第76课时---轨迹问题

第76课时----轨迹问题

珠海市实验中学高三理科一轮复习数学讲义 1 ●课题：轨迹问题

●教学目标：掌握轨迹问题的基本解法

●知识梳理

求轨迹的一般方法：

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数)0(，求动点M的轨迹。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

练习 (07四川文)、已知O的方程是2220xy，'O的方程是228100xyx，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2(07江西理)设动点P到点(10)A，和(10)B，的距离分别为1d和2d，2APB，且存在常数(01)，使得212sindd．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线双曲线C的右支于MN，两点，试确定的范围，使OMON0，其中点O为坐标原点． yyP

B O A 1d

2d2第76课时----轨迹问题

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3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

【例3】.（2006年全国1理） 在平面直角坐标系xOy中，有一个以10,3F和20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与xy、轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）OM的最小值。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

【例4】 （2000年春季全国）已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.

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6.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

例5(07山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

7.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211yxByxA并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

例6(07湖南)已知双曲线222xy的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于AB，两点，点C的坐标是(10)，． （I）证明CACB为常数；

（II）若动点M满足CMCACBCO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

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珠海市实验中学高三理科一轮复习数学讲义 4 P

M N ●闯关训练

1.（05江苏卷） 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得2PMPN试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.

2（05山东卷）已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p.

（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

3.(07 北京理)矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy，点(11)T，在AD边所在直线上．

（I）求AD边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

选做题．(07 福建理)如图，已知点(10)F，，

直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线

l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAF，2MBBF，求12的值；

.

O y

x 1 1 l

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●典例剖析

【例1】 在△PMN中，tan∠PMN=21，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.

M N PM N POx yQ

【例2】 （2004年福建，22）如下图，P是抛物线C：y=21x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.

xyOQMTPSl

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答案：

例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数)0(，求动点M的轨迹。

解：设MN切圆C于N，则222ONMOMN。设),(yxM,则

2222)2(1yxyx 化简得0)41(4))(1(22222xyx

（1） 当1时，方程为45x，表示一条直线。

（2） 当1时，方程化为2222222)1(31)12(yx表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

练习 (07四川文)、已知O的方程是2220xy，'O的方程是228100xyx，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________

解析：O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得

222xy22810xyx，32x．

3.（2006年全国1理） 在平面直角坐标系xOy中，有一个以10,3F和20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与xy、轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）OM的最小值。 第76课时----轨迹问题

珠海市实验中学高三理科一轮复习数学讲义 7 3.解: 椭圆方程可写为: y2a2 + x2b2 =1 式中a>b>0 , 且 a2－b2 =33a =32 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ y24 =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (0

设P(x0,y0),因P在C上,有0

y=－ 4x0y0 (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x0 , y= 4y0 .

由OM→=OA→ +OB→得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

1x2 + 4y2 =1 (x>1,y>2)

(Ⅱ)| OM→|2= x2+y2, y2= 41－1x2 =4+ 4x2－1 ,

∴| OM→|2= x2－1+4x2－1+5≥4+5=9.且当x2－1=4x2－1 ,即x=3>1时,上式取等号.

故|OM→|的最小值为3.