立体几何复习专题
典型例题讲解
例1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.
（1）求证： AB ⊥C 1CQ
（2）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （3）求直线PQ 与面Q 1B C 所成角的正弦； （4）求二面角A 1-CQ-B 1的平面角的余弦。
例2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，(1)在棱AD 上有一点P ，当
PD
PA
为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角.
A
B
C
1
A 1
B 1
C P
Q
例3．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
(1) 求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A 1—APQ 的体积.
例4．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y.(1)试求y 关于h 的函数解析式；
(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.
巩固练习
1、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为 （A ）
33312cm π （B ）33
3
16cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π
2、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
① 若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥
其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线
EF 与SA 所成角为 （ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030
4、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这
个平面图形的面积是 A. 2221+ B. 22+ C. 21+ D. 221+11
2
高考
如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC-A B C ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径.（Ⅰ）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；
（Ⅱ）设AB=1AA ，在圆柱1OO 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC-A B C 内的概率为p . （i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；
（ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0<90)θ≤，当p 取最大值时，求
cos θ的值.
