随机信号重要知识点整理
1．能量信号和功率信号
通常称2
)(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。信号的总能量是对2
)(t x 在整个时间范围积分，即
⎰∞
∞-=dt t x E x 2
)( （1.6） 同理，离散信号的总能量定义为
∑
∞
-∞
==
n x n x E 2
)( （1.7）
如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量无限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即
∞<=⎰-∞→22
2
)(1lim T T dt t x T
P T x （1.8）
或（对于离散信号）
∞<+=∑-=∞→N
N
n T x n x N P 2
)(121lim （1.9） 则称)(t x 或()x n 为功率信号。
然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。
2. 窄带信号与宽带信号
时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换：
⎰
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e X t x t j )()(21π
（1.10）
其中)(ΩX 是)(t x 的傅里叶变换，又称为频谱，它等于
⎰∞
∞
-Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11）
可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表示。
如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
3. 信号处理的理论基础
数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅立叶级数；3）z －变换。时域分析、频域分析。FFT 算法，滤波器设计。
4.随机信号数字特征量
1）一维分布的数字特征量
随机信号的均值函数
{})()(t X E t x =μ⎰∞
∞
-=dx x t xf ),( (2-10)
它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均值，它又称为一阶原点矩。 随机信号的均方函数
{}
)()(2
t X E t D x =⎰∞
∞
-=dx x t f x ),(2 (2-11)
它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均方，又称为二阶原点矩；它也表示了在样本函数空间的瞬时功率，也就是在总集意义下的瞬时功率。
随机信号的方差函数
{}22)]()([)(t t X E t x x μσ-=⎰∞
∞
--=dx x t f t x x ),()]([2μ (2-12)
它表示了随机信号在均值函数上下的起伏程度，它又称为二阶中心矩。
一维分布的数字特征量之间的关系
)()()(2
2t t t D x x x μσ+= (2-13)
证明：因为
⎰∞
∞
--=dx x t f t x t x x
),()]([)(22μσ
⎰∞
∞
-=dx x t f x ),(2
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+-dx x t f t dx x t xf t x
x ),()(),()(22μμ
由(2-10)，即可得(2-14)。 2）二维分布的数字特征量
对任意的T t t ∈21,，随机变量)(1t X 和)(2t X 的协方差称为随机过程)(t X 的自协方差函数（Autocovariance ）
{
})]()()][()([),(221121t t X t t X E t t C x x x μμ--= ⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
---=2121212211),,,()]()][([dx dx x x t t f t x t x x x μμ (2-14)
而)(1t X 和)(2t X 乘积的期望 {})()(),(2121t X t X E t t R x =⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-=21212121),,,(dx dx x x t t f x x (2-15)
称为随机过程)(t X 的自相关函数（Autocorrelation ）。
自协方差和自相关函数可以看作是随机变量的协方差与相关系数的推广，它们表示了随机信号不同时刻取值的关联程度。
由n 维分布的相容性，容易得出如下关系
)()(),(),(212121t t t t C t t R x x x x μμ+= (2-16)
证明：若)(1t X 和)(2t X 的联合分布密度函数为),,,(2121x x t t f ，则)(1t X 和)(2t X 的边际分布密度函数分别为
2212111),,,(),(x d x x t t f x t f ⎰∞∞
-=, 1212122),,,(),(x d x x t t f x t f ⎰∞
∞
-=
且
1),,,(212121=⎰⎰
∞∞-∞
∞
-x d dx x x t t f
因此
=
),(21t t C x ⎰⎰∞∞-∞
∞
-2
1
2
1
2
1
2
1),,,(dx dx x x t t f x x ⎰⎰∞
∞-∞
∞
--2
1
2
1
2
1
2
1
),,,()(dx dx x x t t f x t x
μ ⎰⎰∞∞-∞
∞--2
1212112),,,()(dx
dx x x t t f x t x μ
⎰⎰∞
∞-∞
∞
-+2
1212121),,,()()(dx dx x x t t f t t x x μμ
⎰⎰∞∞-∞
∞
-=2
1212121),,,(dx
dx x x t t f x x
⎰⎰∞∞
-∞
∞
--2
121212
1
]),,,([)(dx dx x x t t f x t x
μ⎰⎰∞∞-∞
∞--1
221211
2
]),,,([)(dx dx x x t t f x t x μ⎰⎰∞
∞-∞
∞
-+2
121212
1),,,()()(dx dx x x t t f t t x
x μμ
⎰⎰∞∞-∞
∞
-=2
1212121),,,(dx
dx x x t t f x x
⎰∞∞
--22221
),()(dx x t f x t x
μ⎰∞
∞
--11112
),()(dx x t f x t x μ)()(2
1t t x x μμ+
)()(),(2121t t t t R x x x μμ-=
3）二维随机过程的互协方差函数与互相关函数
为了表示了两个不同的随机信号T t t X ∈),(和T t t Y ∈),(在不同时刻T t ∈1和T t ∈2取值的关联程度，定义两随机信号的互协方差函数与互相关函数为： 互协方差函数（Cross-covariance
{}
)]()()][()([),(221121t t Y t t X E t t C y x xy μμ--=
⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
---=dxdy y x t t f t y t x y x ),,,()]()][([2121μμ (2-33)
互相关函数（Cross-correlation ）
{})()(),(2121t Y t X E t t R xy =⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-=dxdy y x t t xyf ),,,(21 (2-34)
其中),,,(21y x t t f 是)(1t X 和)(2t Y 的联合分布密度函数。
互协方差函数与互相关函数存在关系
)()(),(),(212121t t t t C t t R y x xy xy μμ+= (2-35)
5.二阶矩过程
定义：一个随机信号)(t X ，对于所有的T t ∈，其均值与均方都存在，就称其为二阶矩过程。
性质：1）二阶矩过程的自协方差函数对于所有的T t t ∈21,存在；
2）二阶矩过程的自相关函数对于所有的T t t ∈21,存在。 由施瓦兹不等式
{}22211221})]()()][()([{)],([t t X t t X E t t C x x x μμ--=
{}{}
222211)]()([)]()([t t X E t t X E x x μμ-⋅-≤)()(22
12t t x x σσ⋅=
6. 平稳随机过程
如果随机过程)(t X 的均值是常数，它的自相关函数),(21t t R x 只取决于时间差
