第7讲函数的奇偶性与周期性
思维导图
知识梳理
1．函数的奇偶性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
核心素养分析
能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
题型归纳题型1 函数奇偶性的判定
【例1-1】（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是( ) A ．2(1)y x =+ B ．2x y -=
C ．|sin |y x =
D ．(1)(1)y lg x lg x =++-
【例1-2】（2019·肥西质检）判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝36－x 2
|x ＋3|－3；
(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2（1－x 2）
|x －2|－2
；
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，
x 2－x ，x >0.
【跟踪训练1-1】（2020春•龙华区校级月考）已知函数21
(),()221
x x f x g x x +==-，则下列结论正确的是(
)
A ．()()f x g x 为奇函数
B ．()()f x g x 为偶函数
C ．()()f x g x +为奇函数
D ．()()f x g x +为非奇非偶函数
【跟踪训练1-2】（2019秋•桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域
（1）
2 ()
1
x x f x
x
-
=
-
（2）()3||
g x x
=-
【名师指导】
判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型2 函数奇偶性的应用
【例2-1】(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．
(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________． (3)(2020·湖南永州质检)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )＝________．
【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅱ）设()f x 为奇函数，且当0x 时，()1x f x e =-，则当0x <时，()(f x =
)
A ．1x e --
B ．1x e -+
C ．1x e ---
D ．1x e --+
【跟踪训练2-2】（2020•上海）若函数1
33
x x y a =+
为偶函数，则a = ． 【跟踪训练2-3】（2020•迎泽区校级模拟）已知()f x 为奇函数，当0x >时，()3f x lnx x =-，则(1)f -的值为 ．
【跟踪训练2-4】（2019秋•丰台区期末）函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且图象过(1,1)-点．已知0x 时，()1(0x f x a a =->且1)a ≠． （Ⅰ）求f （1）的值和a 的值；
（Ⅱ）若()[0f m ∈，3]，求m 的取值范围．
【名师指导】
与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解． 题型3 函数的周期性
【例3-1】（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3
()2
f = ．
【例3-2】（2020•安阳二模）已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(4)()f x f x -=-，如果当[4x ∈-，0)时，
()x f x -=，则(266)f = ．
【跟踪训练3-1】（2020春•红旗区校级月考）已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[1x ∈-，1]时，()||f x x =，那么当[7x ∈-，5]-时，()(f x = )
A ．|3|x +
B ．|3|x -
C ．|6|x +
D ．|6|x -
【跟踪训练3-2】(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1
f （x ）
，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－11
2＝________． 【名师指导】
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．
题型4 函数性质的综合应用
【例4-1】（2020•山东）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是( ) A ．[1-，1][3，)+∞ B ．[3-，1][0-，1]
C ．[1-，0][1，)+∞
D ．[1-，0][1，3]
【例4-2】（2020•安庆模拟）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +为偶函数，且f （1）2=，则(2019)(2020)(f f += )
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【例4-3】（多选）（2020•烟台模拟）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(0x ∈，1]时，()(2)f x x x =--，则( )
