常微分方程测试题6

常微分方程练习题

§1 一阶常微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）)(22

yyyxy



；

（2）0)4(2

dyxxydx；

（3）0)2()2(2222

dyxxyydxyxyx；

（4）

xy

xyyxtan

；

（5）2

12

2













yxy

y；

（6）0)2(dyyxedxeyy

；

（7）0)cossin3()1cos(222

dyyyxydxyx；

（8）0)(4223

dyyxyydyxdx；

（9）0)()(2

dyxydxxyx；

（10）2

2x

xexyy



；

（11

）

xx

exyyx1

22



；

（12）02)6(2



yyxy；

（13）

xyyyy

y



ln2；

（14）0)(24

dyxyxydx；

（15

）xy

xx

y

y



141

2；

（16）0]1)[ln(

xyyyx；

（17）0cos232



xxyyxy；

（18

）2

1222

sin22sin1x

eyxyyx



；

（19）02)1(322



xyyyx；

（20）yyxyx22

)(。

2．求下列微分方程的特解：

（1）ydyxxdxylnln，1

1

xy；

（2）

xy

xy

ytan，

61



xy；

（3

）022



xyyyx，1

1

xy；

（4）0

)()2(

2



yxydydxyx

，1

0

xy；

（5）0)1(2

dxxydxxdy

，0

1

xy；

（6）xxyxy2

cossincos

，1

0

xy；

（7）0tan)sin(ydxdyyx，

61



xy；

（8）0)cos1(cossinln

yxyyxyx，



1xy。

3. 试确定具有连续导数的一元函数

，它满足2)0(

，使得

0)(]tan)(2[sindyxydxxxx

常微分方程

一、填空题

1．微分方程的阶数是

____________0)(22

xy

dxdy

dxdy

n

答：1

2．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(yxM),(yxNR),(yx

方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(dyyxNdxyxMy

_________________________

答：)()1

)((y

MxN

yM











3．_________________________________________ 称为齐次方程.

答：形如

的方程)(

xy

g

dxdy



4．如果 ___________________________________________ ,

则存在),(yxf),(yxf

dxdy



唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中 )(xy

hxx

0)(

00xy



_______________________ .h

答：在上连续且关于满足利普希兹条件 Ry),min(

mb

ah

5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(

1yx),(

2yxRR)0(NN

______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(yxfRy

答：

2121),(),(yyNyxfyxf

6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22

yx

dxdy

R22,22yx)0,0(

存在区间是 ___________________

答：

41

41



x

7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((nitx

in)(tw)(tw

一阶线性方程 ___________________________________ 答：0)(

1'

wtaw

8．若

为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((nitx

i)(tx

特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________

第一章测试

1. 下列方程不是常微分方程的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D: .

答案:D

2. 下面方程中不是线性微分方程的是（ ）

A: .

B:

C: .

D: .

答案:D

3. 下列微分方程不是驻定的是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 下面是微分方程 的特解的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D:

答案:D

5. 微分方程 的阶数是（ ）.

A:1；

B:3；

C:4.

D:2；

答案:B

6. 下列方程中的线性微分方程是（ ）.

A: .

B: ；

C: ；

D: ；

答案:D

第二章测试

1. 下列微分方程中，可分离变量的是( )。

A:

B: C:

D:

答案:D

2. 下列函数中，哪个是微分方程的解( )。

A:y=2x

B:y=-x

C:y=-2x

D:y=x2

答案:D

3. 微分方程的一个特解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 满足的特解是( )。

A:

B: C:

D:

答案:C

5. 方程的通解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:B

第三章测试

1. 利用唯一性充分条件，在 平面上微分方程 有唯一解的区域是（ ）

A:

B:

C:

D: .

答案:A

2. 微分方程 的第二次近似解是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:D

3. 按存在唯一解定理，微分方程 第一次近似解在区域 中的误差估计是（ ）

A:0.375 B:0.625

C:0.125

D:0.325

答案:A

4. 方程 存在唯一解的区域是（ ）

A:除了 外均存在唯一解

B:除了 外均存在唯一解

C:除了 外均存在唯一解

D:除了 外均存在唯一解

答案:D

5. 方程 存在唯一解的区域是以下选项中的（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

6. 方程 的第二次近似解在解的存在区间的误差估计是（ ）

A: B: .

C: .

D: .

答案:A

7. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的（ ）

考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷6

(总分：60.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：7，分数：14.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )

（分数：2.00）

A.ae x +be 2x

B.ae x +bxe 2x √

C.axe x +be 2x

D.axe x +bxe 2x

解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r 2 －6r+8=0得特征根r 1 =2，r 2 =4．又f 1 (x)=e x ，λ=1非特征根，对应特解为y 1 * =ae x ；f 2 (x)=e 2x ，λ=2为特征单根，对应特解为y 2 * =bxe 2x ．故原方程特解的形式为ae x +bxe 2x ，选(B)．

3.微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e －x sinx的特解形式为 ( )

（分数：2.00）

A.e －x (Acosx+Bsinx)

B.e －x (Acosx+Bsinx)

C.xe －x (Acosx+Bsinx) √

D.e －x (Axcosx+Bsinx)

解析：解析：特征方程r 2 +2r+2=0即(r+1) 2 =－1，特征根为r 1，2 =－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y * =xe

－x (Acosx+Bsinx)．

4.微分方程yˊ+=0的通解是 ( )

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：解析：原方程写成yyˊ+ =0，分离变量有y dy+e

3x

dx=0．积分得 2e 3x －3 =C，其中C为任意常数．