专题 抽象函数的导数问题(齐建民)

抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。

型抽象函数．
2．满足解析式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)的是对数函数型
抽象函数．
3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽
象函数．
4．满足解析式f(x1·x2)＝f(x1)·f(x2)的幂函数型抽象
函数．
当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义 的一种函数。
{ x| x • f(x)<0}等于
A.{ x| x > 3 或 -3 < x < 0}
B.{ x|0< x < 3 或 x < -3}
C.{ x| x > 3或 x < -3}
D.{ x|0< x <3或 -3 < x < 0}
【解析】 （图解法） 据题设条件作 y=f (x)草图(右). 在图中找出 f(x)与x异号的部分,可以看出 x • f(x) <0的 解集为{ x|0< x <3或 -3 <x <0}，选D.
要抽象，就必须进行比较，没有比较就无法 找到在本质上共同的部分。
二.抽象函数
数学中我们通过把基本函数的共同特性抽取得出来，且没有
给出具体解析式的函数称为抽象函数。例如：f(x1＋x2)＝ f(x1)＋f(x2)是正比例函数型抽象函数.
抽象函数没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些ห้องสมุดไป่ตู้ 殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点，也是与大学 高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难 点。
高三一轮复习数学（理）
第二章 函数、导数及其应用
补充专题一：抽象函数
合作软件： 几何画板 数学编辑器
第一轮复习的策略：

构造法解抽象函数的导数问题例1：已知()x f 是定义在R 上的可导函数，且满足()()()01<'+-x f x x f x ，则 A.()0>x fB.()0<x fC.()x f 为减函数D.()x f 为增函数1、（2015全国Ⅱ）设函数()x f '是奇函数()()R x x f ∈的导函数，()01=-f ，当0>x 时，()()0<-'x f x f x ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A.()()1,01, -∞-B.()()+∞-,10,1C.()()0,11,--∞-D.()()+∞,11,02、（2004湖南）设()x f 、()x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，()()()()0>'+'x g x f x g x f ，且()03=-g ，则不等式()()0<x g x f 的解集是 （）A.()()+∞-,30,3B.()()3,00,3 -C.()()+∞-∞-,33,D.()()3,03, -∞-3、（2007陕西）已知函数()x f 是定义在()+∞,0上的非负可导函数，且满足()()0≤+'x f x f x ，对于任意的正数b a ,，若b a <，则必有（）A.()()b f a af ≤B.()()a f b bf ≤C.()()a bf b af ≤D.()()b af a bf ≤4、（2009天津）设函数()x f 在R 上的导函数为()x f '，且满足()()22x x f x f x >+'，则下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）A.()0>x fB.()0<x fC.()x x f >D.()x x f <5、（2011辽宁）已知函数()x f 的定义域为R ，()21=-f ，对任意R x ∈，()2>'x f ，则不等式()42+>x x f 的解集为（）A.()1,1-B.()+∞-,1C.()1,-∞-D.R6、（2015福建）设定义在R 上的函数()x f ，满足()10-=f ，其导函数()x f '满足()1>>'k x f ，则下列结论中一定错误的是（ ）A.k k f 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛B.111->⎪⎭⎫ ⎝⎛k k fC.1111-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k fD.1111->⎪⎭⎫⎝⎛-k k f7、（2013辽宁）设()x f 满足()()x e x f x x f x x =⋅+'⋅22，()822e f =，则当0>x 时，A.()x f 有极大值，无极小值B.()x f 有极小值，无极大值C.()x f 既有极大值，又有极小值D.()x f 既无极大值，也无极小值8、已知偶函数()x f 对于任意的⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 满足()()0sin cos >-'x x f x x f ，其中()x f '是函数()x f 的导函数，则下列不等式不成立的是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛423ππf f B.⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-423ππf f C.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<4220πf f D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<3210πf f 9、已知定义域为R 的奇函数()x f 的导函数为()x f '，当0≠x 时，()()0>+'xx f x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121f a ，()22--=f b ，⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=21ln 21ln f c ，则c b a ,,的大小关系正确的是 A.b c a << B.a c b <<C.c b a <<D.b a c <<（）10、定义在()+∞,0上的可导函数()x f ，满足()()x x f x f x =-'，且()01=f ，现给出关于函数()x f 的下列结论：①函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 上单调递增；②函数()x f 的最小值为21e-；③函数()x f 有且只有一个零点；④对于任意的0>x ，都有()2x x f ≤。

对于抽象函数f(x)在实数域R上的求导，我们首先需要理解其导函数f'(x)的含义。在此文档中，我们探讨了当2f(x) + xf'(x) > x^2时，相关不等式在R上的恒成立情况。这涉及到对函数f(x)其导函数f'(x)关系的深入理解。通过分析，我们可以得出在给定条件下，哪些不等式是恒成立的。需要注意的是，虽然文档开头提到了一个复数相关的问题，但那主要是用于引出后续关于抽象函数求导的主题。在求导过程中，我们应专注于函数的变化率，即其导数，以及导数如何帮助我们理解函数的性质和行为。