2|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，|a2n+2﹣a2（n+1）+1|=a2（n+1）+1﹣a2n+2=4•4n，两式相减得：a2（n+1）+1﹣a2n+1=2•4n，由累加法可知a2n﹣1=a2（n﹣1）+1﹣a2（n﹣2）+1+a2（n﹣2）+1﹣a2（n﹣3）+1+…+a2×2+1﹣a2×1+1+a2×1+1=2（4n﹣2+4n﹣3+…+4）+7=7+2×=（n≥2），又∵a1=1不满足上式，∴a2n﹣1=；②当a2=﹣1时，有|﹣1﹣a3|=4，解得：a3=3或a3=﹣5（舍），∴|3﹣a4|=8，解得：a4=﹣5或a4=11（舍），∴|﹣5﹣a5|=16，解得：a5=11或a5=﹣21（舍），∴|11﹣a6|=32，解得：a6=﹣21或a5=43（舍），∵{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，∴|a2n+1﹣a2n|=a2n+1﹣a2n=4n，|a2n+2﹣a2n+1|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，两式相减得：a2n+2﹣a2n=﹣4n，由累加法可知a2n=a2n﹣a2（n﹣1）+a2（n﹣1）﹣a2（n﹣2）+…+a2×2﹣a2×1+a2=﹣4n﹣1﹣4n﹣2﹣…﹣4﹣1=﹣=，同理|a2n+1﹣a2n+2|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，|a2n+2﹣a2（n+1）+1|=a2（n+1）+1﹣a2n+2=4•4n，两式相减得：a2（n+1）+1﹣a2n+1=2•4n，由累加法可知a2n﹣1=a2（n﹣1）+1﹣a2（n﹣2）+1+a2（n﹣2）+1﹣a2（n﹣3）+1+…+a2×2+1﹣a2×1+1+a2×1+1 =2（4n﹣2+4n﹣3+…+4）+3=3+2×=（n≥2），又∵a1=1满足上式，∴a2n﹣1=．。

2018年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B = ，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线ρ截得的弦长为（ ）A ．2 C ．．33则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 6．等差数列{}n a 中，11,m k a a km==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．12mk- B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）① ② ③ ④A ．①和② B．③和① C．③和④ D．④和②8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆OCD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=x y． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}Mx y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．ab c三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记(f (Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()f C =a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2018年3月某时刻实时监测到的数据：CDEF(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)a f x x a x g x a x+=-=->．(Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =； ②所有项*N a n ∈； ③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和； (Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．2018年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分） （Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， (3)分所以()sin cos )4f παααα=+=+， (5)分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1f α∈. (7)分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. (13)分16．（本小题共13分） （Ⅰ）x =82 ………………2分D东部<D西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． (5)分1242361(1)5C C P C ξ=== ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． (11)分ξ∴的分布列为：Array所以131Eξ=⨯+⨯+⨯=．…………1232555……13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，ED⊥AB．所以ED⊥平面ABCD………………1分又因为BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC．………………2分在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD2=BC2+BD2，所以，BD⊥BC……………4分又因为ED BD=D，所以BC⊥平面BDE．……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D-xyz……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-设()0,,P y z ，则y z=令(),,n x y z '''=是平面BEF 则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n =…………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30 ， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60 或120所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-= 又因为y z=，所以y z=或y z =- (12)分当y z =-时，（*）式无解 当y z=时，解得：y z == (13)分 所以，P 或(0,)33P --. ………14分18.（本小题共13分） （Ⅰ）()ln f x x a x=-的定义域为(0,)+∞． (1)分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增； 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ， 由1()0ah e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． (11)分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分 综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA方程为：0(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． (14)分20．（本小题共13分） （Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== (5)分当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b (6)分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b (7)分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c =当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴*21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m tt N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2018年石景山区高三统一测试数学〔理〕试卷第一部分〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =〔 〕A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2.以下函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〔 〕 A．y = B ．3y x =- C ．12log y x = D ．1y x x =+3.执行如下图的程序框图，则输出的S 的值是〔 A ．1 B ．2 C ．4 D ．74.在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积为〔 〕A ．B ．4C ．D ．5.假设某多面体的三视图〔单位：cm 〕如下图， 则此多面体的体积是〔 〕A.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm6.现有4种不同颜色对如下图的四个部分进行 涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的涂色方法共有〔 〕A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种 7.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D 〔D 异于A B 、〕,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅〔λ是大于0且不等于1的常数〕，则点C 的运动轨迹为〔 〕A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________.10.假设变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.B ACD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，假设关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如下图：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上 再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 树”．假设某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长 为22，则其最小正方形的边长为________． 14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．假设a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有以下命题： ①假设W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③假设{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．〔本小题共13分〕已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. 〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期;〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.16．〔本小题共13分〕抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x 〔元〕如下〔四舍五入取整数〕：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：〔Ⅰ〕写出m ，n 的值，并答复这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别； 〔Ⅱ〕记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；〔只需写出结论〕〔Ⅲ〕从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．〔本小题共14分〕如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．〔Ⅰ〕求证：AF PC ⊥； 〔Ⅱ〕求证：BD //平面PEC ； 〔Ⅲ〕求二面角D PC E --的大小．18．〔本小题共13分〕在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等． 〔Ⅰ〕求动点E 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．〔本小题共14分〕已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. 〔Ⅰ〕求,a b 的值；〔Ⅱ〕求()f x 在[0,1]上的最大值；〔Ⅲ〕当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.〔只需写出结论，不要求证明〕B20．〔本小题共13分〕对于项数为m 〔1m >〕的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =〔1,2,,k m =〕，即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比方1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.〔Ⅰ〕假设数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ； 〔Ⅱ〕设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=〔1,2,,k m =〕，求证：k k a b =〔1,2,,k m =〕；〔Ⅲ〕设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .2018年石景山区高三统一测试数学〔理〕试卷答案及评分参考〔两空题目，第一空2分，第二空3分〕 三、解答题共6小题，共80分． 15．〔本小题共13分〕解：〔Ⅰ〕2()2cos cos 1f x x x x =+-cos22x x =+12(cos22)2x x =π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分〔Ⅱ〕因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分16．〔本小题共13分〕解：〔Ⅰ〕m =4，n =2，B ； ………………… 3分〔Ⅱ〕1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分〔Ⅲ〕ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………… 13分 17．〔本小题共14分〕〔Ⅰ〕证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥〔Ⅱ〕证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,BD =-所以2BD EM =，所以//BD EM ．分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分 〔Ⅲ〕解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =， 因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==， ……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分18．〔本小题共13分〕〔Ⅰ〕解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线， 所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分〔Ⅱ〕证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． ……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=， 解得：212(,)P k k， ……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分19．〔本小题共14分〕 解：〔Ⅰ〕()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分〔Ⅱ〕令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分 故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分〔Ⅲ〕当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．〔本小题共13分〕解：〔Ⅰ〕所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分〔Ⅱ〕由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =〔1,2,,k m =〕 …………8分〔Ⅲ〕当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =；高三数学〔理科〕第11页〔共11页〕 当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3.…………13分【注：假设有其它解法，请酌情给分】。