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平 面 向 量
A 组
（1）如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 2
2
≠a b (D) =a b （2）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1） （4）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c 等于 ( )
(D)
（5）已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则实数k 的值为 ．
（6）在平行四边形ABCD 中，AB =a ，CB =b ，O 为AC 与BD 的交点，点M 在BD 上，1
3
BM OD =
，
则向量BM 用a ，b 表示为 ；AM 用a ，b 表示为 ． （7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．
（8）三个力1F ，2F ，3F 的大小相等，且它们的合力为0，则力2F 与3F 的夹角为 ． （9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．
（10）已知平面内三点A 、B 、C 三点在一条直线上，(2,)OA m =-，(,1)OB n =，(5,1)OC =-，且OA OB ⊥，求实数m ，n 的值．
B 组
（11）已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32
OA OB
OP -=
，则 ( ) (A) 点P 在线段AB 上 (B) 点P 在线段AB 的反向延长线上 (C) 点P 在线段AB 的延长线上 (D) 点P 不在直线AB 上
Q
P A
C
B
（12）已知D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则①EF =
1122-c b ，②BE =12+a b ，③CF =11
22
-+a b ，④0AD BE CF ++=中正确的等式的
个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （13）已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为 ．
（14）已知OA =a ，OB =b ，点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量MN 用a 、b 表示为 ．
（15）已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 ．
（16）已知(2,1)OP =，(1,7)OA =，(5,1)OB =，点O 为坐标原点，点C 是直线OP 上一点， 求CA CB ⋅的最小值及取得最小值时cos ACB ∠的值．
（17）如图，点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，求证：12OA OA OA OB +=+ （1）
一般地，如果点1A ，2A ，…1n A -是AB 的n (3)n ≥等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．
（18）已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，（Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值．
E
D C D
C
A O
参考答案或提示：
平 面 向 量 A 组
（1）D （2）A （3）C （4）D （5）34±
（6）6-a -b ；56
a -
b （7）北偏西300
（8）0
120 （9）略 （10）63m n =⎧⎨=⎩或3
32
m n =⎧⎪⎨=
⎪⎩
略解或提示：
（1） 由单位向量的定义即得1==a b ，故选（D ）．
（2） 由于AC AB AD =+，∴AC AB AD -=，即BC AD =，∴线段BC 与线段AD 平行且相等，∴ABCD 为平行四边形，选（A ）．
（3） 估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B ）、（D ），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A ），选（C ）． （4） 由于2++=a b c c ∴222++==a b c c D ）．
（5） 向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则（+a k )⋅b (-a k )0=b ,∴2
=a 2k 2
b , 而2
2
9==a a , 2
2
16==b b ,∴34
=±k ． （6） ∵13BM OD =
，而12OD BD =，∴111()()666BM BD AD AB BC AB ==-=-=
6
-a -b
； ∴ AM AB BM =+=
56
a -b
． （7） 如图，渡船速度OB ，水流速度OA ，船实际垂直过江的速度OD ， 依题意，12.5OA =，25OB =，由于OADB 为平行四边形，则BD OA =，又OD BD ⊥，∴在直角三角形OBD 中，∠BOD =30，∴航向为北偏西30．
（8） 过点O 作向量OA 、OB 、OC ，使之分别与力1F ，2F ，3F 相等，由于1F ，2F ，
3F 的合力为0，则以OC 、OB 为邻边的平行四边形的对角线OD 与OA 的长度相等，又由于
力1F ，2F ，3F 的大小相等，∴OA OB OC ==，则三角形OCD 和三角形OBD 均为正三角形，∴120COB ∠=，即任意两个力的夹角均为120． （9） 解：由于DE CE CD =-，而12CE CB =
，1
2
CD CA =
